浙江省精诚联盟2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得直线的斜率，从而求得对应的倾斜角.【详解】由于直线的倾斜角为，则直线的斜率，再由，可得.故选：C2.已知，，且，则的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】利用向量减法的坐标运算求出，再根据得出数量积等于零，建立等式求解．【详解】，，，解得：，故选：A．3.直线：与直线：的距离是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行线间的距离公式可直接求解.【详解】设与的距离为d，则.故选：B.4.已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（）A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用空间向量共面定理得到关于的方程组，解之即可得解.【详解】因为四点共面，所以向量共面，即存在实数使得，又，，，所以，所以，解得，则.故选：A.5.已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.【详解】设点关于直线对称的点，则，解得.因为在外，所以，可得且表示圆可得，即得综上可得.故选：C.6.已知点A坐标为，直线经过原点且与向量平行，则点A到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量垂直，以及两点间的距离公式即可得到结论．【详解】由题意得，直线的一个方向向量为，所以，点到直线的距离为：，.故选：C．7.已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围.【详解】将代入得，将代入得，所以，不在直线上，又∵，所以点在线段上，直线的方程为：，直线过定点且斜率一定存在，故由数形结合可知：或故倾斜角，故选：D8.正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，使.则三棱锥的体积为（）A B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正三角形折叠后得出平面,设夹角为，进而,再应用三棱锥体积公式计算即可.【详解】正三角形边长为2，D为的中点，将三角形沿折叠，平面,平面,设夹角为，使.则.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）.A.直线恒过第一象限B.直线关于x轴的对称直线为C.原点到直线的距离为D.已知直线过点，且在x，y轴上截距相等，则直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】求出直线过得定点判断A，求得直线关于x轴的对称直线方程判断B，由点到直线的距离判断C，讨论直线在轴上截距是否为0，求出直线方程判断D.【详解】直线即直，当时，，即直线恒过定点，由在第一象限知A正确；直线关于x轴的对称直线为，即，故B错误；由点到直线距离可得，故C正确；因为直线过点，且在轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为，当截距不为0时，可设直线方程为，则，，则直线方程为，故D错误.故选：AC10.已知点在曲线上，点，则PQ的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据对称性可知：只需讨论轴以及其上方的图象即可，分和两种情况，结合圆的性质分析求PQ的最值，结合选项分析判断.【详解】对于方程，将换成可得：，即，可知曲线关于轴对称，且点在轴上，则只需讨论轴以及其上方的图象即可，当，则曲线方程化为，即，此时曲线为以为圆心，半径的半圆，可知，当且仅当为线段与曲线的交点时，等号成立；当，则曲线方程化为，即，此时曲线为以为圆心，半径，可知，当且仅当为的延长线与曲线的交点时，等号成立；即，结合选项可知：AD错误；BC正确.故选：BC.11.正方体的棱长为2，点M为侧面内的一个动点（含边界），点P、Q分别是线段、的中点，则下列结论正确的是（）A.存在点M，使得二面角大小为B.最大值为6C.直线与面所成角为时，则点M的轨迹长度为D.当时，则三棱锥的体积为定值.【答案】BCD【解析】【分析】由题意得到二面角的平面角,其中，可得判定A错误；建系求出点及向量，再应用向量的数量积坐标表示计算最值判断B,根据线面角得出的轨迹，结合边长得出角进而应用弧长公式求出侧面内的劣弧判断C,应用向量垂直得出点的位置，再应用等体积法求体积即可判断D.【详解】在正方体中，可得平面，因为平面，平面，所以，所以二面角的平面角为，其中，A错误；

如图建系，设，，存在时，取最大值6，B正确；

设面法向量为n=0,1,0，直线与面所成角为时，可得，所以，则点M的轨迹是以E0,0,1为球心，2点M为侧面内的一个动点，则点M的轨迹在侧面内是以E0,0,1为圆心，2为半径的劣弧，如图所示，分别交，于，，如图所示，，则，则，劣弧长为，C正确当时，，所以，所以，可得为，则三棱锥的体积为，所以当时，三棱锥的体积为定值，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解决轨迹长度的关键是先设点计算求轨迹方程，点M的轨迹是以E0,0,1为球心以2为半径的球，再结合侧面内的边长得出角进而得出弧长即可.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.12.，，则在上的投影向量为________（用坐标表示）【答案】【解析】【分析】直接利用向量的夹角运算及数量积运算求出投影向量．【详解】由于空间向量，，故向量在向量上的投影向量的坐标．故答案为：．13.已知直线：，：，若满足，则两直线的交点坐标为________.【答案】【解析】【分析】先由直线与直线垂直的性质能求出，再联立直线方程求交点即可.【详解】直线与直线垂直，，解得，所以，解得故答案为：.14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直.长度为的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为________.【答案】【解析】【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果.【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，因为，即，可得，则，则，整理可得，可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，所以端点的轨迹长度为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和.（1）求圆C的方程；（2）若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解；（2）设Mx,y，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解.【小问1详解】设圆C方程：，由已知，解得，∴圆C方程为.【小问2详解】设点Mx,y，.∵，∴.整理得，，∵点B在圆C上，∴，∴点M的轨迹方程为.16.在四面体中，，，E是的中点，F是上靠近A的三等分点，（1）设，，，试用向量、、表示向量；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由向量的加法与减法运算；（2）证明，得，可得．【小问1详解】，即；【小问2详解】所以．17.在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）．（1）当点M为棱的中点时，求二面角的余弦值；（2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值．【答案】（1）（2），最小值为【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找出坐标，求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，再利用公式求解即可；（2）引入参数，设，，表示出，，，．求出平面法向量，设与平面的所成角为，利用建立等式，再利用基本不等式求解．【小问1详解】如图，以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设二面角为，则该角为锐角．而，，，．所以，．设平面法向量所以．取，得平面的一个法向量为易知平面的一个法向量为所以．【小问2详解】设，所以，，，．设平面法向量为．所以取，得平面的一个法向量为．设与平面的所成角为所以令，则即当时，即，．最小值为，此时．18.已知，点，点B，C在直线上运动（点B在点C上方）.（1）已知以点A为顶点的是等腰三角形，求边上的中线所在直线方程；（2）已知，试问：是否存在点C，使得的面积被x轴平分，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由?【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质及垂直直线的斜率关系求得边的中线的斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；（2）结合点到直线的距离公式求出的面积，设，，分点C在x轴下方和点C在x轴或x轴上方，两种情况讨论，根据面积列式求解点C的坐标，再求直线方程即可.【小问1详解】因为是以点A为顶点的等腰三角形，所以边的中线垂直直线，所以边的中线的斜率，又过点，所以边的中线方程为，即；【小问2详解】因为点A到直线的距离，故.假设存在C满足条件，设，，则，即，①当点C在x轴下方时，即时，即，所在直线的方程为，令，解得，直线与x轴的交点，又直线与x轴的交点，所以，，解得或，舍去；②当点C在x轴或x轴上方时，即时，即，所在直线的方程为，令，解得，直线与x轴的交点，所以，，解得或（舍去）；综上，当时，存在点满足题意，此时，直线的斜率为，故直线方程为.19.出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离.（1）已知点，，求的值；（2）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.已知点，直线：，求；（3）已知三维空间内定点，动点P满足，求动点P围成的几何体的表面积.【答案】（1）9（2）（3）【解析】【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；（2）设直线上任意一点坐标为Px,y，然后表示，分类讨论求的最小值即可；（3）不妨将A平移到A0,0,0处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积【小问1详解】，所以.【小问2详解】设动点Px,y为直线上一点，则，所以，即，当时，；当时，；当时，；综上，为.【小问3详解】动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，其表面积.证明如下