第04讲中心对称与中心对称图形

第04讲中心对称与中心对称图形知识点中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4.作图步骤：连接原图形上所有的特殊点和对称中心。将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。考点剖析考点一：中心对称图形【典例1】（2023秋•宁津县期中）下列图形中，中心对称图形是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；B、图形是中心对称图形，符合题意；C、图形不是中心对称图形，不符合题意；D、图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．【变式11】（2023秋•辽宁期中）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项合题意．故选：D．【变式12】（2023•盐城）下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、不是中心对称图形，所以不符合题意；B、是中心对称图形，所以符合题意；C、不是中心对称图形，所以不符合题意；D、不是中心对称图形，所以不符合题意；故选：B．【变式13】（2023秋•利州区期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：D．考点二：中心对称的性质【典例2】（2022秋•西湖区校级期中）如图，△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B' C．点B的对称点是B′ D．BC∥B'C'【答案】B【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，∴OC＝OC′，BC∥B′C′，点B的对称点B′，故A，C，D正确，故选：B．【变式21】（2022秋•邯山区校级期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，∴A，B，C正确，故选：D．【变式22】（2022秋•新华区校级期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是（）A．OB＝OB' B．∠ACB＝∠A'B'C' C．点A的对称点是点A' D．BC∥B'C'【答案】B【解答】解：∵△ABC与△A′B'C'关于O成中心对称，∴OB＝OB'，∠ACB＝∠A'C'B'，点A的对称点是点A'，BC∥B'C'，故A，C，D正确，故选：B．【变式23】（2023春•南召县期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的序号为①②③．【答案】①②③．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正确，故答案为：①②③．考点三：利用中心对称的性质找对称中心【典例3】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【答案】B【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【变式31】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．故选C．【变式32】（2022•市南区一模）如图，以某网格线所在直线建立平面直角坐标系，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，已知点A（2，﹣1），点P的坐标为（）A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【答案】C【解答】解：如图所示，连接AD，CF，交点即为点P，∵点A（2，﹣1），∴点A在第四象限，距离x轴1个单位，距离y轴2个单位，如图所示，∴点P的坐标为（1，﹣3）故选：C．【变式33】（2023春•常德期中）如图所示，△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了．（1）请你找到对称中心O的位置；（2）连接线段BC′和线段B′C，试判断四边形BC′B′C的形状，并说明理由．【答案】（1）见图形；（2）四边形BC′B′C是平行四边形，理由见解析．【解答】解：（1）连接CC′，BB′交于O，∴点O即为对称中心的位置；（2）四边形BC′B′C是平行四边形，理由如下：∵△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，∴OC＝OC′，OB＝OB′，∴四边形BC′B′C是平行四边形．考点四：利用中心对称的性质求边长长度【典例4】（2023秋•丰满区校级期中）如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC＝2，，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是（）A．4 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底边中线，∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，∵△PQC与△BOC关于点C中心对称，∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，∴AP＝＝＝2．故选：D．【变式41】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．【变式42】（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．【变式43】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．考点五：利用中心对称的性质求点坐标【典例5】（2021秋•黄石期末）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【答案】B【解答】解：设C（m，n），∵线段AB与线段CD关于点P对称，点P为线段AC、BD的中点．∴，，∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故选：B．【变式51】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D（﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）【答案】B【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），根据题意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即点A'的坐标是（1，2），故选：B．【变式52】（2023春•市南区校级月考）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（﹣a，2﹣b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A′（m，n）．由题意AC＝CA′，C（0，1），A（a，b），则有，解得m＝﹣a，n＝2﹣b，∴A′（﹣a，2﹣b），故答案为（﹣a，2﹣b）．考点六：利用中心对称的性质求面积【典例6】（2022春•绥宁县期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为n﹣1．【答案】n﹣1．【解答】解：连接O1B、O1C，如图：∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是S正方形＝1，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形＝1，∴把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为（n﹣1）．故答案为：n﹣1【变式61】（2022秋•福山区期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为11．【答案】11．【解答】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四边形DMNT＝S△DKN＝×9＝，∴正方形ABCD的面积＝4×9×+2＝11．故答案为：11．【变式62】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：S阴影＝S正方形＝，故答案为：．【变式63】（2022秋•宝山区期末）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是5.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO与△FCO中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴S阴影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，故答案为：5.5．考点七：利用中心对称的性质作图【典例7】（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为2.5．（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为（0，﹣1）．【答案】（1）（2，2）．（2）2.5．（3）（0，﹣1）．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案为：（2，2）．（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5故答案为：2.5．（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【变式71】（2023春•柯桥区月考）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为（2，2）；（2）△A1B1C1的面积为2.5．【答案】（1）（2，2）；（2）2.5．【解答】解：（1）∵△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，B（﹣2，﹣2），∴B1的坐标（2，2），故答案为：（2，2）；（2）由网格图知，△ABC的各边上分别为，，，即△ABC是等腰直角三角形，∴△A1B1C1的面积＝△ABC的面积＝，故答案为：2.5．【变式72】（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，有三种思路：【变式73】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根据中心对称的性质可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．过关检测一．选择题（共7小题）1．（2022秋•绵阳期末）如图的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【答案】D【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），故选：D．3．（2021秋•柳江区期中）如图，将正方形ABCD绕点D逆时针方向旋转180°后，点B的坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）【答案】B【解答】解：由题意，B（0，1），D（0，﹣1），∵将正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转180°，∴旋转后的点B与原来的点B关于点D对称，∴旋转后点B的坐标为（0，﹣3），故选：B．4．（2022秋•沂源县期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴A，B，C都不合题意．∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角，∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．故选：D．5．（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠E C．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB【答案】B【解答】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，∵BD＝ED，∴S△ABD＝S△ADE，故选：B．6．（2023•大兴区一模）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点I D．点J【答案】C【解答】解：∵△ABC与△DEF关于某点成中心对称，∴对应点B和E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心．故选：C．7．（2023秋•德城区期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（）A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°）【答案】B【解答】解：点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标Q（3，240°）或（3，600°）或（3，﹣120°）．故选：B．二．填空题（共5小题）8．（2023春•建平县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，则AC＝1．【答案】1．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，DE＝AB＝，∵AE＝3，∠D＝90°，∴AD＝＝＝2，∴AC＝AD＝1，故答案为：1．9．（2023春•青冈县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高