2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学手拉手模型专项训练试题【含答案】

2024-2025学年四川省金堂县金龙中学八上数学手拉手模型专项训练试题一．选择题（共4小题）1．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为（）A．6 B．6 C．4+2 D．32．如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝，PB＝4．则DP的最大值为（）A．4+2 B．4+ C．5 D．63．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为（）A． B．4 C． D．4.54．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C． D．1二．填空题（共10小题）5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，△ACD是等边三角形，连接BD，则线段BD的长为．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为边在△ABC下方作△ADC，连接BD，已知AD＝3，DC＝6，则BD的最大值为．​7．如图，D是等边三角形△ABC外一点，AD＝5，CD＝3，当BD长最大时，△ABC的面积为．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，点D是△ABC外一点，若CD＝3，BD＝5，∠BDC＝75°，则线段AD的长为．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝10，AC＝6，将线段BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，连接AC′，CC′，则△ABC′的面积为．10．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线BD的中点，点E为边AB上一点，AF⊥DE于点F，OF＝2，AF＝，则正方形ABCD的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，∠BAD＝105°，AD＝4，CD＝13，则AB＝．12．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝．13．如图，△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为．14．在四边形ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，若BD＝3，DC＝1，则AD＝．三．解答题（共8小题）15．如图，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，BE与AD相交于点F．（1）求∠AFE的度数．（2）若AF⊥FC，求证：AF＝2BF．16．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，以AC为边向外作等边△ACD，求BD的长．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝45°，BC＝CD，∠BCD＝90°，求AD的长．18．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA+∠ACD＝+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴，∴AE＝BD＝5．∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．∵AD＝3，∴CD＝DE＝．【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．19．在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°．（1）如图1，已知∠D＝30°，直接写出∠A+∠C的度数；（2）如图2，已知∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝4，连接BD，求BD的长度；（3）如图3，已知∠ADC＝75°，BD＝6，请判断四边形ABCD的面积是否有最小值？如果有，请求出它的最小值；如果没有，请说明理由．20．问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝°，所以∠BPC＝∠AP′B＝°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决．（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．21．阅读下面材料，完成任务．如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，，PC＝1，求∠BPC的大小．李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP'，可得△P'PB是等边三角形，而△P'PA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP'B＝150°，则∠BPC＝∠AP'B＝150°，任务：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且，，PC＝1（1）求∠BPC的大小；（2）求正方形ABCD的边长．22．如图，在等边△ABC外部有一点P，若∠BPA＝30°，求证：PA2+PB2＝PC2．

参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∵△AOF是等腰直角三角形，∴AO＝FO，AF＝AO，∵∠BOC＝∠AOF＝90°，∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO，∴△AOB≌△FOC（SAS），∴AB＝CF＝4，若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF，∴AF≤AC+CF＝2+4＝6，∴AF的最大值为6，∵AF＝AO，∴AO的最大值为3．故选：D．2．【解答】解：过点A作AE⊥AP，使E、B在AP两侧，AP＝AE＝，连接BE，∴PE＝＝2，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠PAE+∠PAB＝∠BAD+∠PAB＝90°+∠PAB，∴∠BAE＝∠PAD，在△AEB和△APD中，，∴△AEB≌△APD（SAS），∴DP＝BE，∵BE≤PE+PB＝4+2＝6，∴当点P落在线段BE上时，BE有最大值为6，∴DP的最大值为6．故选：D．3．【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故选：B．4．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP＝EC＝，∴CM＝MP+CP＝1+＝，即CG的最小值为．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+＝．故选：B．二．填空题（共10小题）5．【解答】解：∵△ACD是等边三角形，∴AD＝AC，∠DAC＝60°，∴把△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，如图，连接BE，作EH⊥BC与H，∵△ABD绕点A顺时针旋转60°得到△ACE，∴CE＝BD，AB＝AE，∠EAB＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠EBH＝60°，在Rt△BEH中，BH＝BE＝1，EH＝BH＝，在Rt△ECH中，∵EH＝，CH＝BC+BH＝3+1＝4，∴CE＝＝，∴BD＝．故答案为．6．【解答】解：如图，以CD为直角边点C为直角顶点作等腰直角三角形CDE，连接AE，∴CD＝CE＝6，∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCD＝90°+∠ACD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∵AE≤AD+DE，∴BD≤AD+DE，∴BD≤3+6，∴BD的最大值为3+6．故答案为：3+6．7．【解答】解：以CD为边作等边△DCE，连接AE．∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，在△ADE中，∵AD＝5，DE＝CD＝3，∴AE≤AD+DE，∴AE≤8，∴AE的最大值为8，∴当A，D，E三点共线时，BD的值最大，且为8，如图，过点C作CF⊥AD，垂足为F，过点B作BM⊥AC交AC于点M，∵∠CDE＝∠BDC＝∠E＝60°，∴∠DCF＝30°，∴，∴，，∴，根据等边三角形的性质可得，，∴△ABC中AC边上的高，∴△ABC的面积为，故答案为：．8．【解答】解：以CD为边在CD的右侧作等边△CDE，连接BE，过点B作BF⊥ED，交ED的延长线于点F，∴∠BFD＝90°，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵△CDE都是等边三角形，∴CD＝CE＝DE＝3，∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵∠BDC＝75°，∴∠BDF＝180°﹣∠BDC﹣∠CDE＝45°，∴∠DBF＝90°﹣∠BDF＝45°，∴∠DBF＝∠BDF＝45°，∴BF＝DF＝＝＝5，在Rt△BFE中，EF＝DF+DE＝5+3＝8，∴BE＝＝＝，∴AD＝BE＝，故答案为：．9．【解答】解：延长AC至D，使AD＝BD，连接BD，如图，∵∠CAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．∵BC绕着点B逆时针旋转60°得到BC′，∴△BCC'为等边三角形，∴BC＝BC'，∠CBC'＝60°，∵∠DBA﹣∠ABC＝∠CBC'﹣∠ABC，即∠DBC＝∠ABC'．在△DBC和△ABC'中，，∴△DBC≌△ABC'（SAS）．∴S△DBC＝S△C'AB，过点B作BE⊥AD于点E，∴BE＝AB•sin60°＝10×＝5，DC＝AD﹣AC＝10﹣6＝4，∴S△DBC＝＝＝10，∴S△C'AB＝10．故答案为：10．10．【解答】解：连接AC，过O点作OG⊥OF交DE于点G，∵四边形ABCD是正方形，O为BD的中点，AC，BD为对角线，∴O为对角线的交点，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，∵OG⊥OF，∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，∴∠AOF＝∠DOG，∵AF⊥DE，∴∠FAO+∠2＝90°，∵∠GDO+∠1＝90°，且∠1＝∠2，∴∠FAO＝∠GDO，在△AOF与△DOG中，，∴△AOF≌△DOG（ASA），∴AF＝DG＝，OG＝OF＝2，∴△OFG是直角三角形，∴FG＝＝2，∴FD＝FG+GD＝3，在Rt△AFD中，AD2＝FD2+AF2＝（3）2+（）2＝20，∴正方形ABCD的面积为20．故答案为：20．11．【解答】解：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到△DEF，连接AF，AE，作AH⊥EF于H．∵AD＝DE＝4，∠ADE＝90°，∴AE＝＝＝8，∠AED＝∠DAE＝45°，∵∠DEF＝∠BAD＝105°，∴∠AEF＝60°，∵AH⊥EF，∴EH＝AE＝4，AH＝EH＝4，∵AC⊥BD，DF⊥BD，∴AC∥DF，∵AC＝BD，BD＝DF，∴AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD＝13，∴FH＝＝＝11，∴EF＝FH+EH＝11+4＝15，∴AB＝EF＝15，故答案为15．12．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝BC，把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，如图，∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，∴PC2+PE2＝CE2，∴△PCE为直角三角形，∠CPE＝90°，∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．故答案为：135°．13．【解答】解：如图，取BC中点G，连接DG，∵△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），∴AO＝BO＝3，∠BCO＝30°，∠ABC＝60°∴BC＝6＝AB∵点G是BC中点∴CG＝BG＝3＝OA＝OB∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°，∴∠DBE＝60°，BD＝BE∴∠ABC＝∠DBE∴∠CBD＝∠ABE，且BE＝BD，BG＝OB＝3，∴△BGD≌△BOE（SAS）∴OE＝DG∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小．∵∠BCO＝30°，DG⊥OC∴DG＝CG＝∴OE的最小值为故答案为：14．【解答】解：方法一，作AF⊥BC，∵tan∠ABC＝1，tan∠CBD＝，∴tan∠ABD＝tan（∠ABC﹣∠BCD）＝＝，∴AE＝AB，即AE＝CE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD＝1，∴BF＝2，∴DF＝1，∵AD2＝AF2+DF2＝2，∴AD＝．方法二：过点D作DF⊥AC，垂足为F，由∠BAC＝∠BDC＝90°，得A、B、C、D四点共圆，所以tan∠DBC＝tan∠DAC＝，设DF＝x，AF＝3x，CF＝x，在直角三角形DFC中，用勾股定理得到：x＝，所以AD＝．三．解答题（共8小题）15．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABD，∴∠BFD＝∠ABD＝∠AFE＝60°，（2）延长BE至H，使FH＝AF，连接AH、CH，∵∠BAD＝∠CBE，∴△AFH是等边三角形，∴∠FAH＝60°，AF＝AH，∴∠BAC＝∠FAH＝60°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，即∠BAF＝∠CAH，在△BAF和△CAH中，，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF；又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，即∠ABF＝∠CAF，∴∠ACH＝∠CAF，∴AF∥CH，∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，∴FH＝2CH，∴AF＝2BF．16．【解答】解：如图，以AB为边作等边三角形ABE，连接CE，过点E作EK垂直于CB延长线于点K．∵△ABE与△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，∴∠EBK＝60°，∴∠BEK＝30°，∴BK＝BE＝，∴EK＝＝＝，∴EC＝＝＝7，∴BD＝EC＝7．17．【解答】解：将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△BCE，连接AE，∴∠ACE＝90°，AC＝CE，AD＝BE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝，∠EAC＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴BE＝，∴AD＝BE＝10．18．【解答】解：【问题背景】如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．∵△ABC、△DCE是等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD＝5．∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．∵AD＝3，∴CD＝DE＝4；故答案为：∠DCE，△BCD≌△ACE（SAS），4；【尝试应用】以A点为旋转中心，将△ABD绕A点顺时针旋转90°，得到△AEC，连接BE，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EBA＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝90°，∵AB＝，∴EB＝2，∵BC＝4，∴EC＝2，∴BD＝EC＝2；【拓展创新】以点D为旋转中心，将△ACD绕点D顺时针旋转120°，得到△BDF，连接AF，∴AD＝DF，∠ADF＝120°，AC＝BF，∴当A、B、F三点共线时，AF最大，此时AD最大，∵AB＝4，AC＝8，∴AF＝AB+BF＝AB+AC＝12，过点D作DG⊥AF交于点G，∵AD＝DF，∠ADF＝120°，∴∠ADG＝60°，AG＝GF＝6，∴AD＝＝4，∴AD的最大值为4．19．【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°；（2）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAQ．∴∠CBD＝∠ABQ，∠C＝∠BAQ，CD＝AQ＝4，BD＝BQ．∵∠CBD+∠ABD＝60°，∴∠ABQ+∠ABD＝60°，即∠DBQ＝60°，∴△DBQ是等边三角形，∴BD＝DQ．∵∠C+∠BAD＝270°，∴∠BAQ+∠BAD＝270°，∴∠DAQ＝90°，∴；（3）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAH，连接DH．由（2）同理可证△BDH为等边三角形，∴S四边形ABCD＝S△BAH+S△ABD＝S△DBH﹣S△ADH，∴当△ADH面积最大时，四边形ABCD的面积最小．∵∠ABC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠BAD+∠BCD＝∠BAD+∠BAH＝225°，∴∠DAH＝135°．∵DH＝DB＝6，∴点A在定圆⊙O上运动，如图，则当O、A、B共线时，△DAH的面积最大，此时OB⊥DH，设OA交DH于K，∴HK＝KD＝3．∵AH＝AD，∴∠AHD＝∠ADH＝22.5°．在HK上取点F，使得FH＝FA，如图，则△AKF是等腰直角三角形．设AK＝FK＝x，则，∴，解得：，∴．∵，∴，即四边形ABCD的面积最小值为．20．【解答】解：（1）根据旋转可知：△BP′A≌△BPC，∴BP′＝BP，AP′＝PC＝1，又∵∠P′BP＝60°，∴△P′PB＝60°，∴△P′PB是等边三角形，∴∠1＝60°，PP′＝BP＝，在△APP′中，AP′＝1，PP′＝，AP＝2，12+（）2＝22，即AP′2+P′P2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠AP′B＝60°+90°＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝1