河北省衡水中学2023-2024学年高二下学期第二次综合素养评价数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省衡水中学2023-2024学年高二下学期第二次综合素养评价数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数，则（

）A．0 B． C． D．2．设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．3．函数在上是（

）A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数4．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（

）

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减5．函数在区间的极大值、极小值分别为（

）A．， B．，C．， D．，6．已知直线与抛物线：（）交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．7．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B． C．3 D．8．某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记表示第n天生命体M的个数，表示第n天生命体N的个数，则，，则下列结论中正确的是（

）A． B．数列为递增数列C． D．若为等比数列，则二、多选题9．设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（

）A．5 B．4 C．3 D．210．已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（

）A． B．是一个等差数列C． D．11．已知为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则（

）A．当为双曲线上一点时，的面积为4B．当点坐标为时，C．当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为D．当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为12．设，且，则下列关系式可能成立的是（

）A． B． C． D．三、填空题13．若函数的导函数为，且满足，则．14．已知等差数列中，，则数列的前8项和等于.15．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为.16．已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是．四、解答题17．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．已知函数在和处取得极值．(1)求的值.(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．19．已知函数，其中参数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．20．已知椭圆的右焦点为，且过点.(1)求C的方程；(2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值.21．已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.22．已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论在区间上的零点个数．答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A2．B3．B4．C5．D6．A7．B8．B9．CD10．BD11．ABD12．AC13．/14．7215．216．由，可得，令，解得，令，解得，的递增区间为，递减区间为，故的最大值为，当趋于时，趋于；当趋于时，趋于，且，故当时，，当时，，函数的图象如图，

①当时，由不等式，得或，当时，，有无数多个整数解；当时，其解集为的子集，不含有整数解；所以不合题意；②当时，由不等式，当得，得，则解集为，整数解有无数多个，不合题意；③当时，由不等式，得或，当时，解集为，无整数解；当时，因为不等式有且仅有四个整数解，又，，，，且，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以四个整数解只能为、、、，所以，即．所以实数的取值范围为.故答案为：.17．(1)(2)【解析】（1）解：且，有，当时，有，两式相减得，当时，由，适合，所以.（2）由（1）知，，所以.18．(1)，.(2).【解析】（1）由，可得，由在和处取得极值，可得，，解得，.代入检验，可得，令，解得，.所以时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意.所以，.（2）由（1）可得，在单调递减，在单调递增.要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.令，显然在单调递减，在单调递增，所以.所以，解得或.所以c的取值范围为.19．(1)答案见解析(2)【解析】（1），（1）当时，，，的减区间是．（2）当时，，的减区间是．（3）当时，，，的增区间是，，的减区间是．综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.（2），，因为存在实数，使得不等式成立，，，，,，，单减，，，单增．．，，，．20．(1)(2)【解析】（1）椭圆的右焦点为，则椭圆的半焦距为，由于，则椭圆的方程变为：，将点的坐标代入，，解得：或（舍去），得，所以椭圆的方程为.（2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为，，，由消去x并整理得：，，，的面积，，设，，，因为，当且仅当，时取得“=”，于是得，，所以面积的最大值为1.21．(1)(2)证明过程见解析.【解析】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.22．(1)(2)答案见解析【解析】（1）当时，，其定义域为，，所以，，函数在处的切点坐标为，切线斜率为，因此，函数在处的切线方程为，即．（2）令，则．因为，则，则．当时，则，故，从而在上单调递减；而，故当