专题02 有理数的运算（易错题29题7个考点）（解析版）2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题02有理数的运算（易错题29题7个考点）

一．有理数的减法（共1小题）1．定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a﹣b，，，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”．例如对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”为﹣．（1）﹣1，﹣4，1的“分差”为﹣；（2）调整“﹣1，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小．（2）三个数根据位置不同可得6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分差”，再比较大小．【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣4）＝3，＝＝﹣1，＝＝﹣，∴﹣1，﹣4，1的“分差”为﹣，故答案为：﹣；（2）①若a＝﹣1，b＝1，c＝﹣4，∴a﹣b＝﹣1﹣1＝﹣2，＝，＝，∴﹣1，1，﹣4的“分差”为﹣2，②若a＝﹣4，b＝﹣1，c＝1，∴a﹣b＝﹣3，＝﹣，＝﹣，∴﹣4，﹣1，1的“分差”为﹣3，③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣1，∴a﹣b＝﹣5，＝﹣，＝，∴﹣4，1，﹣1的“分差”为﹣5，④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴a﹣b＝5，＝1，＝﹣1，∴1，﹣4，﹣1的“分差”为﹣1，⑤若a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴a﹣b＝2，＝，＝1，∴1，﹣1，﹣4的“分差”为1，综上所述，这些不同“分差”中的最大值为1．二．有理数的加减混合运算（共1小题）2．将6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的减法改写成省略加号的和的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2【答案】C【分析】先把有理数的减法转化为加法，然后再写成省略加号的和的形式，即可解答．【解答】解：6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（﹣3）+7+（﹣2）＝6﹣3+7﹣2，故选：C．三．有理数的乘法（共3小题）3．已知有理数x、y满足x+y＜0，xy＜0，x＜y，则有（）A．x＜0，y＞0，x绝对值较大 B．x＞0，y＜0，y绝对值较大 C．x＞0，y＜0，x绝对值较大 D．x＜0，y＞0，y绝对值较大【答案】A【分析】根据有理数的加法运算法则和异号得负进行判断即可．【解答】解：∵xy＜0，∴x、y异号，∵x+y＜0，∴负数的绝对值大，∵x＜y，∴x＜0，y＞0，x绝对值较大．故选：A．4．下列说法正确的是（）①一个数的绝对值一定是正数；②若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值；③当|a|＝﹣a时，a一定是负数；④倒数等于它本身的数是1；⑤任何有理数都有倒数．A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．②【答案】D【分析】由绝对值，倒数的概念，即可判断．【解答】解：一个数的绝对值是非负数，故①不符合题意；若ab＜0，a+b＞0，则a，b异号且正数的绝对值大于负数的绝对值，正确，故②符合题意；当|a|＝﹣a时，a可能是0，故③不符合题意；倒数等于它本身的数是±1，故④不符合题意；0没有倒数，故⑤不符合题意．故选：D．5．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为101b+10（a+1）﹣1 D．a的值小于3【答案】D【分析】设5a的十位数字是m，个位数字是n，列出符合条件的方程组即可求解；【解答】解：如图，设5a的十位数字是m，个位数字是n，∴，∴，a＝15÷5＝3，∴乘积结果可以表示为100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1．∴A，B，C正确，D错误．故选：D．四．有理数的乘方（共5小题）6．下列各组数中，相等的一组是（）A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣43与（﹣4）3 D．|﹣8|与﹣|+8|【答案】C【分析】分别根据相反数的定义，绝对值的定义以及有理数的乘方的定义解答即可．【解答】解：A．﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣1|＝﹣1，故本选项不合题意；B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故本选项不合题意；C．﹣43＝（﹣4）3＝﹣64，故本选项符合题意；D．|﹣8|＝8，﹣|+8|＝﹣8，故本选项不合题意；故选：C．7．有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如果以后每次都剪去剩下绳子的，第100次剪完后剩下绳子的长度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根据题意得每次剪绳子后的长度都是上一次剩下的长度的，根据乘方的定义可以得出第100次剪完后剩下绳子的长度．【解答】解：∵第一次剪去绳子的米，∴剩余米，∵第二次剪去剩下绳子的，∴第二次剪去后剩下的绳子是：×（1﹣）＝（米），∵第三次剪去剩下绳子的，∴第三次剪去后剩下的绳子是：×（1﹣）＝（米），以此类推，第100次剪完后剩下绳子的长度是：米．故选：C．8．若|a|＝5，b2＝4且a＞b，则a+b的值是（）A．3 B．7． C．﹣3或5 D．3或7【答案】D【分析】根据|a|＝5和b2＝4，求出a和b的可能值；再根据a＞b，确定a和b的值，最后计算a+b的值即可．【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，∴a＝±5，b＝±2，又∵a＞b，∴a＝5，b＝﹣2或a＝5，b＝2，∴a+b＝3或7．故选：D．9．计算：﹣13﹣（﹣1）2＝﹣2．【答案】见试题解答内容【分析】先算乘方，再算减法即可．【解答】解：﹣13﹣（﹣1）2＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．10．《庄子•天下篇》中记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．这句话的意思是：“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”．根据这句话计算：1++++⋯++＝2﹣．【答案】2﹣．【分析】令原式为S，计算S，将两式相减，得到S的值，求出S即可．【解答】解：设S＝1++++⋯++①，则S＝++++…++②，①﹣②，得S＝1﹣，∴S＝2﹣．故答案为：2﹣．五．非负数的性质：偶次方（共1小题）11．若（a+1）2+|a﹣b+4|＝0，则a＝﹣1，b＝3．【答案】﹣1，3．【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值即可．【解答】解：由题意得：∴a+1＝0，a﹣b+4＝0，∴a＝﹣1，b＝3．故答案为：﹣1，3．六．有理数的混合运算（共17小题）12．下列变形，运用加法运算律错误的是（）A．（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8） B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D．+（﹣1）+（+）＝（+）+（﹣1）【答案】C【分析】根据加法交换律和结合律，即可解答．【解答】解：A、（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8），故A不符合题意；B、4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3，故B不符合题意；C、[5+（﹣2）]+4＝（5+4）+（﹣2），故C符合题意；D、+（﹣1）+（+）＝（+）+（﹣1），故D不符合题意；故选：C．13．一件衣服，商店的进价是100元，若先加价10%，再降价10%，则商店（）A．赚了1元 B．赔了1元 C．不赚不赔 D．赚了10元【答案】B【分析】根据题意和题目中的数据，可以先计算出最后的售价，然后用售价减去进价，即可得到该商店的盈利情况．【解答】解：由题意可得，100×（1+10%）×（1﹣10%），＝100×1.1×0.9，＝110×0.9，＝99（元），99﹣100＝1（元），即赔了1元，故选：B．14．下列式子计算结果和相等的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据乘法分配律，即可解答．【解答】解：＝（﹣3﹣）×，故选：D．15．已知m是最小的正整数，n是最大的负整数，a、b互为相反数，x、y互为倒数，则m2+n2+a+b﹣xy的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D【分析】利用相反数、倒数的性质，以及最小的正整数为1，最大负整数为﹣1求出各自的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：m＝1，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1，则原式＝1+1+0﹣1＝1．故选：D．16．定义新运算：当a＞b时，a⊗b＝a﹣2b；当a＜b时，（其中a+b≠0），则﹣1⊗2＝﹣3．【答案】﹣3．【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：﹣1⊗2＝＝＝﹣3，故答案为：﹣3．17．若a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|＝2，那么代数式的值为1或﹣7．【答案】1或﹣7．【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然后分两种情况进行计算即可解答．【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，＝﹣3×1+2×2＝0﹣3+4＝1；当m＝﹣2时，＝﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣3+（﹣4）＝﹣7；∴的值为1或﹣7，故答案为：1或﹣7．18．定义新运算：a*b＝a2（a﹣b），如：2*3＝22（2﹣3）＝﹣4．则2*（3*5）＝80．【答案】80．【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：2*（3*5）＝2*[32×（3﹣5）]＝2*[9×（﹣2）]＝2*（﹣18）＝22×[2﹣（﹣18）]＝4×（2+18）＝4×20＝80，故答案为：80．19．定义一种新运算：若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记作logab＝n，例如log28＝3，log39＝2，log5125＝3．【答案】3．【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答．【解答】解：∵53＝125，∴log5125＝3，故答案为：3．20．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：（1）当a＝5时，求的值．（2）当a＝﹣2时，求的值．（3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求+的值．（4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求+++的值．【答案】（1）1；（2）﹣1；（3）±2；（4）0，﹣4．【分析】（1）直接将a＝5代入求出答案；（2）直接将a＝﹣2代入求出答案；（3）分别利用a＞0，b＞0或a＜0，b＜0分析得出答案；（4）分别利用当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0，当a，b，c都小于0，分析得出答案．【解答】解：（1）当a＝5时，＝1；（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；（3）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况：当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2，当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2∴当ab＞0时，+的值为±2；（4）若a，b是有理数，当abc＜0时，分2种情况：①当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，+++＝﹣1+1+1﹣1＝0，②当a＜0，b＜0，c＜0时，+++＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，综上所述，+++的所有可能的值为0，﹣4．21．计算：（1）（﹣+）÷（﹣）；（2）（﹣2）3×（﹣）﹣|﹣1﹣5|．【答案】（1）﹣11；（2）﹣2．【分析】（1）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算，即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．【解答】解：（1）（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+）×（﹣12）＝﹣12×+12×﹣12×＝﹣10+3﹣4＝﹣11；（2）（﹣2）3×（﹣）﹣|﹣1﹣5|＝﹣8×（﹣）﹣6＝4﹣6＝﹣2．22．一根绳子长15米，现要捆扎一种礼盒（如图），如果接头处要用掉30厘米，这根绳子最多可以捆扎多少个这样的礼盒？【答案】这根绳子最多可以捆扎13个这样的礼盒．【分析】根据题意可得：这根绳子可以捆扎这样的礼盒的个数＝1500÷（8×4+10×2+15×2+30），然后进行计算即可解答．【解答】解：∵15米＝1500厘米，∴1500÷（8×4+10×2+15×2+30）＝1500÷（32+20+30+30）＝1500÷112＝13（个）……44（厘米），答：这根绳子最多可以捆扎13个这样的礼盒．23．计算：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）﹣8．【分析】（1）先算乘法，后算加减，即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．【解答】解：（1）＝﹣10+1+10＝1；（2）＝4+（﹣9）×＝4+（﹣12）＝﹣8．24．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．【答案】①（3+5）÷2×6；②（5﹣3+2）×6（答案不唯一）．【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答．【解答】解：①（3+5）÷2×6＝8÷2×6＝4×6＝24；②（5﹣3+2）×6＝（2+2）×6＝4×6＝24；∴两个结果等于24的算式为：①（3+5）÷2×6；②（5﹣3+2）×6（答案不唯一）．25．根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，中学生使用电子产品的时间不应超过2小时．某校想了解该校学生每天刷抖音的时间情况，特制作了调查表进行调查，下表是该校某学生某周每天刷抖音的时间情况（标准使用时间为每天2小时，超过记为正、不超过记为负）：星期一二三四五六日增减+3﹣1﹣2﹣0.5﹣1.5+5+8（1）根据上表的数据可知该生星期三刷抖音的时间是0小时；（2）刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多10小时；（3）该生这一周刷抖音共用了多少小时？【答案】（1）0；（2）10；（3）该生这一周刷抖音共用了25小时．【分析】（1）根据题意可得：该生星期三刷抖音的时间＝2﹣2，然后进行计算即可解答；（2）根据题意可得：刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多的时间＝8﹣（﹣2），然后进行计算即可解答；（3）把表格中的这些正数和负数全部相加，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：2﹣2＝0（小时），∴该生星期三刷抖音的时间是0小时，故答案为：0；（2）由题意得：8﹣（﹣2）＝8+2＝10（小时），∴刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多10小时，故答案为：10；（3）由题意得：+3+（﹣1）+（﹣2）+（﹣0.5）+（﹣1.5）+（+5）+（+8）＝11（小时），∴2×7+11＝14+11＝25（小时），∴该生这一周刷抖音共用了25小时．26．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．过程如图所示．（1）接力中，计算错误的学生是小明和小强；（2）请正确计算老师出示的算式；（3）计算：．【答案】（1）小明和小强；（2）27；（3）﹣76．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；（3）先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答．【解答】解：（1）接力中，计算错误的学生是小明和小强，故答案为：小明和小强；（2）﹣42+20÷（﹣4）﹣6×（﹣2）3＝﹣16+（﹣5）﹣6×（﹣8）＝﹣16﹣5+48＝﹣21+48＝27；（3）＝﹣1﹣10×2×4+5＝﹣1﹣80+5＝﹣81+5＝﹣76．27．2022年由于“新冠肺炎”的原因，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个．由于各种原因实际每天生产量相比有出入，表格是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．星期一二三四五六日增减+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；（2）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？【答案】（1）600个；（2）7120元．【分析】（1）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解；（2）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．【解答】解：（1）由题意得：（+400）﹣（﹣200）＝400+200＝600（个），答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个；（2）由题意得：[（+100）+（﹣200）+（+400）+（﹣100）+（﹣100）+（+350）+（+150）]+5000×7＝[150﹣200+300﹣100﹣50+250+150]+35000＝600