平面向量一轮复习题型归纳（三）数量积公式部分（教师版）

平面向量高三一轮复习题型归纳（三）数量积公式公式：a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角求夹角求模垂直题型投影数量、投影向量动点问题综合应用一、求夹角例1.若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（

）A．30° B．60° C．90° D．120°解析：，，，由于向量夹角的取值范围是，所以向量与的夹角为120°.故选：D例2.已知：向量与的夹角为锐角．若是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．解析：当向量向量与的夹角为锐角时，有且与方向不相同，即，解得且，因为是假命题，所以实数的取值范围是.故选：C.例3．若单位向量，的夹角为，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．解析：由题意知单位向量，的夹角为，则，故，，，故，故选：D例4(多选).已知向量e1，e2满足|e1|=2|e2|=2，且e1与e2的夹角为π3A．-12 B．-13 C．1答案：B,C二、求模例1.已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\r(2) D．2解析：选A∵非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，∴a·b＝|a|×1×eq\f(1,2)＝eq\f(|a|,2)，∵|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝eq\f(1,2)，故选A.例2.已知非零向量，满足，且与的夹角为，则＝.解析：因为，所以，又，，，所以，化简得，所以.三、垂直例1.若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π解析：设a与b的夹角为θ，因为|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3|a|2－2|b|2－a·b＝eq\f(8,3)|b|2－2|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2cosθ＝0，解得cosθ＝eq\f(\r(2),2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).例2.已知向量eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))，且eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，则实数λ的值为________．解析：由eq\o(AP,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，知eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝(λeq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))－λeq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AC,\s\up7(→))2＝(λ－1)×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－λ×9＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).四、投影向量、投影梳理例1.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．解析：设与的夹角为，在上的投影向量为所以，所以，所以为钝角，且.例2.已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（

）A．5 B． C．10 D．解析：因为，所以，所以，，则在方向上的投影为.例3.已知非零向量a，b，c满足|a|=|b|，c=13a，若c为A．12 B．13 C．14 答案：B例4．已知向量a=(-2，4)，b=(1，t)，若a与A．j B．-j C．2j D答案：C五、动点问题（建系）例1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，AD=4，点P满足DP=λDC，其中A．[4，5] B．[8，10] C．[4答案：B例2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD（包括端点）上的动点，F是以AB为直径的半圆（包括端点）上的动点，则AE⋅BFA．253 B．2 C．233解析：建立如图平面直角坐标系，

则O(0,0)，A(-1,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(-1,2)，F是以AB为直径的半圆（包括端点）上的动点，可设F(cosα,sinα)，E是边CD（包括端点）上的动点，可设E(t,2)，t∈[-1,1]，故AE=(t+1,2)，BF=(则AE⋅BF∵α∈[0,π]，∴cosα-1∈[-2,0]，又t∈[-1,1]，

∴即AE⋅BF≤2sinα≤2，（当且仅当t=-1因此AE⋅BF的最大值为例3（双空）.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图1，其平面图是如图2的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动，则；的最小值是．

解析：

以O为坐标原点，OB为x轴建立如图平面直角坐标系，因为，，，所以，，，，，设，，则；因为，所以，，所以时，则，此时最大为.故答案为：；例4（多选）.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⋅BC=0A．DM⋅DN的最小值为18-62 B．C．DM⋅DN的最大值为12 D．DM答案：AC综合应用例1.在条件①向量m=(2a-c,b)与向量n=(cosC,cosB)共线;②csinA+C2=bsinC;在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，b=13,a+c=7且满足▲.(注:如选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.)解析：【答案】解:若选①∵向量m=(2a-c,b)与向量n=(cosC,cosB)∴(2a-c)cosB-bcosC=0由正弦定理边化角得(2sinA-sinC)cosB-sinBcosC=0，即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)，又sinA=sin(B+C)，∴2sinAcosB=sinA,∵A∈(0,π)，∴sinA≠0∴cosB=12∵B∈(0,π)，∴B=π3由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面积为S△ABC=若选②：由题设及正弦定理得sinCsinA+C2∵C∈(0,π)，∴sinC≠0,∴sin由A+B+C=π，可得sinA+C2∴cos∵B2∈(0,π2)∴sinB2=12∴B=π由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面积为S△ABC=若选③：由已知得sin2由正弦定理角化边得a由余弦定理得cosB=∵B∈(0,π)，∴B=由余弦定理得b2=∴13=a2∴ac=12,∴三角形的面积为S△ABC=例2（多选）.已知O为坐标原点，点P1A．|OP1|=|OPC．OA⋅OP3答案：A,C例3.在△ABC中，角x∈[0，π2]所对的边分别为a，b，（1）求角A；（2）若向量m=(cosB，2cosA)，n=(0，答案：（1）解：在△ABC中，acosB=(2c-b)cosA由正弦定理：sinAcossinAcossinC=2sinCcosA，因为C∈(0，π)从而cosA=12，又A∈(0，π)（2）mm|m-2n|=1+12=1+12=1+因为0<C<23π，π3所以1所以|所以|m-2跟踪训练1（多选）.在平面直角坐标系中，已知点，，，则（

）A．B．与的夹角为C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或解析：因为点，，，所以，，所以，所以，故A选项错误；设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故B选项正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或.故D选项正确.故选：BD.2.已知向量，若，则（

）A． B． C． D．解析：向量，由，得，变形得，而，即，因此，所以.故选：D3.如图，已知正八边形的边长为1，则（

）A．1 B．2 C． D．解析：分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，可得，，，，，所以，，所以．故选：C．4.已知a=(1-m，2)，b=(n，1)，m>0，n>0，若存在非零实数A．8 B．9 C．10 D．12答案B5（多选）.已知向量a=(sinα，A．若a∥bB．若a⊥bC．若f(α)=a⋅D．|a-答案：B,C,D6（多选）.已知a=(tA．若a//bB．若a⊥bC．|a-D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0答案：A,B7.已知向量，，若与所成的角为锐角，则实数的取值范围为.解析：因为与所成的角为锐角，故且不共线同向.故即.若共线，则即，故实数的取值范围为.故答案为：.8．在中，令，，若，，，，则的边上的中线长为．解析：设的中点为，如下图所示：

则，由，可得；所以，可得中线长.故答案为：9（双空）.在等腰梯形ABCD中，已知AB // CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，当λ=时，则解析【解答】解：因为AB∥CD，所以AM=CD，所以四边形AMCD为平行四边形，所以AD∥MC且AD=MC，则可设CQ=λ故AQ=因为B，所以13+1+λ=1，解得所以AQ=因为MP=所以DP=所以AQ⋅因为AC=所以AC⋅所以cos∠BAD=-又∠BAD∈(0，π)