专题01 有理数（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版）2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题01有理数【考点01】正负数

【考点02】相反意义的量表示

【考点03】有理数的概念辨析【考点04】有理数的分类【考点05】有理数的大小比较

【考点06】数轴的三要素及其画法【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【考点08】数轴上两点之间的距离【考点题型九】数轴上的动点问题

【考点09】相反数的概念【考点10】相反数的性质运用

【考点11】绝对值定义、绝对值的性质【考点12】化简绝对值

【考点13】非负性的性质知识点1：正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数。负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。知识点1：有理数（1）概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。（2）分类：两种

知识点1：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。知识点1：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点1：绝对值（1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。

（3）代数符号意义：注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。（4）性质：绝对值是a(a＞0)的数有2个，他们互为相反数。即±a。（5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。【考点01】正负数

【典例1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出1000元记作−1000元，那么+1080元表示（

）A．支出80元 B．收入80元 C．支出1080元 D．收入1080元【答案】D【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量．【详解】解：∵支出1000元记作−1000元，∴+1080元表示表示收入1080元，故选：D．【变式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影响，全球经济大幅下滑，经合组织预计，2020年全球经济下降为4.5%，记作−4.5%，与此同时，经合组织预计2020年美国经济增速预期为−3.8%，2020年欧元区经济增速为−7.9%．按照经合组织的预期，2020年中国经济将实现A．+1.8% B．−1.8% C．+1.8 【答案】A【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【详解】解：下降记为“－”，则增长记为“＋”，所以增长1.8%，记为+1故选：A【变式1-2】在−2，+3.5，0，−12,−0.7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可．【详解】解：在−2，+3.5，0，−12,−0.7故选：B【变式1-3】在−2，+3.5，0，−12,−0.7A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查有理数，根据分数的定义逐个判断即可．【详解】解：在−2，+3.5，0，−12,−0.7故选：B【变式1-4】有一组数为：−1，12A．−17 B．17 C．【答案】A【分析】通过观察，按照排列顺序，第奇数个都是负数，偶数个都是正数，分母就是它们的序数，分子都是1．本题是信息给予题，认清规律是解题的关键．【详解】解：∵第7个数，7是奇数，∴应该是负数，即−1故选A．【考点02】相反意义的量表示

【典例2】如果收入100元记作+100元，那么支出300元记作（）A．−300元 B．+300元 C．1300元 D．+1300元【答案】A【分析】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．根据正负数的实际意义进行排除选项即可．【详解】解：由收入100元记作+100元，那么支出300元记作−300元；故选A．【变式2-1】张老师对全班同学以90分为标准计分，小明得95分，记作+5分；小丽被记作−3分，则小丽的实际分数为（

）A．93 B．92 C．87 D．88【答案】C【分析】本题考查了正数与负数表示意义相反的两种量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．【详解】解：∵以90分为标准计分，小明得95分，记作+5分；∴小丽被记作−3分，则小丽的实际分数为90−3=87分，故选：C．【变式2-2】规定：→2表示向右移动2，记作+2，则←3表示向左移动3，记作（）A．+3 B．−3 C．−13 【答案】B【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可，本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【详解】解：∵“正”和“负”相对，∴如果→2表示向右移动2，记作+2，则←3表示向左移动3，记作−3，故选：B．【变式2-3】根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作．【答案】−70米【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果；【详解】解：向东走30米记作“+30米”，那么向西走70米记作−70米；故答案为：−70米

【考点03】有理数的概念辨析

【典例3】在数227，−15，−π3.14，0.4，0.333⋯A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断即可得出答案．【详解】解：有理数有227，−15，0.4，0.333⋯故选：C【变式3-1】下列判断语句中，错误的是（

）A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是−1C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是0【答案】D【分析】本题主要考查的是有理数的知识，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有理数．【详解】解：A.最小的正整数是1，说法正确，不符合题意；B.最大的负整数是−1，说法正确，不符合题意；C.没有最大的有理数，说法正确，不符合题意；D.没有最小的有理数，说法错误，符合题意；故选：D．【变式3-2】在3.14，227，0，π3，0.1010010001中，有理数有（A．5个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握有理数的概念．根据有理数的概念依次判断即可．【详解】解：3.14是有限小数，是有理数；2270是整数，是有理数；π30.1010010001是有限小数，是有理数；故有理数有4个，故选：D．【变式3-3】零是（）A．最小的整数 B．最小的正数 C．最小的有理数 D．最小的非负整数【答案】D【分析】本题考查有理数，掌握最大的负整数是−1，最小的正整数是1．注意：有理数既没有最大也没有最小．熟练掌握0的特殊性十分重要．根据0的特殊性，利用排除法进行选择．【详解】解：A、没有最小的整数，故此选项不符合题意；B、没有最小的正数，故此选项不符合题意；C、有理数没有最大最小，故此选项不符合题意；D、非负整数就是正整数或0，所以0最小，故此选项符合题意．故选：D．【考点04】有理数的分类

【典例4】把下列各数分别填在相应的集合内：−11、4.8、73、−2.7、16、3.1415926、−正数集合｛

｝负分数集合｛

｝非负整数集合｛

｝【答案】见详解【分析】本题考查了有理数的分类，涉及正分数、负数、整数以及非正整数的定义，难度较小；大于0的分数是正分数；小于0的分数是负分数；整数是包括正整数、零、负整数；非正整数包括零、负整数．根据正数、负分数、非负整数的定义进行作答即可．【详解】解：正数集合｛

4.8、73、16负分数集合｛−2.7、−3非负整数集合｛73、0，……｝【变式4-1】将有理数−2.5，0，212，2024，整数：{

…}；负数：{

…}；非负数：{

…}．【答案】0，2024；−2.5，−35%；0，2【分析】本题主要考查了有理数分类，理解并掌握有理数的概念和分类是解题关键．根据有理数的分类，逐一分类填写即可．【详解】解：整数：{0，2024…}；负数：{−2.5，−35%非负数：{0，21【变式4-2】将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内：−2.25，+16，−14，−4，3.14，0，227，π有理数数集合：{

}整数集合：{

}；负数集合：{

}；分数集合：{

}；【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类对各数进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键．【详解】解：有理数数集合：{−2.25，+16，−14，−4，3.14，0，227整数集合：{+16，−4，0}；负数集合：{−2.25，−4，−14，分数集合：{−2.25，−14，3.14，227【考点05】有理数的大小比较

【典例5】比较大小：−+34−−56（填“【答案】>【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，先化简多重符号和绝对值求出两个数，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可．【详解】解：−+34∵−3∴−+故答案为：>．【变式5-1】比较大小：−53【答案】>【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知两个负数，绝对值大的其值反而小是解答此题的关键．根据两负数比较大小的法则进行比较即可．【详解】解：∵−∴−5故答案为：>．【变式5-2】比较大小：−23−34（填“>”“【答案】>【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．【详解】解：−23=∵23∴−2故答案为：>．

【考点06】数轴的三要素及其画法

【典例6】下列数轴的画法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可．【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意；B、缺少正方向，故此选项不符合题意；C、−1和−2标错了，故此选项不符合题意；D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意．故选：D．【变式6-1】下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可．【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，−2与−1位置颠倒，故此选项不符合题意；B．没有原点，故此选项不符合题意；C．没有正方向，故此选项不符合题意；D．数轴画法正确，故此选项符合题意．故选：D．【考点07】利用数轴比较有理数的大小

【典例7】已知一组数：−3，−52，0，−−1.5(1)把下列这条直线补充成一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来；(2)把这些数按照从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来．【答案】(1)见解析(2)−【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小．（1）在数轴上根据有理数与数轴的对应进行画图即可；（2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号把各数连接起来即可．【详解】（1）−3=3，−如图所示，即为所求；（2）从小到大的顺序排列如下：−5

【变式7-1】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（

）A．a+b>0 B．b−a<0 C．ab>0 D．a【答案】B【分析】先根据数轴可以得到b<0<a，且|b|>|a|，再利用实数的运算法则即可判断．本题主要考查了利用数轴来进行实数大小比较．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．【详解】解：根据点在数轴的位置，知：b<0<a，且|b|>|a|．A、∵b<0<a，且|b|>|a|，∴a+b<0，故本选项错误；B、∵b<a，∴b−a<0，故本选项正确；C、∵a>0，b<0，∴ab<0，故本选项错误；D、|b|>|a|，故本选项错误．故选：B．【变式7-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（

）

A．a<b<−c B．b<−c<a C．−a<c<b D．a<−c<−b【答案】B【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出b<0<c<a，a>【详解】解：由题意可知，b<0<c<a，且a>∴b<−c<a，故选项A不合题意；∴a>−c>b，故选项B合题意；∴−a<b<c，故选项C不合题意；∴c<−b<a，故选项D符合题意．故选：B．【变式7-3】在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有（）A．5个 B．6个 C．9个 D．8个【答案】C【分析】本题考查了数轴，先画出数轴，根据数轴和绝对值的几何意义进行分析解答．【详解】解：如图所示：在数轴上与原点的距离不大于4的整数点有−4、故选：C．【变式7-4】（1）把数轴补充完整；（2）在数轴上表示下列各数：0，−−2，−4，312（3）用“>”将这些数连接起来，

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【分析】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点、单位长度；在数轴上表示有理数，根据数轴上左边的数总是小于右边的数进行判断，将题目所给的数字准确的表示在数轴上是解本题的关键．【详解】解：（1）如图所示：

；（2）∵−−2=2，在数轴上表示为：

；（3）31

【考点08】数轴上两点之间的距离

【典例8】同学们都知道，7−−3表示7与−3之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与−3(1)7−−3(2)找出所有符合条件的整数x，使得x+4+(3)对于任何有理数x，x−3+(4)若x+1+x−6=9【答案】(1)10(2)x=−4,−3,−2,−1,0,1(3)最小值为3(4)−2或7【分析】本题考查数轴和绝对值．理解并灵活运用“两数之差的绝对值表示这两个数对应的点之间的距离”是解题的关键．（1）7−−3（2）根据x+4+x−1=5表示x与-4的两点之间的距离和x（3）根据x−3+x−6表示x与3的两点之间的距离和x与6的两点之间的距离之和可知，当x表示的点位于3表示的点与6表示的点之间时，（4）根据两点间的距离求解即可．【详解】（1）∵7−−3表示7与−3∴7−−3故答案为：10；（2）∵x+4+x−1=5的意义是：表示x与−4∴−4≤x≤1（x为整数），∴x=−4,−3,−2,−1,0,1．（3）对于任何有理数x，x−3+∵x−3+x−6的意义是：表示x与3的两点之间的距离和∴当3≤x≤6时，x−3+（4）x+1+x−6=9的意义是：表示x与−1∵6−−19−7÷2=1−1−1=−2，6+1=7∴x的值为−2或7．【变式8-1】点A，B是数轴上的两点，A，B两点之间的距离是5，若点A表示−3，则点B表示的数是【答案】2或−8【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点间距离，解题的关键是能分类讨论求出符合条件的所有情况．根据题意得出两种情况，当点B在点A的右边时，当点B在点A的左边时，分别求出即可．【详解】解：根据数轴的特点分两种情况讨论：①当点B在点A的右边时，−3+5=2；②当点B在点A的左边时，−3−5=−8．∴点B表示的数是2或−8．故答案为：2或−8．

【变式8-2】数轴上的点A到原点的距离是10，则点A表示的数为（

）A．10或−10 B．0 C．−10 D．10【答案】A【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，分两种情况：当点A在原点的左边时；当点A在原点右边时；分别计算即可得出答案．【详解】解：当点A在原点的左边时，0−10=−10；当点A在原点右边时，0+10=10，故选：A．【变式8-3】数轴上点A表示−4，点B表示3，则A、B两点间的距离是（）A．−1 B．−5 C．7 D．1【答案】C【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点的距离为较大的数减去较小的数成为解题的关键数轴上两点之间的距离等于这两点的数的差的绝对值，即：较大的数减去较小的数即可．【详解】解：3−−4=7，即A、故选：C．【答案】−2或4【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分两种情况考虑．分点B在点A的左侧和右侧两种情况即可完成．【详解】当点B在点A的左侧时，此时点B表示的数是−2；当点B在点A的右侧时，此时点B表示的数是4；故点B表示数是−2或4；故答案为：−2或4

【考点09】数轴上的动点问题

【典例9】已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达A点，再从A点向右移动12个单位长度到达B点．点C是线段AB的中点．(1)点C表示的数是_____；(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点Q,M分别从点C、B出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为t秒．①当t=2时，求QM−PQ的值；②试探索：QM−PQ的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．【答案】(1)−1(2)①QM−PQ的值为0；②QM−PQ的值不随着时间t的变化而改变．理由见解析【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）根据题意可以求得点C表示的数；（2）①根据题意可以用代数式表示点M,P,Q运动时间t时表示的数；根据题意可以求得当t=2秒时，QM−PQ的值；②先判断是否变化，然后求出QM−PQ的值即可解答本题．【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：−7，B点表示的数为：−7+12=5，,由AC=12×1故点C表示的数为：0−7+6=−1．故答案为：−1；（2）解：①由题意可得，点Q移动t秒时表示的数为−1+t，点P移动t秒时表示的数为−7−2t，点M移动t秒时表示的数为5+4t，当t=2时，QM−PQ=[(5+4t)−(−1+t)]−[(−1+t)−(−7−2t)]=(5+4t+1−t)−(−1+t+7+2t)=6+3t−6−3t=0；②QM−PQ的值不随着时间t的变化而改变，∵QM−PQ=[(5+4t)−(−1+t)]−[(−1+t)−(−7−2t)]=(5+4t+1−t)−(−1+t+7+2t)=6+3t−6−3t=0，∴QM−PQ的值不随着时间t的变化而改变，QM−PQ的值为0．【变式9-1】如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为cm．(2)图中点A所表示的数是，点B所表示的数是．(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？【答案】(1)5(2)10，15(3)爷爷现在的年龄是65岁【分析】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小明的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后转化为数轴上求点表示数的问题．（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是20−5=15cm，则此木棒长为5（2）根据两点间的距离公式即可求解；（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为−45，小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比小明大120−−45【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是20−5=15cm则此木棒长为15÷3=5cm故答案为：5；（2）解：图中点A所表示的数为5+5=10，点B所表示的数为20−5=15．故答案为：10，15；（3）解：如图：借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为−45．小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120．可知爷爷比小明大120−−45可知爷爷的年龄为120−55=65（岁）．故爷爷现在的年龄是65岁．【变式9-2】如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，BC=2，AB=6．

(1)则点A对应的数是，点B对应的数是；(2)动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段AP上，且AM=MP，N在线段CQ上，且CN=14CQ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）②猜想MQ的长度是否与t的大小有关？如果有关请你写出用t表示的代数式；如果无关请你求出MQ的长度．【答案】(1)−5，1(2)①点M对应的数为：−5+4t，点N对应的数为：3+t；②MQ的长度与t无关，长度为8【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解；（2）①由题意可得AM、CN的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数；②根据题意可得点Q对应的数，进而得到MQ的长度，根据结果即可作出判断．【详解】（1）解：∵点C对应的数为3，BC=2，∴点B对应的数为：3−2=1，又∵AB=6，∴点A对应的数为：1−6=−5，故答案为：−5，1；（2）①由动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动，则AP=8t，CQ=4t，又∵AM=MP=12AP∴AM=4t，CN=t，∴点M对应的数为：−5+4t，点N对应的数为：3+t；②MQ的长度与t无关，理由如下：由于CQ=4t，∴点Q对应的数为：3+4t，则MQ=3+4t−−5+4t即MQ的长度与t无关，长度为8．【变式9-3】综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和−1的两点之间的距离是________；【独立思考】：（2）数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为________；（3）试用数轴探究：当|m−1|=3时m的值为________．【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：（4）利用数轴求出|x−2|＋|x−5|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？【答案】（1）4；4

（2）|x+2|

（3）m=−2或4

（4）2，3，4，5【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．（1）用大数减小数便可求得两点的距离；（2）根据定义用代数式表示；（3）分两种情况：m点在1的左边；m点在1的右边；分别列式计算便可；（4）确定x与2的距离加上x与5的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数．【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是：6−2=4；数轴上表示3和−1的两点之间的距离是3−−1故答案为:4；4；（2）数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为|x+2|，故答案为：|x+2|；（3）|m−1|=3表示数m的点与表示数1的点距离为3，当表示数m的点在1的左边时，m=1−3=−2，当表示数m的点在1的右边时，m=1+3=4，所以m=−2或4,故答案为：−2或4；（4）∵|x−2|表示数轴上x和2两点之间的距离，|x−5|表示数轴上x和5两点之间的距离，当且仅当2≤x≤5时，两距离之和最小，∴x可取的整数有:2，3，4，5．

【考点10】相反数的概念

【典例10】2024的相反数是（

）A．2024 B．−2024 C．1012 D．−1012【答案】B【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．【详解】解：2024的相反数是−2024；故选B．【变式10-1】与−2025互为相反数的是（

）A．−2025 B．2025 C．12025 D．【答案】B【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．【详解】解：−2025的相反数的是2025，故选：B．【变式10-2】下列四组数中，互为相反数的一组是（）A．+2与−3 B．−8与+8C．−−2与2 D．+−1【答案】B【分析】本题考查的是相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【详解】解：A、+2的相反数是−2，错误；B、−8的相反数是+8，正确；C、−−2=2的相反数是D、+−1的相反数是1，−故选：B．【变式10-3】如图，点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示−3的相反数的点是（）A．A B．B C．C D．D【答案】C【分析】此题考查了相反数的定义及互为相反数的两个数在数轴上的位置特点，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数，在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离的相等．【详解】解：表示−3的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为3个单位长度的点，如图：根据点A，B，C，D在数轴上的位置，可得点C符合题意，故选：C．【考点11】相反数的性质运用

【典例11】若代数式3x+2和−2x+1互为相反数，则x=（

）A．3 B．−3 C．5 D．−5【答案】B【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【详解】解：根据题意得：3x+2−2x+1=0，移项合并得：x=−3，故选：B．【变式11-1】−−A．25 B．−25 C．125 D．【答案】B【分析】本题考查主要考查了相反数定义，根据题目中负号的个数确定正负，若负号个数为奇数个则结果为负，若负号的个数为偶数个则结果为正得到答案．【详解】解：由题可知负号个数为奇数个，则{−故选：B．【变式11-2】数轴上表示数a和a+4的点到原点的距离相等，则a为（

）A．−4 B．4 C．2 D．−2【答案】D【分析】本题考查数轴上原点两侧到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．根据相反数的几何意义可知：a与a+4互为相反数；再根据互为相反数的两数和为0即可解答．【详解】解：由题意知：a与a+4互为相反数，∴a+a+4=0，解得：a=−2．故选：D．【变式11-3】代数式3a+1与2−2a互为相反数，则a=．【答案】−3【分析】本题考查相反数的性质、解一元一次方程，先根据互为相反数的两个数之和是零列方程，然后解方程即可．【详解】解：∵代数式3a+1与2−2a互为相反数，∴3a+1+2−2a=0解得a=−3，故答案为：−3．【变式11-4】如果a,b互为倒数，c,d互为相反数，那么6d−5ab−(−6c)=．【答案】−5【分析】此题考查倒数和相反数的概念，代数式求值；首先根据倒数的概念，可知ab=1，根据相反数的概念可知c+d=0，然后把它们分别代入，即可求出代数式6d−5ab−(−6c)的值.【详解】若a，b互为倒数，则ab=1，c，d互为相反数，则c+d=0，那么6d−5ab−(−6c)=6d+c故答案为：−5．

【考点12】绝对值定义、绝对值的性质

【典例12】若一个数的绝对值是2019，则这个数是（

）A．2019 B．−2019 C．±2019 D．以上都不对【答案】C【分析】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个，除非绝对值为0的数才有一个为0．【详解】解：∵+2019=2019，∴绝对值等于2019的数有2个，即+2019和−2019，故选：C．【变式12-1】如图，某草莓采摘园采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克为标准，超过的干克敖记为正数，不足的千克数记为负数，其中最接近标准质量的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查绝对值的意义；由题意易得+0.3<【详解】解：由题意得：+0.3<∴最接近标准质量的是A；故选：A．【变式12-2】绝对值大于4.5小于8的所有整数的有．【答案】±5、±6、±【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．【详解】解：绝对值大于4.5小于8的所有整数的有±5、±6、±7故答案为：±5、±6、±7【考点13】化简绝对值

【典例13-1】如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a，b，c．(1)填空：a−b______0，a+c______0，b−c______0．（用<或>或＝号填空）(2)化简：a−b−【答案】(1)<，<，<(2)a−b【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．（1）根据数轴上，右边的数总比左边的大和有理数的加法法则判断即可；（2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可．【详解】（1）解：由数轴得：a<b，∴a−b<0，由数轴得：a<0,c>0,a∴a+c<0，由数轴得：b<c，∴b−c<0，故答案为：<,<,<；（2）由数轴得：a<c，∴a−c<0，∴原式=b−a+a−c+c−b=0．

【典例13-2】若xy>0，则xx+y【答案】−1【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可．【详解】解：因为xy>0，所以x，y同为正数或同为负数．当x>0，y>0时，xx当x<0，y<0时，xx所以原式的最小值为：−1，故答案为：−1．【变式13-1】若ab≠0，则aa+【答案】−2或0或2【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案．【详解】解：当a、b同时为正时，aa当a、b同时为负时，aa当a、b一正一负时，不妨设a为负，aa综上所述，aa+b故答案为：−2或0或2．【变式13-2】若xy>0，则xx+y【答案】3或−1【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可．【详解】解：因为xy>0，所以x，y同为正数或同为负数．当x>0，y>0时，xx当x<0，y<0时，xx所以原式的值为3或−1，故答案为：3或−1．【变式13-3】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式aa+b−1【答案】−3【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出−1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉绝对值，即可求解．【详解】解：根据数轴可知：−1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式==−1−1−1=−3．故答案为：−3．【变式13-4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b−c0，a+b0，c−a0．(2)化简：|b−c+【答案】(1)<，<，>，(2)−2b【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负以及绝对值化简问题，得出a、b、c的正负情况是解题关键．（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【详解】（1）解：由图可知，a<0<b<c且b<所以，b−c<0,a+b<0,c−a>0；故答案为：<，<，>；（2）解：|b−c【考点14】非负性的性质【典例14】若ab≠0，则aa+【答案】−2或0或2【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案．【详解】解：当a、b同时为正时，aa当a、b同时为负时，aa当a、b一正一负时，不妨设a为负，aa综上所述，aa+b故答案为：−2或0或2．【变式14-1】若xy>0，则xx+y【答案】3或−1【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可．【详解】解：因为xy>0，所以x，y同为正数或同为负数．当x>0，y>0时，xx当x<0，y<0时，xx所以原式的值为3或−1，故答案为：3或−1．【变式14-2】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式aa+b−1【答案】−3【分析】本题考查了代数式的化简、数轴和去绝对值；先根据数轴求出−1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉绝对值，即可求解．【详解】解：根据数轴可知：−1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，∴原式==−1−1−1=−3．故答案为：−3．1．下列四个数中，是负数的是（

）A．−5 B．−−3 C．0 D．【答案】D【分析】本题考查了负数的定义，绝对值，多重符号化简等知识点，将选项中的数准确化简是解本题的关键．【详解】解：A、−5=5B、−−3C、0不是正数，也不是负数，不符合题意；D、−−2故选：D．2．下列图形中是数轴的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键．根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可．【详解】解：A、没有正方向，错误；B、没有原点，错误．C、的单位长度不一致，错误；D、满足原点，正方向，单位长度，正确；故选：D．3．下列化简，正确的是（

）A．−[−(−10)]=−10B．−(−3)=−3 C．+(−5)=5 D．−【答案】A【分析】本题考查了多重符号化简，根据“奇负偶正”的方法进行化简即可求解．【详解】解：A、−−B、−−3C、+−5D、−−故选：A．4．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则aa+bA．−2 B．−1 C．0 D．2【答案】C【分析】本题考查了数轴和去绝对值，根据数轴分别判断a<0，b>0，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．【详解】由数轴可得，a<0，b>0，∴a=a=−1+1=0，故选：C．5．已知m=−6，则m的值可能是（A．−6 B．6 C．6或−6 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．利用绝对值的性质即可解决．【详解】解：∵m=∴m=6或−6，故选：C．6．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点数是（

）A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个【答案】C【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可．【详解】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖22个数；②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖21个数．故选：C．7．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列各式①a+b<0；②a−b>0；③a>b；④1−b>0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查数轴及绝对值的性质，有理数加减法及绝对值的意义，熟知数轴上右边总比左边大是解题关键．先根据a、b在数轴上的位置判断a、b的符号及绝对值的大小，再对各个选项进行判断即可．【详解】解：由图知−2<a<−1<0<b<1，∴a+b<0，故①正确；a−b<0，故②错误；a>b1−b>0，故④正确；综上所述：正确的结论有①③④，共3个，故选：C．8．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为−1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】此题考查了利用数轴解决问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律．找出在翻转的过程中，顶点A、B、C、D分别对应数的规律，再根据2019÷4=504…3可以得到答案．【详解】∵每4次翻转为一个循环组依次循环，∴2019÷4=504…3，∴翻转2016次后正方形ABCD在数轴上的方向和题干中一致，∴此时点A对应的数为2016∴翻转2017次后，数轴上数2017所对应的点是B．∴翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是C．∴翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是D．故选D．9．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示−1的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示−2023的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．根据题意得出每4个数为一循环，分别为0、3、2、1，得出数轴上表示−2023的点与第506组第3个数重合，即可解答．【详解】解：根据题意可得：每4个数为一循环，分别为0、3、2、1，2023÷4=505……3，∴数轴上表示−2023的点与第506组第3个数重合，即为2，故选：C．10．如果某车间运进1.8吨货物记作+1.8吨，那么运出0.7吨货物记作吨．【答案】−0.7【分析】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：∵运进1.8吨货物记作+1.8吨，∴运出0.7吨货物记作−0.7吨．故答案为：−0.7．11．−−12

【答案】<【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案．【详解】先化简：−−−+再求它们的绝对值，−12=∵−∴−1即−−故答案为：<．12．一个水文站测量河水的水位以警戒线为标准，把超过警戒线的高度记为正数，把低于警戒线的高度记为负数，一天五次测量数据如下：次数一二三四五水位（厘米）135−0.5−3−15则第次测量时水位离警戒线最近．【答案】三/3【分析】本题主要考查了绝对值、有理数比较大小，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．比较各数绝对值的大小，根据绝对值的意义，可得答案．【详解】解：−0.5<绝对值越小越接近警戒水位，∴第三次测量时水位离警戒线最近．故答案为：三．13．在数轴上，点A表示的数为2，点B与点A相距8个单位长度，则点B表示的数为．【答案】−6或10/10或−6【分析】本题考查的是数轴，根据题意得出两种情况：①点在表示2的点的左边；②点在表示2的点的右边分别求解即可【详解】解：分为两种情况：①当点在表示2的点的左边时，数为2−8=−6；②当点在表示2的点的右边时，数为2+8=10，所以，B表示的数为−6或10，故答案为：−6或1014．把下列各数填入它所属的集合内−3，30%，−2(1)整数集合{____________________……}；(2)分数集合{___________________