大学物理课件：质点动力学

质点动力学2.1牛顿运动定律及其应用2.2惯性系力学相对性原理2.3功和能2.4功能原理与机械能守恒定律2.5动量定理与动量守恒定律质点动力学主要研究引起物体运动状态变化的原因和由此引发的效果。2.1.1牛顿运动定律

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。注意：牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性和力1.牛顿第一定律

第一定律指出，任何物体都有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性（其大小用质量量度）。所以第一定律也成为惯性定律。

第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用称之为力。另一表述：自由物体的运动状态永不改变2.1牛顿运动定律及其应用2.牛顿第二定律：

理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。

独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度的矢量和。矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。直角坐标系：自然坐标系：3.牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，且在同一直线上。FF1–2FF2–1又称为：作用力与反作用力定律2.1.2常见的几种力1.万有引力、重力：质量为m1和m2的两个质点相距为r，则这两个质点之间存在相互吸引力，大小为：

称为万有引力由于万有引力常数的数量级很小，所以一般物体间的万有引力极其微弱．其中称为万有引力常数例如，地球上相距一米的两个人之间的引力不足所以地球表面物体主要是受地球的吸引力，也就是重力（Ｐ）：所以重力加速度为：式中ｍ，Ｍ分别是物体和地球的质量，Ｒ为地球半径2.弹性力：当两个物体相互接触发生形变时，物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。弹性力产生的先决条件是弹性形变，弹性力的大小取决于形变的程度。弹性力的表现形式有很多种，常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时产生的张力；重物放在支承面上产生的正压力（作用于支承面）和支持力（作用于物体上）等均为弹性力。3.摩擦力：

两个相互接触的物体在沿接触面有相对滑动时，或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间会产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。

(1)相互接触的两个物体在外力作用下，有相对滑动的趋势但尚未产生相对滑动，这时的摩擦力叫静摩擦力。静摩擦力沿接触面作用并与相对运动趋势相反。静摩擦力的大小视外力大小而定，介于零和最大静摩擦力之fS间，实验证明，最大静摩擦力正比于正压力N，即(2)当外力超过最大静摩擦力时，物体间产生相对滑动，这时的摩擦力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总是与物体相对运动的方向相反，实验证明，滑动摩擦力也与正压力N成正比，即*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动摩擦系数略小于静摩擦系数,在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。

叫做静摩擦系数，它与接触面的材料和表面状况有关。叫做滑动摩擦系数，它也与接触面的材料和表面状况有关，还与两接触物体的相对速度有关。2.1.3牛顿定律应用牛顿运动定律解决动力学问题一般可分为两类：一类是已知运动求力，另一类是已知力求运动，即微分法和积分法的应用。这些式子既体现了力的叠加原理，也体现了运动的叠加原理。

式（2-2）是牛顿第二定律的矢量式。实际应用常用到分量式。如：或者：应用牛顿第二定律常用的分析方法与步骤：定对象——查受力——看运动——列方程例2-1一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，B为动滑轮，绳子不能伸长，。滑轮组及绳的质量、轴的摩擦均可忽略。

求：(1)重物的加速度;(2)绳中的张力(3)定滑轮轴承的支反力图2-1的受力如图，设的加速度为，

绳子的张力为，则的加速度为

对有：对有：解：解得：定滑轮轴承的支撑反力

例2-2质量为m的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船关闭发动机为计时起点，设水的阻力和小船的速度之间的关系是求：

1.发动机关闭后小船的速率与时间的关系以及小船的运行时间；

2.发动机关闭后小船的速率和通过的路程之间的关系,

以及小船到停止时行驶的全部路程；

3.在小船的速率减少到初速的1/n时间内的平均速率。（其中r是常量）解：（1）小船共受到三个力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力为一对平衡力，不改变小船的运动状态，故只有阻力对小船的运动状态产生影响。分离变量并两边积分，注意两边积分的上下限对应，可得：

当v=0时的时刻即为航行时间实际上当t远大于时，V趋于0。（2）由此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中出现ds，并消去dt分离变量，并两边积分，注意到时，；时，故得：

v=0时的S即为全部路程，则全部路程为：

因为（3）设时所经历的时间为t’，则有：

0——t’时间内船行驶的路程：

解：对小球进行受力分析例2-3已知小球质量为水对小球的浮力为B，水对小球运动的粘滞阻力为，式中的是与水的粘滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度。取向下为正方向，由牛顿第二定律：设时，小球初速度为零，此时加速度有最大值当小球速度逐渐增加时，加速度逐渐减小，当增加到足够大时，趋近于零此时趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用表示，令于是有对上式积分得小球沉降速度随变化的函数关系分析：当时，；而当时，

时，就可以认为，小球即以收尾速度匀速下降解：，小球位于最低点，速率为，在时刻，小球位于点轻绳与铅直线成此时小球受力为：重力、绳拉力，根据牛顿第二定律有：法向加速度切向加速度例2-3长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于定点，开始时小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的速度，小球将在铅直平面内做圆周运动，求小球在任一位置时的速率及绳的张力。选取自然坐标系，过点与速度同向的切线方向为轴，过点指向圆心的法线方向为轴，则分量式为：由角速度定义以及角速度与线速度之间关系，得到：于是得到：将上式积分代入初始条件：

小球在从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角度增大而减小，到达最高点张力最小

小球在从最低点向下降的过程中，张力逐渐增大，到达最低点张力最大分析：小球速率与位置有关，在之间，速率随角度增大而减小；在之间速率随角度增大而增大。做变速率圆周运动。例2-5在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放一质量为m的小物体。物体由静止开始沿球面滑下。如图2-4（a）所示。求物体开始离开球面的角位置图2-4物体在球面上下滑解：研究对象是质量为m的小物体。取它下滑过程中，在离开球面C处之前的任意一个位置B，分析其受力情况。小物体可视为质点、空气阻力忽略，球面光滑，没有摩擦。在B点它只受到两个力的作用：

重力mg和支承力N，它们的方向如图2-4（b）所示。这两个力的合力使它在AC圆弧上作变速圆周运动。根据牛顿第二运动定律在法向与切向的分量式得：可以列出法向、切向运动方程分别为

小物体离开球面时候，。则有

由于未知数多于方程数不可解，为此先设法消去ｔ，由（2-13）得：从而只剩下变量v、，分离变量并两边积分得：代入（2-12）得：简化得：所以动力学两类问题vv((((rr求已知或及00tt时的rr00和vv00FF((((vvaa((((vv例如牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来，属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题已知已知求求质量为的质量为的质点运动学方程质点运动学方程mmrr(())ttrr所受合外力所受合外力FF(())aamm第一类质量为的质量为的mm质点受力情况质点受力情况及初始条件及初始条件质点的运动规律质点的运动规律vv(())rr等等(())ttrr,,vv(())tt或或第二类求导求导22aaddddttrr22一般方法积分积分按具体情况按具体情况分离变量求积分离变量求积mmddttddvvFF((((vvmmFF((((vvddvvttdd00ttvv00vv求得vv((((ttvv((((ttttdd00ttrr00rrddrr续练习一已知已知平面上运动平面上运动运动规律运动规律质点质量质点质量mmXXYYyyxxBBttAAwwsinsincoscosttwwAABBww为常数为常数练习一练习一在在三、三、常用的分析方法与步骤定对象查受力看运动列方程四、四、随堂练习xxaa22ddddttxx2222ddddtt22(())ttAAwwsinsinAAttwwsinsinww22yyaa22ddddtt2222ddddtt22(())yyttwwcoscosBBttwwww22BBcoscosmmxxaammAAttwwsinsinww22yyFFxxFFmmaammttwwww22yyBBcoscos求求作用于质点的力作用于质点的力FF((((rr解法解法提要提要))xxFFFFxxyyFFiijj++((mmww22ttwwsinsinAAii++ttwwcoscosBBjjmmww22((ii++yyjj))mmww22rrrrFFF

恒与

r

反向匀角速椭圆运动XXYYOOBBAAmmwwFFFFxxii++结果图示结果图示yyFFjj))((mmww22AA++ttwwcoscosBBjjttwwsinsiniixxmmww22((ii++yyjj))mmww22rr随堂练习二练习二练习二mmvvXX00已知已知停机时船速停机时船速00，，阻力阻力kkFFrrvv问问船还能走多远？船还能走多远？xxddddttmmvvFFrrkkvvkkddddttxxddmmddvvkk得得xxddxx00vv00ddvvmmkk00止止mmkkvv00xx止止xx止止vv00vv00XXxxvvmmkkvv00xxvv停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。关键是要找到船速与位置的关系，关键是要找到船速与位置的关系，vvxx即即从从vvvv0000xx从从00时时xx止止解法解法提要提要随堂练习三需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解d(0.5

v

)22dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+

0.5

v

)22dx即(())++vv0011225555220022d(2.5+

0.5

v

)22dx(())++vv0011225555220022d(2.5+

0.5

v

)22dxx02510积分得x102×ln(2.5+0.5v2)2510179(m)解法解法提要提要mmdvdt设列车质量为FFFF总则总阻力dvdtFFFF单位质量受总阻力FFFF总(())++vv0011225555220022mmmmtt00v=25m/s；关电门时x=0，00v=10m/s时x=？，行进中的电气列车，每千克受阻力与车速的关系为行进中的电气列车，每千克受阻力与车速的关系为FFFFXXXXvv已知已知FFFF(())++vv0011225555220022NN当车速达25m/s时运行多远，车速减至10m/s求求关电门F练习三练习三随堂练习四xxvvddddttttddxxvvdd00xxddxx00FFmm22tttt2200ttddttxx00FF66mmtttt33ddddttFF由由mmvv有有tttt00FFmmddddttvvddvvtttt00FFmmddtt00ddvvtt00FFmmddttvv00ttttvv00FFmm22tttt22解法解法提要提要00FF00ttFFtttttt00FFmm22tt00xx66vvtttt00FFmm22tt00XXXX某电车启动过程某电车启动过程某电车启动过程某电车启动过程牵引力牵引力牵引力牵引力ttttFFFFtttt00FF00FFmm00FFtt启动时间启动时间及及均为常数均为常数tt00时时vvxx0000求求vv(())ttxxtt(()),,练习四练习四练习五：质量为m=10Kg，长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1=10Kg的物体，开始时l1=l2=20cm<l3，速度为零。设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条全部滑到桌上时，系统的速度和加速度。l2图2-5l1l3Tmmgy/lm1gTy解：选坐标及受力分析如图。据牛顿第二定律，有：由1，,代入2得由3，练习六：质量m为10Kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图2—4所示。已知木箱与地面间的摩擦系数

为0.2，求t为4s和7s时，木箱的速度大小。（g=10m/s2）F（N）70430t(s)Ff解：本章习题2.2.1惯性参考系人站在沿路面加速运动的火车上观察此物体，发现物体向汽车后方做加速运动，合力仍然为零，但加速度不为零，显然不符合牛顿定律。a因此，相对于地面做加速运动的火车参考系，牛顿运动定律不成立。地面上有一静止物体，人站在地面上观察此物体，物体静止，加速度为零，因为作用在它上面的合外力为零的缘故，这符合牛顿定律。举例：2.2惯性系力学相对性原理

相对于惯性系做匀速直线运动的参考系也都是惯性系，而相对于惯性系做变速运动的参考系不是惯性系。

牛顿运动定律不是对任意参考系都适用的。我们把牛顿运动定律适用的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系；反之，叫做非惯性系。2.2.2力学相对性原理也就是说在两个惯性系中，牛顿第二定律具有相同表达式。

可见质点在两个惯性系中加速度是相同的，又因为在经典力学范围内，物体的质量是一个与参考系无关的不变量，所以

依次可以进一步推断牛顿第一、第三定律在惯性系中也有相同的表达式，并且可以推断建立在牛顿运动定律基础上的其它力学规律在不同惯性系中也有相同的表达式。

系是惯性系，系以恒定速度相对系做匀速直线运动，则也是惯性系。

力学相对性原理：在一切惯性系中，力学定律具有相同的表达式。2.3.1功

在力的持续作用下，物体移动了一段位移，则力对物体做了功，用数学式子表示为（恒力对直线运动物体所做功）式中为与之间的夹角，按照矢量标积定义写为：2.变力的功对变力或物体沿曲线运动，以微积分思想给出功的普适定义：元功定义功的一般定义一质点在力作用下，发生一无限小位移此力对它做的功定义为力在位移方向上的分量与该位移大小乘积，以表示元功则：1．恒力的功2.3功和能功的定义是功等于力和位移的标积。功是标量，没有方向，有正负。从式中可以看出，当功为负值，即力对物体做正功。从式中可以看出，当功为正值，即力对物体做负功。合力对质点所做功，等于每个分力所做功代数和，即：功的单位，叫做焦耳用表示，功的量纲若质点在变力作用下沿图示路径从运动到，求在这过程中力所做功，要将路径分成很多段位移元，在每一个微小位移元上，力可近似为恒力，质点在这一过程中变力所做功等于在每一段位移上所做元功代数和：功率：力在单位时间内所做的功即力对质点的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速度的标积。单位瓦特，用W表示。例2-6把10kg水从水面匀速提升10米到井口，若每升高1m漏去水。求把水从水面匀速提高到井口，外力所做的功？图2-7解：建立坐标系如图2-7，井中水平面为坐标原点，向上为Y轴正方向.

当水桶升到Y坐标处，水桶中水的重力为由于匀速上升,外力与水的重力始终相等,即外力：

上升dY外力需做的功：整个过程中外力的功：图2-8例2-7设有质量为m，长为l的均匀细棒，其延长线上距棒端距离为a处有一质量为m的质点。今把质点从A处移往B处，求万有引力作的功。解：建立坐标系如图2-8，在x处取dx质元可视为质点，其质量与质点m之间的万有引力为：整个细棒对质点的万有引力为（即细棒无限多个质元对质点的引力之和，注意到方向均相同，所以直接叠加。）即当质点m移动时，F是变化的（a用变量x代替，实际上启用另一坐标系，变更了坐标系原点）即x为质点m至棒端的距离，移动的一个微过程万有引力作的功负号表示F的方向与位移方向相反。整个移动过程作的功视作无限多个微过程作的功的代数和，即：

2.3.2动能定理1.质点动能定理

：

一个物体在运动中如果受力的持续作用，则其速度不断改变，力对质点所作的功与质点的速度变化之间的关系可用质点的动能定理来表示。在曲线上任一点，力在元位移上所做元功为由牛顿第二定律及切相加速度的定义质点从运动到点，合外力做总功为得：为质点动能用表示合外力对质点做的功等于质点动能增量，这就是动能定理。适用于惯性系。2.质点系的动能定理由两个质点组成的质点系的动能变化和它们受的力所做功的关系

、和、分别表示它们所受到的外力和内力；、和、分别表示它们始末态的速度，由质点动能定理得对：对：两式相加得：方程左边前两项是外力对质点系所做功之和，后两项是质点系内力所做功之和方程右边前两项为系统末态动能，后两项为系统初态动能，即质点系动能的增量等于作用于质点系的所有外力和内力做功总和。这一结论可以推广到由任意多个质点组成的系统，这就是质点系的动能定理。注意：质点系的内力虽成对出现大小相等方向相反，但内力功的代数和一般不为零，原因是成对力的位移可能不同。例2.8：一质量为10kg的质点在力的作用下沿x轴无摩擦运动，t=0时，质点静止于原点处，求x=3m处物体的速度？解：由动能定理得

，则可得1.保守力如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。这也是保守力的另外一种定义。例如重力、万有引力、弹性力、电场力等都是保守力。作功与路径有关的力称为非保守力。例如:摩擦力保守力沿闭合路径一周所做的功为零。

abcd不是一种新的力，是以作用效果定义的2.3.3保守力、非保守力、势能几种常见力的功重力的功重力mg在曲线路径M1M2上的功为重力所作的功等于重力的大小乘以质点位置高度的变化。(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过的路径无关（与路径无关）

。(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。

结论②xyzOmG①万有引力做的功质量为的物体，自远离地球表面的点由静止开始朝着地心方向自由落体到点，求万有引力对物体做的功。取地心为坐标原点，以地心向上为正方向，在任意位置处，万有引力大小为（其中M为地球质量），方向指向地心。在这一元位移内万有引力所做的元功为物体从运动到，万有引力做功为总结：因为，所以，物体下落时，万有引力做正功。若物体运动路线为曲线，同样有以上结果。由结果知道，万有引力对物体做的功只与物体始末位置有关。弹性力的功(1)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所经过的路径无关（与路径无关）

。(2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。弹簧弹性力由x1到x2路程上弹性力的功为弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。

结论xO摩擦力的功在这个过程中所作的功为

摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所经过的路径有关（与路径有关）。

结论摩擦力固定的水平面2.势能在保守力场中，物体在某处（A）具有的势能值等于把物体从该处移到零势能点时，保守力做的功称为物体在该处的势能，记为规定：物体在某点所具有的势能等于将物体从该点移至势能零点保守力所做的功。

几种常见的势能1.万有引力势能

势能零点为

2.重力势能

势能零点为

3.弹性势能

势能零点为

统一写为

单位焦耳

保守力的功等于相应势能增量负值

由质点系动能原理内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内力做的功和非保守内力做的功保守力的功等于相应势能增量的负值，则得到系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用表示，则2.4功能原理机械能守恒定律以和分别表示系统初态和末态的机械能，则物理学中常讨论的重要情况为：质点系运动过程中，只有保守内力做功，外力的功和非保守内力的功都是零或是可以忽略不计得到或外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结论为功能原理。当外力和非保守内力都不做功或所做的总功为零时，系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但系统的机械能保持不变。这就是机械能守恒定律。例2-9如图2-12所示，用一弹簧把质量分别为和

的两块木板连接在一起，放在地面上，弹簧质量忽略不计，且。问（1）对上面的木板必须施加多大的正压力F，以便在力F突然撤去而上面的木板跳起来的时候，恰好使下面的木板提离地面？图2-12（2）如果和交换位置，结果如何？解：（1）设弹簧的弹性系数为K，上面的木块在F及作用下，弹簧压缩量为如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后上跳过程必须使弹簧伸长才能使下面的木板恰能提起，如图2-12(c)所示。即把和代入上式，化简可得：所以得注意：因为不合题意，故舍去。和交换位置结果不会改变。(2)把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。2.5.1冲量质点的动量定理1.由牛顿第二定律来考虑力对时间积累的效果积分左侧积分表示在到这段时间内合外力的冲量，用表示冲量的物理意义：在给定时间内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量，即质点的动量定理。

表示力在时间内的积累量，叫做在时间内合外力的微冲量。2.5动量定理与动量守恒定律1.冲量为矢量，方向与动量增量的方向相同。3.在直角坐标系中2.质点的动量定理:几点说明：2.冲量是过程量,动量是状态量。例2.10如图，一质量为m的质点，在光滑的水平面上以角速度做半径为的匀速圆周运动.试分别从冲量的定义式和动量定理。求出

从0到

的过程中合外力对质点的冲量。图2-13

解：（1）用冲量定义式求：

（2）用动量定理求：

两方法比较应用动量定理求解简单些。例2-11：一辆装煤车以每秒5吨的速率垂直注入车厢，如果车厢的速率保持不变，轨道的速率从煤斗下面通过，煤粉通过煤斗以摩擦忽略不计，求牵引力的大小.解：以m表示t时刻已落入火车的煤和煤车的总质量，在此后，

dt时间内又有dm的煤落入车厢，取m和dm为系统，则此系统