631二项式定理教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版选择性

6.3.1二项式定理教学设计授课教师姓名刘占江微课名称6.3.1二项式定理知识点来源□学科：高中数学□年级：高二□教材版本：人教A版□所属章节：选择性必修第三册第六章计数原理录制工具和方法PowerPoint+Camtasia2019+剪映设计思路问题是有效开展课堂教学，发展学生核心素养的抓手。本节课以十个问题为驱动，采用“问题链+任务单”的形式层层递进，以“情境—问题—活动—结果”为主线，诱发学生去主动探究学习。从而增强学生的观察、分析、归纳、概括等能力，在分析和解决问题的过程中发展数学核心素养。教学设计内容教学目的1、通过发现多项式乘法的本质特征，建立多项式乘法与计数原理之间的联系，运用计数原理推导二项式系数的方法。发展逻辑推理、数学抽象等素养。2、通过对二项式定理及其结构特点研究过程，体会“从特殊到一般”、“类比归纳”等数学思想。发展逻辑推理、数学建模等素养。3、能用二项式定理解决一些简单的数学问题，发展数学运算等素养。教学重点难点重点：利用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理，并会用它解决有关的简单问题。难点：使用组合数表达二项展开式中各项的系数教学过程一、创设情境，引入新课情境1：给出励志标语上的数字特征，，，积跬步以致千里，积怠堕以致深渊。只比你努力一点的人，其实已经甩你太远。情境2：把自己的起始优秀值看成1，假设每天的努力能让自己变得比前一天优秀1%，对优秀值进行复利计算：第1天努力后优秀值为________________;第2天努力后优秀值为________________;......第30天努力后优秀值为________________;估算的近似值(精确到)情境3：艾萨克·牛顿（1643—1727,英国）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，不仅是伟大的物理学家、天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22岁的牛顿。在数学方面就有了第一项创造性成果，就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。引出的计算【设计意图】通过励志性的标语上的数字特征，具体需要计算问题的近似值和牛顿发现二项式定理的历史三个情境问题，激发学生们的学习兴趣，启迪思维，感受数学文化之美，感受数学的价值及魅力。二、合作探究，探索新知（一）探究项数问题1：你能尝试写出的展开式吗？问题2：请同学们观察上面的四个展开式，有什么共同特点？提示：可以从项数、次数、每一项的结构特点及其系数等角度来观察思考这四个二项式展开式的特点：（1）项数：共有幂指数项；（2）次数：各项的次数都等于的次数；（3）各项：字母按降幂排列，次数从递减到0；字母按升幂排列，次数从0递增到……问题3：一般情形下，当时，猜想并证明。【设计意图】由特殊到一般，进行归纳猜想。让学生从已经学过的的情况开始，问题层层递进，将分析运算中的规律，运用到的情形，进一步猜想，推广到一般情况。用乘法法则分析乘积项的结构特征，先得到二项式定理的项数、次数和各项的结构特点。（二）探究系数摸球实验1将2个比作2个烧杯，用红球表示字母，用蓝球表示字母，请用刚学过的组合数作为工具，对已有的展开式进行重新的改写问题4：请问摸球可能出现的组合以及每种组合的种数？提示：以的个数为分类标准三、直观感受，提出猜想摸球实验2将3个比作3个烧杯，用红球表示字母，用蓝球表示字母，请用刚学过的组合数作为工具，对已有的展开式进行重新的改写问题5：请问摸球可能出现的组合以及每种组合的种数？提示：以的个数为分类标准摸球实验3将4个比作4个烧杯，用红球表示字母，用蓝球表示字母，请用刚学过的组合数作为工具，对已有的展开式进行重新的改写问题6：请问摸球可能出现的组合以及每种组合的种数？提示：以的个数为分类标准问题7：(1)展开后各项形式分别是什么？(2)你能分析说明各项前的系数吗？问题8：请大家猜想的展开式时怎样的呢？【设计意图】通过摸球实验，类比展开式的分析过程，对进行深入分析，发现规律，由特殊到一般来分析，结合多项式乘法和计数原理得到项数和系数的特点。从而得到二项式定理的展开式形式。（三）概念形成上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数.二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用来表示，即通项为展开式第项，即—此公式叫做通项公式.四、巩固新知，深化理解问题9：明晰二项式定理中的项、系数和展开式问题10：展开式中各项有什么特征？有什么规律？请归纳。①各项有什么共同特征？由多项式乘法法则可知，每项都为的形式；②展开共有多少项？根据分步乘法计数原理，展开式中共有项；③各个单项的系数分别是多少？结合组合数计算求得，各个单项式的系数为【总结归纳】1、定理的特征：1.系数规律：2.指数规律：(1)各项的次数均为n；(2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.3.项数规律：两项和的n次幂的展开式共有n+1个项.4.通项公式:2、二项式定理对任意的数a,b都成立，若设a＝1,b＝x，则有【实际应用】求的近似值（精确到）结论：我们每天努力1%，30天后，比现在优秀30%【设计意图】与问题情境前后呼应，强调二项式定理的数学价值，让学生熟悉二项式展开式。【例题讲解】例1、求的展开式。例2、（1）求的展开式的第4项的系数。例2、（2）求的展开式中的系数。【设计意图】通过例题分析，解决与二项式定理有关问题，理解公式中字母的可变性和结构的不变性，从而发展数学运算、数学建模等核心素养。【教师总结】1、二项式系数与项的系数是两个概念（1）二项式系数：（2）项的系数：二项式系数与数字系数的积【设计意图】让学生区分二项式系数和项的系数是两个不同的概念，巩固公式的应用。五、课堂小结，作业布置请同学们回顾整个过程，你在知识上和思想方法上都有哪些收获，在学习数学上有哪些启发？1、知识通项公式：（可以用来求特定项）2、方法乘法法则分析乘积项的结构，结合计数原理分析项数和系数。3、思想【设计意图】梳理本节课所学知识，回归研究数学问题的一般方法，提升概括总结能力。作业1：课本P31，15作业2：课本P39，杨辉三角的性质与应用（小组合作完成，撰写研究报告）【设计意图】巩固新知，学生对本节课的重点知识进行强化训练，夯