专题52 四边形面积有关的最值问题（解析版）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题52四边形面积有关的最值问题

【规律总结】

特殊四边形用公式，普通四边形转化成三角形球面积（铅垂法）；

结合二次函数；

【典例分析】

例1.（2020・湖北武汉市•九年级期中）如图，四边形A3C。的两条对角线AC3。所成的

锐角为60。,AC+8。=10,则四边形ABCQ的面积最大值为.

【分析】

根据四边形面积公式，S=-ACxBDxsin60°,根据sin6（T=也得出S=gx（10-x）x

222

再利用二次函数最值求出即可.

【详解】

解：EIAC与BD所成的锐角为60。，

回根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S=gACxBDxsin600,

设AC=x,则BD=10-x,

°1.小，八,、2573

所以S=—x（10-x）x2J_=_（x-5）2+—2—,

2244

所以当x=5,S有最大值竺叵.

4

故答案为：竺叵.

4

【点睛】

此题主要考查了四边形面枳公式以及二次函数最值，利用二次函数最值求出四边形的面积最

大值是解决问题的关键.

例2.（2018•山东济南市•九年级一模）（探索发现）如图①，是一张直角三角形纸片，

NC=60°,小明想从中剪出一个以B8为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当

沿着中位线。瓦斯剪下时，矩形的面积最大，经证明发现：矩形的最大面积与原三角形

面积的比值为.

图①图②图③图④

（拓展应用）

如图②，在DABC中，BC=a,8c边上的高AZ）=力，矩形PQMN的顶点P,N分

别在边AB,AC上,顶点M在边8。上,则矩形PQMN面积的最大值为.（用

含〃的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形"ABCr>E,A5=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪

出了一个面积最大的矩形（DZ?为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量

4

AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=—，木匠徐师傅从这块余料中

3

裁出了顶点M,N在边8C上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.

【答案】【探索发现】g；【拓展应用】中；【灵活应用】720；【实际应用】1944cm2

【分析】

11SFEDB_EF■DE

探索发现：由中位线知EF=—BC,ED^-AB,由S一1"n"可得;

27ABC—ABBC

2

PNAEn

拓展应用：由口APNECABC知一=—,得PN=a一一PQ,设PQ=x,表示出矩形

BCADh

PQMN的面积，求出最值即可；

灵活应用：延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF

的中点I,FG的中点K,证明口隹产加班。和口C£>GH”£。，得AF=DH=16,CG=HE=20,

再利用【探索发现】的结论即可求出结果；

4

实际应用：延长BA、CD交于点E,过点E作EH_LBC于点H,根据tanB=tanC=-,

3

求出BH和EH的长，再证明中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，即可用【拓展应用】的

结论算出结果.

【详解】

探索发现：

回EF、ED是口48。的中位线，

&ED//AB,EFUBC,ED^-AB,EF=-BC,

22

回NB=90。，

回四边形FEDB是矩形,

1fiC-—AR

KFEDBEFDE22=1

c112

aA8c-ABBC-ABBC2

22

故答案是：!：

2

拓展应用：

0PN//BC

SUAPNiJCABC,

PNAEPNh-PQ

0-----=-----即-

BCADah

©PN=a-3pQ,

h

设PQ=x,

ncaa2Q/2

0S=PQ-PN=xa——x=——x+办=——x——+—，

°PQMN\h)hh\2)4

团当PQ=g时，SpQw有最大值，最大值是中,

故答案是：”；

4

灵活应用：

如图，延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF的中

点I,FG的中点K,

F

由题意知四边形ABCH是矩形，

0AB=32.3C=40,4£=2(),CD=16,

E1EH=2O,£>”=16,

^AE=EH-CD=DH，

在山正尸和中，

NFAE=ZDHE

<AE=AH,

NAEF=NHED

^UAEF^HED(ASA),

^AF=DH=\6,

同理□CDGHHED,

SCG=HE=20,

回B/=24<32,

国中位线IK的两端点在线段AB和DE匕过点K作KL_L8c于点L,

由【探索发现】知矩形的最大面积为尸=gx（40+20）x（32+16）=720；

实际应用：

如图，延长BA、CD交于点E,过点E作于点H,

4

[2tanB=tanC=—,

3

团NB=NC，

团EB—EC，

0BC=108cm,且

团BH=CH=—BC=54cm,

2

nEH4

0tanB==—,

BH3

4

田EH=—BH=72cm,

3

在RtVBHE中,BE=J/+BH?=90cm，

团AB=50cm，

0AE-40cm，

团BE的中点Q在线段AB±,

0CD=60cm,

0ED=30。%,

团CE的中点P在线段CD上,

回中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为

1,

-BC-EH=\944cm-.

4

【点睛】

本题考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握中位线定理,相似三角形的性质和判定,

等腰三角形的性质.

【好题演练】

一、填空题

1.(2019•陕西九年级一模)如图，以AB为直径的口。的圆心。到直线/的距离。石=3,

口。的半径厂=2“直线A3不垂直于直线/,过点A、3分别作直线/的垂线，垂足分别

为点。、C,则四边形ABCO的面积的最大值为.

【答案】12

【分析】

先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE=g(AD+BC),所以S四边形ABCD=OE・CD

2

=3CD,只有当CD=AB=4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值.

【详解】

解：BOE0I,ADE1I,BCE1I,

而OA=OB,

0OE为直角梯形ADCB的中位线,

fflOE=—(AD+BC),

2

自S四边形ABCD=L(AD+BC)•CD=0E«CD=3CD,

2

当CD=AB=4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12.

故答案为：12

【点睛】

本题考查了梯形的中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

2.（2020•贵州遵义市•九年级三模）如图，团。是等边MBC的外接圆，已知。是向。上一动

点，连接AD、CD,若圆的半径r=2,则以A、B、C、。为顶点的四边形的最大面积为.

【答案】4逐.

【分析】

连接B。并延长交AC于E,交AC于D,根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直

角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】

连接BO并延长交AC于E,交AC于D，连接AD、CD,

03ABC为等边三角形,

@AB=BC,

回AB=BC，

团0E团AC,点D为AC的中点，

此时点D到AC的距离最大，

瓯ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，

在Rt回BAD中，0ABD=3O°,

1

（3AD=—BD=2,

2

由勾股定理得，AB=,8£）2_心=2布,

回以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积=gx2x2jJx2=4G，

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性

质是解题的关键.

3.（2020•江苏宿迁市•九年级其他模拟）如图，□。的半径为1,点尸为口0外一

点，过点P作口。的两条切线，切点分别为点A和点B,则四边形PBOA面积的最小值是

【答案】"

【分析】

由点P的坐标为（a,a-4）,得至ij0P=Ja」+（a—4）2=,2a2—8a+16，，由于PA,PB是回0

的两条切线，得到PA=PB,I3OAP=EIOBP,由于回OPA瓯OBP,在RtlSOAP中，根据勾股定理得

到PA的长度，于是得到四边形PBOA面积=2x[3OPA的面积=2x—OA*PA=

2

J2a2—8a+15=j2（a—4）2+7，即可得到结果.

【详解】

解：包点P的坐标为（a,a-4）,

0P=^a2+（a-4）2=V2a2-8a+l6

0PA,PB是回0的两条切线，

0PA=PB,0OAP=0OBP,

在I3OPA与I3OBP中，

PA=PB

-ZOAP=ZOBP

OP=OP

00OPAI30OBP,

在RtEOAP中,

PA=Jo尸—1=J2a-8a+16—1=J2a2—8a+15,

四边形PBOA面枳=2x回OPA的面积=2xgOA・PA=J2a2-8a+15=j2(a-41+7

02>O

回当a=4时，四边形PBOA面积最小，

最小值为J7.

故答案为：币.

【点睛】

本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，最值问题，能求得四边形PBOA面积=

^2(a-4)2+7是解题的关键.

二、解答题

4.(2019•陕西西安市•交大附中分校九年级期中)［问题提出］

(1)如图①，在DABC中，8。=6,。为3。上一点，AD=4,则DAHC面积的最大值

是一

A

(2)如图②，已知矩形A88的周长为12,求矩形ABCO面积的最大值

AD

图②

［实际应用］

(3)如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量

AB=60cm.BC=SOcm,CD=10cm,且NB=NC=60°,木匠师傅从这块余料中裁出了顶

点M,N在边8C上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积

【答案】⑴12；(2)9；(3)800百

【分析】

(1)过点A作AEEIBC,则有Sv.c=；8c-AE,要使回ABC的面积最大，贝U需满足AD=AE

即可;

（2）设AB=x,则有BC=6-x,然后根据题意可得函数关系式，然后根据二次函数的性质进行

求解即可；

（3）根据题意作图，贝I」由题意易得囱BMQEECNP,则有BM=CN,MN=PQ,设BM=x,则

MN=PQ=80-2x,进而可得QM=A/昱，然后根据矩形的面积及二次函数的性质可求解.

【详解】

解：（1）过点A作AEEIBC,如图所示:

A

伺$vABC—5BC.AE,

即为BC上一点，

E1AD>AE.

13要使13ABe的面积最大，则需满足AD=AE,

0BC=6,AD=4,

H3ABC的面积最大为：一x6x4=12：

2

故答案为12；

(2)团四边形ABCD是矩形,

0AB=DC,AD=BC,

回矩形ABCD的周长是12,

团设AB二x,则有AD=6・x,矩形ABCD的面积为S,则有：

S=x(6—x)=-x2+6x=—(x—3)2+9，

此函数为二次函数，由。=—1<0，二次函数的开口向卜,

团当x=3时，矩形ABCD的面积有最大值为：S=9;

(3)如图所示：

团四边形PQMN是矩形，

团QM=PN,PQ=MN,团QMN=团PNM=90°,

[1Z1B=回C=600,团QMB二团PNC=90°,

00BMQ00CNP,

0BM=NC,

设BM=NC=x,则有MN=PQ=80-2x,

0QM=BM-tan6Q°=6x，

团S矩形PQMN=PQ.QM=8.(80-2x)=-2G(x—20)2+800立，

此函数关系为二次函数，由a=-2ji<0可得开口向下，

自当x=20时，矩形PQMN的面积有最大，即S矩形PQMN=800G.

【点睛】

本题主要考查二次函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解

题的关键.

5.(2020•内蒙古赤峰市•中考真题)如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的

一个动点，连接PD,过点P作阳3P。，交直线AB于点E,过点P作/W/VSAB,交直线CD

于点交直线AB于点N.AB=46,AD=4.

(1)如图1,①当点P在线段AC上时，G1PDM和I3EPN的数关系为:I3PD/W一田EPN；

DP

②---的值是;

PE

(2)如图2,当点P在CA延长线上时，(1)中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不

成立，说明理由；

(3)如图3,以线段PD,PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为X,矩形PEFD的面积为y.

请直接写出y与X之间的函数关系式及y的最小值.

【答案】(1)①一②石；(2)成立，证明见解析；(3)y=(%_3)2+46，最小

值为

【分析】

(1)①根据PEEIPD,MNI3AB得至胞DPE=90°,0PMD=EPNE=9O°,即可得到回PDMM3EPN；

②根据CD=AB=4有,AD=4,0ADC=9O°,得到回ACD=30°,设MP=x,则NP=4-x,得至lj

MC=^MP=A73X,DM=4JLJJX=6(4-x),证明(SPDMEBEPN,得到答案；

(2)设NP=a,则MP=4+a,证明IBPDMaaEPN,即可得到结论成立；

(3)利用勾股定理求出产］=附2+硒2=(4-幻2+0，©2=1%2-8%+16，再根据

矩形的面积公式计算得到函数关系式.

【详解】

(1)①EIPEI3PD,

00DPE=9O0,

00DPM+B1EPN=9O0,

0MN0AB,

03PMD=(3PNE=9O°,

aaPDM+!3DPM=90°,

00PDM=0EPN；

故答案为：=:

（2）0CD=AB=4A/3，八。二4,0ADC=9O°,

0t8n0ACD=------=—==,

CD4733

00ACD=3O0,

设MP=x,则NP=4-x,

0MC=73MP=V3x,DM=4百-后x=g(4-x),

aSPDM=EIEPN,0PMD=0PNE=9O°,

酿PDME0EPN,

回丝:也=向4-x)=3

PEPN4-x

故答案为：；

(2)成立，

设NP=a,则MP=4+a,

00ACD=3O°,

I3MC=73(4+a),

0MD=y/3(4+a)-4相=石a,

由(1)同理得EIPDM=EIEPN,0PMD=I3PNE=9O°,

aapDMaaEPN,

DPMD瓜R

PENPa

(3)0PM=x,

0PN=4-x,EN=3X

3

EPE2=P^2+£A^2=(4-x)2+(y-x)2=^|X2-8X+16.

团PE=J$2—8X+16，PD=y/3x^|X2-8X+16.

回矩形PEFD的面积为y=PE•P。=后x(g/-8x+16)=手(x-3)2+4上，

回述＞0,

3

回当x=3时，y有最小值为4c.

【点睛】

此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式

得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.

6.(2020•甘肃陇南市•九年级一模)如图1,抛物线丁=-*2+蛆+〃交X轴于点人(-3,0)和

点B,交y轴于点c(o,3).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求一次函数丫=丘+人(直线AC)的表达式和口43。的面积；

(3)如图2,设点N是线段AC上的一动点，作DNJ_x轴，交抛物线于点。，求四边形

ABC。最大面积时。点的坐标和最大面积.

【答案】（l）y=—x2—2x+3；（2）y=x+3,面积为6；（3）。（一万，1），最大值为

75

T

【分析】

（1）把A（—3,0）,C（O,3）代入＞=一/+如+〃解方程即可求出解析式;

⑵先由解析式求出A（—3,0）,5（1,0）,C（0,3）再求AC解析式及DAbC的面积;

（3）利用铅锤法求出S八℃=gx£»NxQ4,当ZW最大时，S小改最大此时四边形A3C0

面积最大.

【详解】

（1）把A（-3,0）,C（0,3）代入y=—％2+的+,,

一9一3机+〃=0m=-2

得｛—'解，团y=-x—2x+3.

n=3

（2）当y=0时一X2-2X+3=0，解得玉=3,x2=1,

0A（-3,O）,B（l,0）,C（0,3）,

b=3*=1

y=for+b过C(0,3),A(-3,0),得＜,得，

-3k+b=Qb=3

团一次函数关系式为丁=X+3,

S4ABC48xOCx；=4x3x；=6.

(3)设O，,—厂—2/+3),N(t,r+3),

(3、2g

则|。叫=(一/-2r+3)_«+3)=_r—3/=_卜+巳+-.

\2)4

39

当，=—时，DN»＞：=—­

24

9127

"iZ)N最大时，S^AOC最大=-x3x—=—,

428

27(75

S四边形ABC®最大=S4ADC最大+,^AABC——+6=—

88

此时2'4J

【点评】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应了待定系数法求一次函数、二次函

数的解析式，解题的关键是利用铅锤法解决二次函数面积最值问题，属于中考压轴题.

7.（2020•广东深圳市•蛇口育才二中九年级一模）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半

轴上，以线段AB为边在第一象限作等边M8C,5ABe=6且CA®y轴.

（1）若点C在反比例函数y=—（kwO）的图象上，求该反比例函数的解析式；

x

（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N,使四边形A8CN是菱形，若存在请求出

点N坐标，若不存在，请说明理由.

（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标.

【答案】（【）（2