余角和补角课件

6．3角6．3.3余角和补角第六章几何图形初步

题型利用互余、互补的定义识别余角、补角1例5解题秘方：分别计算∠2与各选项的和，结果为90°的符合要求.

答案：D方法点拨识别两个角是否互余，只需要计算两个角的和是否等于90°即可.[新视角

操作探究题]如图6.3－26，把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内，使点B

落在点B′的位置，折痕为EF，再沿GF

折叠，使点C

落在点C′的位置，如果C′F

与FB′在同一条直线上，请你判断∠GFC′与∠EFB′的关系，并说明理由.题型利用角平分线的定义探究互余、互补2例6思路引导：

方法点拨本题的解题方法主要利用了“一个特点”“三个定义”，一个特点是指折叠图形中折痕的特点(折痕所在的直线即角平分线所在的直线)；三个定义分别是指角平分线的定义、余角的定义和补角的定义.[荣德原创题]两艘货轮从如图6.3－27所示的码头O

出发，货轮G

向南偏西20°的OA

的方向行驶，货轮F

向南偏东70°的OB

方向航行.例7题型利用方位角的定义探究余角、补角3思路引导：通过计算各角的度数进行判断.(1)分别画出射线OA，OB；解：如图6.3－28，射线OA，OB

即为所求.(2)找出图中所有互余和互补及相等的角(小于180°的角).解：互余的角有∠WOA

与∠SOA，∠WOA

与∠EOB，∠AOS

与∠BOS，∠BOS

与∠EOB；互补的角有∠WOA

与∠EOA，∠WOB

与∠EOB，∠NOA

与∠SOA，

∠NOB

与∠SOB，

∠WOA

与∠NOB，∠BOS

与∠AOE，∠WOB

与∠AOS，∠NOA

与∠EOB.∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE

和∠AOB

都是90°，它们两两互补；相等的角有∠NOW=∠SOW=∠SOE=∠NOE=∠AOB，∠WOA=∠SOB，∠SOA=∠EOB.解法提醒1.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线各自形成平角，可以解决互补问题.2.以观测点为顶点，南北方向线和东西方向线相交形成直角，可以解决互余问题.3.利用角度计算或同角(或等角)的余角、补角相等，解决等角问题.如图6.3－29①所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点О

处.题型利用角的和差关系及余角的性质探究两角之间的关系4例8思路引导：紧扣要判定的角和两个90°角的关系进行分析.(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC

相等吗？请说明理由.解：(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB＋

∠BOD=∠COD＋

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.

(ⅱ)∠AOC

和∠BOD在数量上有何关系？请说明理由．解：∠AOC＋

∠BOD=180°.理由如下:因为∠AOB＋

∠AOC＋

∠COD＋

∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.(2)若将这副三角尺按如图6.3－29②所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点О处.(ⅰ)∠AOD和∠BOC相等吗？请说明理由.(ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的数量关系还成立吗？请说明理由.(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB－

∠BOD=∠COD－

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.(ⅱ)成立.理由如下:因为∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋

∠BOD=∠AOB＋∠BOC＋

∠BOD=∠AOB＋

∠COD=90°＋90°=180°.解题关键1.在探究三角尺中的有关角的关系时，要充分利用三角尺中隐含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性质在角的推理中的应用，即若∠1=∠2，则∠1±∠3=∠2±∠3.方法点拨：在图形的变换探究中，应善于抓住不变的量(如本题的两个直角)和变化的量(如本题图6.3－29①中∠AOD=∠AOB＋∠BOD，图6.3－29②中∠AOD=∠AOB－∠BOD).结合两个量才能探究出结论是否变化.易错点对余角、补角的概念理解不透彻而出错下列说法正确的是()A.一个角的补角一定大于这个角B.任何一个小于180°的角既有余角又有补角C.锐角和钝角互补D.锐角的补角一定是钝角例9错解：A正解：紧扣余角和补角的定义，结合其数量关系进行判断.锐角的补角是钝角，钝角的补角是锐角，从而A错误，D正确.答案：D诊误区：1.只有锐角既有余角又有补角，而钝角没有余角，只有补角.2.互补的两个角除两个直角外，一定是一个锐角，一个钝角.考法利用余角(补角)的定义求一个角的余角(补角)1[中考·梧州]已知∠

A=55°，则它的余角是()A.25°B.35°C.45°D.55°试题评析：本题考查了余角的定义和角的运算，解题的关键是理解互为余角的两个角的数量关系.解：因为∠A=55°，所以它的余角是90°－∠A=90°－55°=35°.B例10考法利用三角尺的特征探究两个角之间的关系2[中考·德州]如图6.3－30，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中，∠α

与∠β

互余的是(

)A.图①

B.图②

C.图③

D.图④例11试题评析：本题考查了余角和补角的知识，熟记概念与性质是解题的关键.解：图①，∠α＋∠β=180°－90°=90°，则∠α和∠β互余；图②，根据同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α和∠β不一定互余；图③，根据等角的补角相等，得∠α=∠β=180°－45°=135°，所以∠α与∠β不互余；图④，∠α＋∠β=180°，则∠α和∠β互补．答案：A1.[中考·武威]若∠α=70°，则∠α的补角的度数是(

)A.130°B.110°C.30°D.20°B2.如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共有(

)A.1个B.2个C.3个D.4个B3.下列说法错误的是(

)A.53°38′角与36°22′角互为余角B.如果∠1＋∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角C.两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角D.一个角的补角比这个角的余角大180°D4.[中考·通辽]如图，点O

在直线AB上，∠

AOC=53°17′28″，则∠

BOC

的度数是____________．126°42′32″5.[母题

教材P177例4如图，AB

是直线，∠

BOC=∠

AOC=90°，OD，OE

是射线，则图中至少有______对互余的角，______对互补的角.23

①②④

8.

如图，点O

是直线CE

上一点，以O

为顶点作∠

AOB=90°，OB

平分∠

COD.(1)当∠

DOE=96°

时，求∠

AOC

的度数；