数学基础知识-直线和圆的方程

直线和国的方程

I教学要求

1.掌握两点间距离和中点坐标公式.

2.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程，会根据已知条件选取适当的方

法求直线方程.

3.理解两条直线平行和垂直的条件，会判断两条直线的位置关系，会求两条相交直线

的交点.

4.会根据公式求一个点到一条直线的距离.

5.掌握圆的标准方程和一般方程.

6.会判断直线与圆的位置关系.

7.能够应用直线和圆的方程解决一些实际问题.

II教材分析

本章内容介绍

本章探讨的主要是解析几何知识.解析几何产生于17世纪初.当时科学和技术的发展

提出了许多新的数学问题.例如，德国天文学家开普勒发现行星绕太阳运行的轨道是椭圆，

力学家伽利略发现抛射体运动的轨道是抛物线.这些发现迫切需要对曲线的研究和计算，

从而导致了解析几何的产生和发展.法国数学家笛卡儿和费尔马是解析几何的创始人，他

们在平面上引进坐标，把平面上的点与实数对G,y）建立一一对应，然后在点动成线的思

想下，将曲线与方程建立一一对应，从而可以通过方程来研究曲线.解析几何的产生在数

学史上是一重大进展，它用变量的观点研究曲线，使得数学的研究从常量的观念为中心转

变为以变量的观念为中心；同时它又将原来彼此独立发展的代数和儿何通过坐标巧妙的结

合，开创了用代数方法研究几何问题的新方法，这种思想和方法对几何问题的研究如虎添

翼，使人们彻底清楚了直线是一次曲线、圆锥曲线是二次曲线，甚至还把它用于更高次

-31-

数学（基础模块）下册数学参考书

的曲线和曲面的研究.解析几何的产生还为数学的进一步发展一一微积分的诞生创造了

条件.

本章主要讲解直线和圆的知识.直线和圆是最常见的简单几何图形，在实际生活和生

产实践中有着广泛的应用.直线和圆的方程属于平面解析几何范畴，是进一步学习其他曲

线方程的基础，同时也是解决许多实际问题的手段.通过本部分知识学习，可以培养学生

应用数学的意识，提高解决实际问题的能力.

本章主要包括两大部分，直线方程和圆的方程.其中直线方程部分为教学重点，主要

包括直线的倾斜角的概念以及斜率的概念和计算方法，直线方程的几种表示方式，要求学

生会写直线方程.此外还介绍了两条直线的位置关系：平行与垂直，及此种情况下斜率有

什么特点.点到直线的距离是以后经常用到的，要求学生熟练掌握.第二部分圆的方程要

求理解圆的方程的两种形式，并会简单的计算.此外，本章开始还介绍了两点间距离公式

及中点坐标公式及其应用，学生应熟练掌握.

学好本章的关键是：理解解析几何的基本思想方法一一建立坐标系，用代数方程表示

曲线，通过对方程的讨论来研究曲线的性质.

本章教学重点

1.求直线的斜率.

2.根据已知条件，选择适当的形式求直线的方程.

3.判断两条直线的位置关系.

4.利用公式，求两点间的距离、点到直线的距离.

5.圆的标准方程和一般方程.

6.直线与圆的位置关系.

本章教学难点

1.直线与方程的关系.

2.根据已知条件，选择适当的形式求直线的方程.

3.用坐标法解决直线、圆的相关问题.

本章学时安排如下（仅供参考）

8.1两点间距离公式及中点公式约2学时

8.2直线的点斜式和斜截式方程约2学时

8.3直线的一般式方程约2学时

-32-

8.4两条直线的位置关系约3学时

8.5点到直线的距离约1学时

8.6圆的方程约2学时

8.7直线与圆的位置关系约2学时

8.8直线的方程与圆的方程应用举例约2学时

本章小结与复习约2学时

III教学建议和习题答案

8.1两点间距离公式及中点公式

i.两点间的距离公式由闱=，(/-FA+(%-y6应熟记，推导时可以用图作为辅

助，以便学生更好地理解.此外，两点间的距离公式还可以写成

山叫=&斗一3)2+(必一%)2.

2.教材用从特殊到一般的思想方法推导出中点坐标公式，易于学生理解.

课堂练习8.1.1答案

1.\AM\=5

2.⑴归周二2而⑵归周二平

课堂练习8.1.2答案

(1)(5,3)(2)(|,1)

2

习题8.1答案

1.(10,0)或(0,0)

2.一1或11

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3.三条中线的长度分别为3,3,3后

77

，5），N（5,0）

（2）\MN\=^-\BC\=V53

（3）\BC\>\MN\

8.2直线的点斜式和斜截式方程

1.教材从实例出发，用图直观地向学生展示倾斜角，在学习了三角函数后，学生就很

容易表示出斜率上tana,在讲课时一定要注意角a的旋转方向一定是沿逆时针旋转，否

则很容易弄错正负号.同时a=90°时，出是不存在的，这也要注意.通过画图举例说明，

引导学生自己总结出k取不同值时，a角的变化以及直线的变化趋势.

2.学习直线的倾斜角概念时，要强调定义中的三个条件：直线向上的方向、x轴正方

向、最小的正角.由定义可得倾斜角a的取值范围是0WaVTT.这个定义保证了任何一

条直线都有唯一的倾斜角.对于基础好的学生，可要求他们根据斜率的定义，自己推出斜

率的符号与倾斜角的关系.

3.只要正确理解了斜率的定义及意义，就很容易计算斜率.但已知两点求斜率需要一

些向量的知识，教师可稍作介绍，已知两点（为，％）与（X2,"），则过此两点的直线斜率

%=之二"，此处一定要注意义工加，且女也可以写作女即与点的顺序无关.

x2-X]X1-x2

4.已知一点及斜率求直线方程称为点斜式，如已知点P（汨，yi）,斜率为2,则直线

方程为丁一丁尸以工一天），其实由斜率的定义可以得出，我们已知尸是直线上的点，（》,y）也

满足要求是直线上的点，则斜率2=变形后即为了-必=网X-再），用此方法求直

x-x]

线方程时一定要注意k必须存在.

5.斜截式是已知斜率4和直线与y轴的交点（0,b）,直线方程写作）=丘+从其实斜

截式是点斜式的特殊情况，点斜式是已知任意一点，而斜截式是己知直线与y轴的截距.

-34-

课堂练习8.2.1答案

1.(1)0(2火£(0,+8)(3)不存在(4)左£(-8,0)

2.

直线倾斜

30°45°60°120°135°150°180°270°

角a

斜率攵731-1一旦0不存在

T一

3.(1)0°,0(2)90°,不存在

4.略

课堂练习822答案

1.⑴产一3

(2)x=5

(3)产4

(4)x=6

2.(1)%=2,丁-1=2*-2)

(2)%=。，

44

课堂练习823答案

3

1.(1)k=2,b=3,«=-1

(2)k=V3,b=5V3,a=-5

(3)k=—/?=—,a=-\

292

_7

(4)k=2,b=-l,a=—

2

2.(1)y=*x-2

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(2)y=-x+3

(3)》=瓜-5百

(4)y--2x+4

3.(1)y-5=4(x-2),y=4x-3

(2)y-3=-V3(.v-0),y=-y[3x+3

习题8.2答案

33

1(Dy=-x-2(2)y=—x-2

44

2.〃=­4

3.初=4y3=­3

4.(l)y-7=y-(x+3),图略

(2)尸一5,图略

(3)y=-2x+8,图略

(4)y=x^cy=-x,图略.

5.(1)在同一直线上

(2)不在同一直线上

8.3直线的一般式方程

1.直线的一般式方程是本章教学的重点，一般求直线方程都要求是一般式方程.对于

给出直线的一般式方程Ar+6y+C=0,当笈时可化成

AC

y=---x---.

BB

这时斜率为-捺，在y轴上的截距为-£的直线方程.还要明晰，当4二0,3工0时，方程

y=-~,表示经过点（0,-21且平行于工轴的直线；当AwO,B=0时，方程为x=-C,

-B\B）A

-36-

表示经过点o],且平行于〉轴的直线.

IAJ

学生感到困难的是对方程Ax+8)，+C=O中系数A,B,C的理解，无法将直线的倾斜

角、斜率、截距等几何特征与之有机地对应起来，尤其对缺项的方程(如：Ax:+C=O和

8)，+C=O等)，掌握起来颇有困难.教学中应根据学生的实际情况，对例题的讨论应讲深

讲透，结合图形，体现数形结合的数学思想.

2.直线方程的一般式为Av+By+C=O,其也是二元一次方程的一般式，其中A、B

不能同时为零，由一般式很容易推导出直线的斜率和)，轴的截距.

3.教材中通过列表给出了一般式方程的斜率和纵截距公式，但是不要求学生记住，理

解并能够推导即可.

4.本节教学时，教师不必重点讲解直线和直线方程的一般式的一一对应，重点让学生

熟记一般式的形式，并会将其他形式化为一般式.

课堂练习答案

1.-^x-y-2=0

2.-x+y--=0

42

习题8.3答案

1.(1)gx+y_2=0

⑵y=2

(3)2x-y-3=0

_4

2.(1)当BWO时，k=—;当8=()时，无斜率

B

(2)当C=0,A、B不同时为0时，方程表示通过原点的直线

3.8x-5y+25=0

4.y-5=0

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8.4两条直线的位置关系

1.本节重点是运用直线方程研究两条直线的位置关系.平面上两条直线的位置关系

有平行、重合和相交三种情况，通过本节教学，要使学生能够通过两条直线的方程判断两

条直线的位置关系，在相交情况下，判断两条直线是否垂直，并能求出交点.

2.平面内两条相交直线，若相交的角为直角，则两条直线垂直.若两条直线平行，则

直线的斜率相等.直线乙=匕/+々与直线4=后工+&平行的充要条件是占=22且加"历，

其中加之历是学生最容易遗漏的.对于倾斜角为90°的情况应特殊考虑.对于一般式，直

线平行的充要条件是a=2w£.

A2B2C2

3.在直线乙=%x+4与直线4中，若匕=攵2且仇=打时，两条直线重合.在

判断两条直线的位置关系时，应注意此种情况.

4.对于均有斜率的两条直线垂直时，斜率满足1+匕葭=0即《幺=7或匕=-'-.

k2

5.这部分都要求学生熟练掌握怎样求与已知直线平行或垂直的直线方程.

6.教材中提到三角形外角定理，其内容为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角之和.

7.在求两条直线的交点之前，首先应判断两条直线是否相交，即分析一次项系数是否

对应成比例.教材应用了充要条件的语言，简明地论证了两条直线的交点坐标就是两直线

方程构成的方程组的解.因此，求这两条直线的交点问题就转化为求方程组的解的问题.

建议教师带领学生回忆二元一次方程组的解法.这部分内容容易理解，要求学生掌握.

课堂练习8.4.1答案

1.⑴否⑵是⑶是（4）否

2.x+2y-8=0

课堂练习842答案

1.否

-38-

2.y=2x+7

kAB^AC、&«C.％AC均不为T、

故此三角形不是直角三角形.

课堂练习8.4.3答案

(1)(3,-2)

(2)(3,-|)

(3)(5,-3)

(4)(0,1)

习题8.4答案

1.⑴平行(2)平行(3)垂直

2.(1)y=-2x4-7(2)y=-x+5

3.(1)a=2或-3(2)a=-l(3)a=-

4.(1)y=—x+9

2

y=-x+2

(3)y=3x-6

5.(1)相交，交点为(・2,1)

(2)相交，交点为(0,0)

(3)相交，交点为(7,y)

8.5点到直线的距离

1.点到直线的距离是研究某些问题的重要工具.本节给出点到直线的距离公式的推

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导，要求学生理解其定义和计算方法，教师也可以根据实际情况，让学生利用点到直线的

距离求两条平行线之间的距离.下面给出相关例题.

例求两条平行直线2X-7>8=0和2x-7y-6=0之间的距离.

分析：根据点到直线距离的定义可以知道：两条平行直线中的一条直线上的每一点到

另一条直线的距离都相等.

解在直线2x-7y-6=0上任取一点，例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线

2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.

因此

^_|2x3-7x0+8|

6十(一7)2

14

-753

14屈

53

2.点(%,%)到直线Ax+8y+到0的距离为d」土厂为。十。，应要求学生熟记.

JA?+B2

课堂练习答案

1」

5

2.4

习题8.5答案

18

l.(Dy⑵8(3)1

2.(1)11(2)—(3)8

2

3.(1)土竿(2)。］或。<2

-40-

8.6圆的方程

1.圆可以看作平面内一点(x,y)到一定点(。力)等于定长厂的点的集合，由此列方程

可得

7(x-a)2+(y-b)2=r

变形后。-。)2+()-力2=/即为圆的标准方程，其中(凡力为圆心，尸为圆的半径.

2.了解了圆的标准方程的来源，就很容易根据圆心和半径写出圆的方程.

3.圆的标准方程展开后变成x2+y2+Dx+Ey+F=O的二元二次方程，叫做圆的一般

方程，要求学生根据圆的一般方程求出圆的圆心、半径.

将圆的一般方程配方后得(x+?)2+(y4-1)2J'—尸

①当。2+石2一4/>(),其表示以一£)为圆心，Lg+E?-4F为半径的圆;

222

②当。2+石2一4/=(),其表示点(_2,一W)；

22

③当。2+52-4厂<0,方程无实数解，所以不表示任何图形.

故要表示圆的方程的条件为D2+E2-4F>0.

4.由于方程(x—a)2+(y—h)2=，和%2+产+以+@+尸=0都含有3个参变数，因

而必须具备3个独立条件，才能确定一个圆.通常用待定系数法，确定常数。、Ar或。、

从凡然后再写出圆的方程.学生己经学过待定系数法，在例题的讲解中一般不会有什么

困难，但要再次向学生指出它是一种常用的数学方法，不仅可以月来确定圆的方程，还可

以用来确定其他一些曲线的方程和解决有关问题.

5.对于圆的一般方程，要求学生能够通过配方，理解在什么情况下，它的轨迹是一个

圆，圆心的坐标是什么，半径是什么，在什么情况下，它的轨迹是点或无轨迹.这里注意

不要让学生死记结果，而是要求学生掌握通过配方求圆心和半径的方法.

课堂练习8.6.1答案

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1.3

2.(0,1)

3.(x+2)2+y2=l,图略

课堂练习8.6.2答案

1.(1)(-10,0),10

(2)(-2,3),V13

(3)(-2,4),V23

2.x2+y2-2x=0

习题8.6答案

1.(1)x2+y2=9

⑵。-3户+(”4)2=5

(3)(x—8)2+(y+3)2=25

2.(1)点(0,0)

(2)表示以点(1,-2)为圆心，而为半径的圆

3.⑴设圆心为C(%,3x0-2)

由IACI=IBCI得

刖二2,则圆心为(2,4)

半径,二］。

:•圆方程为(％-2,+。一4-=10

(2)设圆方程为x2+y2+Dx+Ey^F=0,将三个点的坐标分别代入得

-42-

l+l+D-E+F=0

“+16+O+4E+尸=0

16+4+4D-2E+F=0

D=-7

解得＜E=-3

F=2

・・・x2+/-7x-3y+2=0

4.x2+/-4x-2y-20=0

8.7直线与圆的位置关系

1.教材通过让学生回忆初中知识，回忆直线与圆的3种位置关系，引出如何去判断这

3种关系的问题.

2.判断直线与圆的位置关系，有很多种方法.有一种方法是利用将直线方程和圆的方

程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线与圆的位置关系.这种方法，理

论上讲是很简单的，但是实际操作起来，运算过程很麻烦.教材中通过利用圆心到直线的