中国民航物理学波动

波动的一般定义：振动(或扰动)在空间的传播。简称波。波的传播指的是振动相位、能量的传播。电磁波还包括电磁场物质、所加载的信号的传播

本章重点：机械波中的简谐波波的叠加

机械波只能在弹性媒质中传播。从运动学角度研究机械波，就是研究媒质中众多质元振动的相互关系。常见的种类有:机械波，电磁波，…§7-1机械波行波§7-2波函数§7-3物体的弹性形变§7-4波的能量§7-5波动方程和波速§7-6惠更斯原理波的反射与折射§7-7波的叠加干涉驻波§7-8声波§7-1机械波行波(MechanicalWaveandTravellingWave)软绳波的传播方向1.机械波的产生和传播

弹性介质中质元受外界扰动而发生振动时，因质元之间的弹性联系，会使振动传播开去，这就形成了波动—机械波（mechanicalwave）1.机械波的产生和传播

机械波——机械振动的传播。

机械波产生和传播的条件：波源

弹性媒质弹性媒质——质量连续分布、在内部发生形变时能产生弹性力（保守力）的物质。

固体：铁轨长绳弹簧；流体：水空气

波源——引起媒质振动，即产生形变和位移的振(扰)动系统。锣鼓琴弦声带扬声器纸膜抖绳的手

2.横波与纵波横波——媒质质元的振动方向与振动的传播方向垂直的波。（仅在固体中传播）

特征：具有交替出现的波峰和波谷.2.横波与纵波

几何表示：传播方向振动方向2.横波与纵波纵波——媒质质元的振动方向与波的传播方向平行的波。（可在固体、液体和气体中传播）

特征：具有交替出现的密部和疏部.纵波是靠介质疏密部变化传播的，如声波，弹簧波为纵波

几何表示：传播方向振动方向2.横波与纵波软弹簧波的传播方向质点振动方向注意：1、有些波既不是横波也不是纵波。如：水表面的波既非横波又非纵波。水波中的质元是做圆（或椭圆）运动的。3.波的几何描述波线（waveline）:表示波的传播方向的射线（波射线）波面（wavesurface）:介质振动相位相同的点组成的面（同相面）球面波平面波波线波面波传播方向l波速u4.波的特征量1、波长（wavelength）

波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它由波源和介质共同决定;波长表示波的空间周期性2、周期（period）T：振动状态向前传播一个波长所需要的时间。它由波源决定（波源、观测者均不动时）3、波速u：振动状态（位相）传播的速度。它由介质的性质决定，与波源情况无关。5.行波

行波——单向传播的振动。驻波

行波的特点“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；某时刻某质元的振动状态（相位）将在较晚时刻于“下游”某处出现——波是振动状态的传播；沿波的传播方向各质元的相位依次落后

在传播方向上有多个同相点——相位相差2

的整数倍；波传播过程中，每个质元在各自的平衡位置附近振动；质元并未“随波逐流”

各质元的振动频率相同。§7-2波函数(wavefunction)1.波函数原点O在t时刻的振动：任意点P（坐标为x）在t时刻的振动：等于原点O在t-x/u时刻的振动，即yxPOuxx“－”表示沿x轴正方向传播“＋”表示沿x轴负方向传播2．平面简谐波的波函数O点的振动：波函数：PuxxyO

3．波函数的物理意义ytOTyxO

yxO

t0

t0+Δt

uΔtu解：如图，在下列情况下试求波函数：(3)若u沿x

轴负向，以上两种情况又如何？例(1)以A为原点；(2)以B为原点；已知A点的振动方程为：BA

在x轴上任取一点P，该点振动方程为：波函数为：解P

BA

(2)B点振动方程为：(3)以A为原点：以B为原点：波函数为:一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 比较法(与标准形式比较）标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速；

(2)质点振动的最大速度。求(1)(2)

[例]设波源位于

x轴的原点处，波源的振动曲线如图所示，已知波速为

u=5

m/s

，波向

x正向传播。（1）画出距波源15

m处质元的振动曲线；（2）画出t

=3

s时的波形曲线。于是，波函数为即解：由图可知故O点的运动方程为（1）令x

=15

mx

=15

m处质元的振动曲线：（2）令t

=3

st

=3

s

时的波形曲线：随堂小议（1）A点的速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零。结束选择请在选择你认为是对的答案

以波速u沿X

轴逆向传播的简谐波t

时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD§7-3物体的弹性形变ElasticDeformationofaBody物体的弹性形变弹性形变的分类：线变

杨氏模量E

切变

切变模量G

体变

体变模量K

弹性媒质(无论是固体还是流体)在受力时都会产生形变。在其弹性限度内形变是可恢复的，称这种形变为弹性形变。(1)定义：一段固体棒，当在两端沿轴的方向加以方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变，称为线变。ll+

l

(2)应力及线应变以F表示力的大小，以S表示棒的横截面积，则F/S叫应力。以表示棒原来的长度，以表示在外力F作用下的长度变化，则相对变化叫线应变。

线变（长变）(3)胡克定律：在弹性限度内，应力和线应变成正比，这一关系叫胡克定律。式中E为关于线变的比例系数，它随材料的不同而不同，叫杨氏模量。当外力不太大时，较小，S基本不变，因此基本不变，称为劲度系数，用k表示。弹性势能：单位体积的弹性势能:(1)定义：一块矩形材料，当它的两侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，其形状发生变化，称为切变。(2)切应力及切应变以F表示力的大小，以S表示施力面积，则F/S叫切应力。施力面积相互错开而引起的材料角度变化叫切应变。

切变(3)实验表明：在弹性限度内，切应力

正比于切应变，即其中G——切变模量

当材料发生切变时，单位体积的弹性势能

体变

定义：一块物质受到的压强改变时，其体积也会发生改变，称为体应变。实验表明：在弹性限度内，压强增量

正比于体应变

，即其中K——体变模量

E,G,和K决定于材料的特性单位体积弹性势能：§7-4波动方程与波速WaveEquationandVelocityofWave波动方程由知(2)不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程；(1)上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）；(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播，波动方程为右式说明典型波速公式固体流体纵纵横

均匀细棒严格，

“无限大”介质内近似“无限大”介质内

细绳中

任意液体和气体内

理想气体中波速由弹性媒质特性决定。*震中

家中的震感思考：如果发生地震，你在家中会有怎样的震感?在同一种介质中，横波的波速比纵波的要小§7-5波的能量(energyofwave)一波动能量的传播

波的传播是能量的传播，传播过程中，介质中的质点运动，具有动能，介质形变具有势能

.pWkW1波的能量本节以细棒中的平面简谐撗波为例，讨论波的能量问题，由此得出的结论具一定的普遍意义。现象：若将细棒（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元）上下抖动振速最小v振速最大v形变最小形变最大t时刻波形t+dt在波动中，各体积元产生不同程度的弹性形变，具有弹性势能pEr未起振的体积元各体积元以变化的振动速率上下振动，具有振动动能vEkryx0yx

y=Acos

(t-x/u)0uxx+dxydxFFyS势能：动能：

波动质元的能量

波动质元的能量总机械能为：波动质元：每个质元都与周围媒质交换能量。振动系统：系统与外界无能量交换。能量密度:单位体积介质中的波动能量平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值适用于各种弹性波。

波的能量密度讨论：(2)体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.

(1)在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随作周期性变化，且变化是同相

位的.速度最小形变最小速度最大形变最大(3)

任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.讨论：

波的能量与振动能量

波的强度→能流波的传播→能量传播能流密度S—单位时间内通过垂直于波线

方向单位面积波的能量。波的强度

I（平均能流密度）能流密度：

利用和能量守恒，可以证明，对无吸收介质，有：平面波球面波

r

场点到波源的距离

波的强度§7-6Huygens原理波的反射与折射(HuygensPrinciple,reflectionandrefractionofwave)

前面讨论了波动的基本概念，现在讨论与波的传播特性有关的现象、原理和规律。

惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法），是一种处理波传播方向的普遍方法。

由于某些原因，波在传播中，其传播方向、振幅都有可能改变。惠更斯原理（Huygensprinciple）1、原理的叙述2、原理的应用已知

t时刻的波面

t+

t

时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向。惠更斯原理（Huygensprinciple）

波面上的各点，都可看作是发射子波（次级波）的波源（点源），其后的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）就是波在该时刻的新的波面。t+

t时刻波面·····u

t波传播方向t时刻波面平面波t+

t球面波例如，均匀各向同性介质内波的传播：u···············t

1、波的衍射（wavediffraction）衍射：波传播过程中，当遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。·入射波衍射波障碍物···入射波衍射波障碍物a相对于波长而言，障碍物的线度越大衍射现象越不明显，障碍物的线度越小衍射现象越明显。60水波通过窄缝时的衍射广播和电视哪个更容易收到?更容易听到男的还是女的说话的声音？障碍物（声音强度相同的情况下）FM收音机的频率范围88-108MHz,室外电视接收天线，一频率范围：146-174/438-470MHZ2、波的反射和折射（reflection&refraction）

1.波的反射（看书）2.波的折射：用惠更斯作图法导出折射定律u2

t媒质1、折射率n1媒质2、折射率n2i法线B入射波A··E·Cu1u1

t··FDu2折射波传播方向r——折射定律光波得到光密介质光疏介质时，折射角r>入射角

i

。全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），它是现代光通信技术的重要器件。irn1(大)n2(小)i=iC

r=90

n1(大)n2(小)当入射i>临界角iC

时，将无折射光—全反射。iC

—临界角光导纤维光缆电缆

图中的细光缆和粗电缆的通信容量相同而且损耗小。光纤通信容量大，我国电信的主干线可达300公里。也只有几十公里。

在不加中继站的情况下，光缆传输距离而同轴电缆只几公里，微波早已全部为光缆。§7-7波的叠加干涉驻波(SuperpositionofWavesStandingWave)1．波的迭加原理1）两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内每一质元的位移等于各列波单独传播时所引起位移的和。2）两列波相遇时仍保持各自原有的特性。细雨绵绵独立传播2.波的干涉一般情况下，各个波的振动方向和频率均不同，相位关系不确定，叠加的合成波较为复杂。当两列相干波叠加后，其合振幅A和合强度

I将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱。——波的干涉干涉现象•频率相同、振动方向相同、相位差恒定。相干条件•相干波•满足相干条件的波相干波源产生相干波的波源•根据叠加原理可知，P

点处振动方程为•合振动的振幅S1S2P•P点处波的强度S1S2Pr1r2

2.波的干涉相位差当干涉相长当干涉相消•空间点振动的情况分析干涉相长(1)若干涉相消干涉相长干涉相消从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。讨论(2)若A、B为两相干波源，距离为30m，振幅相同，

相同，初相差为

,u=400m/s,

f=100Hz。例A、B连线上因干涉而静止的各点位置。求解BAP30m（P在A左侧）（P在B右侧）(即在两侧干涉相长，不会出现静止点)r1r2P在A、B中间干涉相消(在A，B之间距离A点为r1=1,3,5,…,29m

处出现静止点)线性波的叠加可以产生许多独特的现象：驻波、干涉等3、驻波驻波是指两列波频率相同、振幅相同、振动方向相同、在同一直线上沿相反方向传播，它们叠加所形成的合成波。设两列波的表达式为叠加后得驻波表达式：这一结果表明：驻波不含波动特有的相位因子，即不再具有波的特性（相位沿传播方向依次落后等）。振幅最大的点称为波腹；振幅为零的点称为波节。驻波具有简谐运动的特征。所有点的振动圆频率都为

，但各点的振幅不全相同，即为。波腹的位置：波节的位置：拉紧的绳中的驻波演示驻波的特点：通常将相邻两个波节的一段称为一个驻波。

相邻波节或相邻波腹之间的距离为波长的一半。

一个驻波上所有点的振动同相；两个相邻驻波上点的振动反相。

任意时刻驻波的波形为余弦形式（与行波波形相同），但不沿传播方向运动（与行波波形不同）。

驻波不再传递相位和能量。振幅：形成驻波的两列传播方向相反的行波，往往就是媒质分界面一侧的入射波和反射波。显然，反射波与入射波的频率、振动方向和波速均相同；如果分界面对入射波完全反射，反射波与入射波的振幅也相同。4、半波损失半波损失[例]如图所示，一波长为

的平面简谐波沿

x轴正向传播，在与原点O相距L的P点处有一波密媒质的反射面，该反射面对波的吸收可以忽略。入射波在与O点相距l的Q点处振动函数为。求：（1）入射波和反射波的波函数；（2）合成的驻波的波节位置。解：（1）考虑坐标为x的任意点处的振动，它比Q点的相位落后

，于是入射波的波函数为反射点P处的振动函数为反射波在坐标为x的任意点处的振动相位比点落后

，考虑到反射点有半波损失，故反射波的波函数为（2）叠加波