高考数学一轮复习专练54椭圆的定义及标准方程

五十四椭圆的定义及标准方程(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·许昌模拟)已知F1,F2为椭圆x29+y216=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|ABA.8 B.6 C.4 D.2【解析】选B.由x29+y216=1,即y216根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|F1A|+|F1B|=6.2.(5分)与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且过点(3,15)A.y236+x220=1 B.C.y220+x218=1 D.【解析】选B.由题意可设椭圆的方程为x225+λ+y29+λ=1(λ>9).又所求椭圆过点(3,15),所以将(3,15)代入椭圆方程,得925+λ+159+λ=1,解得λ=11(λ=3.(5分)已知(0,4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则实数k=()A.6 B.16 C.24 D.【解析】选D.椭圆3kx2+ky2=1化为:x213k+y21k=1,显然k>0,有1k>13k,而椭圆的一个焦点为(0,4),因此【加练备选】已知曲线C:x2k-5+y23-k=1,则“4≤k<5”是“曲线CA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.将曲线C的方程化为x25-k+y2k-3=1,若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则k3>5k>0,即4<k<5,而“4≤k<5”不能推出“4<k<5”;“4<k<5”可以推出“4≤k<5”,故“4≤k<5”是“4.(5分)(2024·南通模拟)已知圆C的方程为x2+y2=16,直线l为圆C的切线,记A(2,0),B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=4 B.x216+C.x216y212=1 D.【解析】选B.如图,分别过点A,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1,因为A(2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|AA1又因为圆C的方程为x2+y2=16,r=4,所以|OO1|=r=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|=4,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为x2a2+y2b则2a=8,c=2,所以a=4,a2=16,b2=a2c2=12,所以动点P的轨迹方程为x216+y5.(5分)(多选题)(2024·天水模拟)设椭圆C:x225+y29=1的左右焦点为F1,F2,P是C上的动点,A.|PF1|+|PF2|=10B.P到F1最小的距离是2C.△PF1F2面积的最大值为6D.P到F1最大的距离是9【解析】选AD.由椭圆方程可得:a=5,b=3,则c=a2对A:根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,A正确;对B:根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时,P到F1的距离最小,最小值为ac=1,B错误;对C:根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2的面积最大,最大值为12×2c×b=12,C错误对D:根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时,P到F1的距离最大,最大值为a+c=9,D正确.6.(5分)(多选题)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为8,离心率为34,则满足条件的椭圆的标准方程有(A.x216+y27=1 B.C.x216+y225=1 D.【解析】选AB.因为2a=8,e=ca=3所以c=3,所以b2=a2c2=169=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x7.(5分)(2024·济南模拟)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为10,焦距为6,则此椭圆的标准方程为y225+x【解析】依题意,设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),所以椭圆方程为y225+x8.(5分)△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是23,则顶点A的轨迹方程是x254+y2【解析】设顶点A的坐标为(x,y),由题意得y-6x·y+6x得x254+又A,B,C是△ABC的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,因此y≠±6,所以顶点A的轨迹方程为x254+y2369.(10分)动点M与定点F1(3,0)的距离和M到定直线l:x=253的距离的比是常数3(1)求动点M的轨迹方程;(2)设F2(3,0),点P为M轨迹上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解析】(1)设M(x,y),d是点M到直线l的距离,则|MF1|d=35化简得16x2+25y2=400,所以动点M的轨迹方程为x225+y(2)由(1)知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|22|PF1||所以(|PF1|+|PF2|)23|PF1||PF2|=|F整理得|PF1||PF2|=643所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1【能力提升练】10.(5分)直线mx+y=0(m∈R)与椭圆x216+y225=1交于A,B两点,则A,BA.10 B.16 C.20 D.不能确定【解析】选C.设椭圆两个焦点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为|AF1|+|F1B|+|BF2|+|F2A|=4a=20.11.(5分)若点M(x,y)满足方程x2+(y-2)2+A.x236+y232=1 B.C.y236+x232=1 D.【解析】选C.因为动点M(x,y)满足关系式x2+(所以该等式表示点M(x,y)到两个定点F1(0,2),F2(0,2)的距离的和为12,而|F1F2|=4<12,即动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,又c=2,b2=a2c2=364=32,所以动点M的轨迹方程为y236+x12.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.△MF1F2的面积的最大值为3【解析】选BC.由椭圆的方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(1,0),F2(1,0).对于A,|MF2|max=a+c=3,故A错误.对于B,由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=4,所以|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=4,当且仅当|MF对于C,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,由M(0,3)得tan∠F1M所以∠F1MF22=30°,∠F1MF对于D,当点M为椭圆与y轴的交点时,△MF1F2的面积最大,最大值为bc=3,故D错误.13.(5分)(2024·北京模拟)已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2(O为坐标原点)是面积为3的正三角形,【解析】不妨设点P位于第一象限,且F2(c,0),因为△POF2是面积为3的正三角形,可得34c2=3,解得c所以P(1,3),F1(2,0),F2(2,0),由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=(1+2)2+(3-0)2+(1-2)2+(3-所以椭圆的标准方程为x24+23+14.(10分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3;(3)经过点P(23,1),Q(3,2)两点.【解析】(1)若焦点在x轴上,设方程为x2a2+y2b2=1(a>所以9a2=1,解得因为2a=3×2b,所以b=1,所以方程为x29+y若焦点在y轴上,设方程为x2b2+y2a因为椭圆过点A(3,0),所以9b2=1,解得又2a=3×2b,所以a=9,所以方程为x29+y综上所述,椭圆方程为x29+y2=1或x2(2)由已知,有a=2ca-所以b2=a2c2=9,若焦点在y轴上,则x29+若焦点在x轴上,则x212+所以所求椭圆方程为x212+y29=1或(3)设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则12m+n=1则所求椭圆方程为x215+y15.(10分)(2024·南充模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=x2交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积S.【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0把点(6,2)的坐标代入方程x2a2得6a2+24=1,解得a=23.所以椭圆C的方程为x2(2)联立y=x-2,x212+y解得x=0,y=-2或x=3,y=1,不妨设A(0,2),B【素养创新练】16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△HMN的周长是18,M,N是x轴上关于原点对称的两点,若|MN|=6,动点G满足GM+GN+GH=0.则动点G的轨迹方程为x24+y23【解析】由G