专题02 有理数运算（知识串讲+热考题型+真题训练）（原卷版）2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题02有理数运算【考点01】有理数的加法运算

【考点02】有理数的减法运算

【考点03】有理数的加减运算

【考点04】有理数乘法运算

【考点05】有理数除法运算

【考点06】有理数乘除法运算

【考点07】有理数的乘方【考点08】有理数混合运算【考点09】算“24”点

【考点10】科学计数法【考点11】近似数的表示

【考点12】有理数实际应用知识点1：加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。⑶一个数同0相加，仍得这个数。知识点2：加法运算定律（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）知识点2：减法法则减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b知识点2：乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。知识点3：乘法运算定律（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。

（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。知识点4：倒数（1）定义：乘积为1的两个数互为倒数。（2）性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数。注意：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数为±1.知识点5：除法法则（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。知识点6：乘方法则运算（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）0的任何正整数次幂都是0知识点7：混合运算（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右的顺序进行。（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。知识点8：科学计数法1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－12.近似数的精确度：两种形式（1）精确到某位或精确到小数点后某位。（2）保留几个有效数字注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×1053.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。注：（1）用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3。（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。【考点01】有理数的加法运算【典例1】计算：−7+−15；(2)+213+−31(5)−12+−1【变式1-1】计算：(1)−1+−2+−4+−8(3)−112+1.25+−8.5+10【变式1-2】定义“※”运算，观察下列运算：(+2)※(+13)=15，(−10)※(−12)=22；(−5)※(+13)=−18，+8※0※(+13)=−13，(−10)※0=10．(1)请你认真思考上述运算，归纳“※”运算的法则：两数进行“※”运算时，同号得，异号得，并把绝对值；特别的，0与任何数进行“※”运算或任何数与0进行“※”运算，都得这个数的．(2)计算：+3※(3)计算：−14※【考点02】有理数的减法运算

【典例2】计算：(1)5.6−−3.2；(2)−1.24(3)+12−−2−【变式2-1】计算．(1)0−−3．(2)−16(3)23−36−−76−−105；(5)2.75−−8.5−1.5−2.75．(6)(7)|−23|−−15【变式2-3】计算−38−−36(2)−0.6+0.2+−11.4+0.8(5)0−−

【考点03】有理数的加减运算

【典例3】计算：(1)0−−2+−7(3)−0.5−537−1+3【变式3-1】计算下列各题：−3−+6+3+−1；(3)−323−−23【变式3-2】利用简便方法计算下列各题：(1)6.6+−4.5−−3.4−+15.5(3)−32【变式3-3】计算下列各式：−327−(3)−0.5+−15−−17

【考点04】有理数乘法运算

【典例4】计算：−2×7×(−4)×(−2.5)．(2)23(3)(−4)×499.7×5【变式4-1】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：−112×−7−48×−34+(5)−392324×−12【变式4-2】用简便方法计算：(1)−7.5×+25×−0.04；【变式4-3】计算下列各式：−8×9×−1.25×−1−0.25×−79×4×(5)37×−45

【考点05】有理数除法运算

【典例5】计算：−23÷−8(3)−6.5÷【变式5-1】计算：(1)(−47)÷(−314【变式5-2】【阅读材料】计算：120分析：利用倒数的意义，可以先求原式的倒数，再得出计算的结果．解：由于25所以120【问题解决】根据上述方法，计算：−1

【考点06】有理数乘除法运算

【典例6】计算．(1)123×−4(3)213×−1【变式6-1】计算：(1)−825×1.25×−8；【变式6-2】计算：−412÷7(3)−15×−0.1【考点07】有理数的乘方

【典例7】下列各组式子中，运算结果相同的是（

）A．−23和−23 B．−−22与22 C．−22【变式7-1】1mA．112m B．132m C．【变式7-2】下列各组中的两个数，运算后的结果相等的是（

）A．−23和−32 B．−53和−53 C．−【变式7-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数=4×71+2×A．520 B．515 C．513 D．500【考点08】有理数混合运算

【典例8】计算：−5+10−2+−1；(2)(3)−112+13【变式8-1】计算：(1)112×57(3)−22÷43【变式8-2】计算：(1)16−−42÷−2(3)−12−3×−2+15【变式8-3】计算：−3+40+−32+−8；(−3)2×−23−12+34【考点09】算“24”点

【典例9】“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，−6，−10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于24，你的运算式是．【变式9-1】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数1,2,2,3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式，使其结果等于24．【变式9-2】如果一个整数与1，2，3这三个数，通过加、减、乘，除运算(可以添加括号)组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的．在4，7，9，11，17，20，22，25，31，34这十个数中，可用的数有个．【变式9-3】有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数−6，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式：，使其结果等于24．【考点10】科学计数法【典例10】据科学家估计，地球的直径大约是12700000米，将数据12700000用科学记数法表示应为（

）A．12.7×106 B．0.127×108 C．【变式10-1】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是7900米/秒，7900用科学记数法表示为（

）A．0.79×104 B．7.9×104 C．【变式10-2】截至目前中国森林面积达到175000000公顷，森林覆盖率为18.21%，人工林面积居世界首位，其中数字175000000用科学记数法表示为（

）A．17.5×107 B．1.75×108 C．【考点11】近似数的表示

【典例11】用四舍五入法将34.945取近似数精确到十分位是．【变式11-1】用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误的是（

）A．3.14（精确到0.01） B．3.141（精确到千分位）C．3.1（精确到十分位） D．3.1416（精确到0.0001）【变式11-2】78.9823亿，保留整数是亿．【考点12】有理数实际应用

【典例12】“滴滴”司机沈师傅从上午8：00～(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离出发地多少千米？(2)若汽车每千米耗油0.4升，则8：(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则沈师傅在上午8：【变式12-1】金秋十月，秋高气爽，正是赏菊好时节！白马湖景区举办了第六届《百年荣光·菊世无双主题菊花展》．景区预计每天接待游客约10000人，实际接待人数情况如下：（超出预计的人数记为正数，不足的人数记为负数）星期一二三四五六日超出或不足+600−300+800+1100−600+500−700(1)周六接待游客人数为_____________人；(2)游客人数最多的一天比最少的一天多_____________人；(3)本周共接待游客多少人？【变式12-2】陶山甘蔗是瑞安的特产，每年十月是其盛产期．小瑞同学打算从瑞安寄10箱甘蔗到杭州，以每箱2.5千克为标准，实际重量统计如下表，记录如下：小瑞同学选择了某快递公司，收费标准如下：首重1千克以内7元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计．每箱的重量（单位：千克）2.42.652.32.7箱数2215(1)求这10箱甘蔗的总重量．(2)现快递公司提供两种寄件方式：方案一：分10箱，每箱一个包裹．方案二：10箱打包进一个大箱子，大箱子重2千克，10元一个．请通过计算说明哪种方案更省钱？省多少钱？【变式12-3】某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：与标准重量偏差（单位：千克）−2−10123袋数5103156(1)这30袋大米最重的为多少千克？最轻的为多少千克？(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？(3)大米的单价是每千克5元，食堂购进大米总共花了多少钱？【变式12-4】为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下：+2，−5，+3，0，−10，+7，−7，−4，+1，−7（单位：个）．(1)求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数？(2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2”分，每不足1个记“−1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？【变式12-5】股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五每股涨跌+2+1.5−1−0.5+1注：正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌(1)星期三收盘时，每股是多少元？（列式计算）(2)本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？(3)如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？如果曹先生卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1一、单选题1．下列计算正确的是（

）A．−1−1=0 B．3÷−13=−1 C．2．把7−−3+−5A．7−3−5−2 B．7+3−5−2 C．7+3+5−2 D．7+3−5+23．地球与月球平均距离约为384400千米，将数字384400用科学记数法表示为（）A．3.844×106 B．3.844×105 C．4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）C．0.5（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001）5．某种食品保存的温度是−10±2℃A．−6℃ B．−8℃ C．−10℃ D．−12℃6．七月杏树果熟开始采摘.图中每筐杏以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，则这4筐中，质量最接近标准的是（）A．

B．

C．

D．

7．在数轴上，一个点从−4开始，先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是（

）A．−1 B．1 C．5 D．−58．小强根据学习“数与式