专题29整式加减章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题2.9整式加减章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1整式加减的循环运算】 1【题型2利用整式加减计算周长】 5【题型3整式加减的规律探究】 10【题型4整式加减与绝对值的综合】 15【题型5整式加减与数轴动点综合】 19【题型6整式加减与数字综合】 24【题型7整式加减中的新定义问题】 29【题型8整式加减的应用】 34【题型1整式加减的循环运算】【例1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）已知两个整式M1=x+1，M2=x-1，用整式M1与整式M2求和后得到整式M3=2x，整式M2与整式M3作差后得到整式M4=-x-1，整式M3与整式M4求和后得到新的整式M5，整式M4与整式M5作差后得到新的整式M6，…，依次交替进行A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据题意依次计算出M1=x+1，M2=x-1，M3=2x，M4=-x-1=-M1，M5=根据观察可发现每12个一循环，将x=1代入M7中可判断①；根据上述即可判断②；M19=M7，再代入计算即可判断③；先计算出【详解】解：由题意计算可得：M1=M3M4M5M6M7M8M9M10M11M12M13M14M15以此类推，每12个一循环，∴当x=1时，M7=-由上述可知，整式M2与整式M10结果不相等，故∵M19=M∴M∴M6=M∵M1∴M1+M∴正确的结论有①③④，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减、规律型：数字的变化类，解题关键是根据题意进行正确的计算，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者前后数字进行简单运算，从而得出规律．【变式11】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是2，4，2，2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是2，6，4，2，2，4，2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是.【答案】4036【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是2，4，2，2，0，增加了新数4，2，2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是2，6，4，2，2，4，2，2，0，增加了新数6，4，2，2，4，2，2，其和为6；……由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n2；由此即可解答.【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是2，4，2，2，0，增加了新数4，2，2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是2，6，4，2，2，4，2，2，0，增加了新数6，4，2，2，4，2，2，其和为6；……由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：2+0+2n=2n2；∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n2=2×20192=4036.故答案为4036.【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n2是解决问题的关键.【变式12】（2023春·河北廊坊·七年级校联考期末）用5、2、1，三个数按照给出顺序构造一组无限循环数据．(1)求第2018个数是多少？(2)求前50个数的和是多少？(3)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“2所在的位置数；(4)请你算出第n个,第n+1个,第n+2【答案】（1）－2；（2）－103；（3）3k1（k为正整数）；（4）－6．【分析】（1）根据每3个数一组，从第四个数开始循环，即可得到结论；（2）前50个数分成16组，每一组数的和为－5－2+1=－6，余下两个数为－5，－2，即可得到结论；（3）根据－2的位置为第2个，第5个，第8个，即可得到结论；（4）任意取三个连续位置的数，有三种可能：5，2，1或2，1，5或1，5，2，其和为都等于－5－2+1=－6，即可得到结论．【详解】（1）∵从第四个数开始循环，2018÷3=672．．．2，∴第2018个数是－2；（2）∵50÷3=16．．．2，∴前50个数的和是（－5－2+1）×16+（－5）+（－2）=－103；（3）5，2，1，5，2，1，5，2，1．．．，－2的位置为第2个，第5个，第8个，即第3k1个，k为正整数；（4）从5，2，1，5，2，1，5，2，1．．．，中任意取三个连续位置的数，有三种可能：5，2，1或2，1，5或1，5，2，其和为都等于－5－2+1=－6．【点睛】本题考查了数字变化规律．弄清3个数为一组，进行循环是解答本题的关键．【变式13】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去．(1)填表：剪的次数1234正方形个数710(2)如果剪10次，共剪出_____________个小正方形；如果剪n次，共剪出_____________个小正方形；(3)如果要剪出100个小正方形，那么需要剪_____________次；(4)若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为_____________．【答案】(1)4,13(2)31，3(3)33(4)1【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整；（2）根据表格中的数据可以计算出剪了10次，共剪出多少个正方形，也可以计算出剪n次，共剪了多少个正方形；（3）根据（2）中算出的用n表示的式子，令其等于100，即可算出n的值，即剪了多少次；（4）根据题意可写出剪3次后小正方形的边长，进行可以求出面积．【详解】（1）解：根据题意可得，剪1次时，正方形的个数为4，由表中规律可得，剪4次后，正方形的个数为13，故答案为：4,13；（2）解：根据表格中的数据观察可知，第10次剪成的正方形的个数为：4+3×10-1第n次剪成的正方形个数为：4+n故答案为：31，3n（3）解：根据题意得，令3n解得n=33故答案为：33，（4）解：若原正方形纸片的边长为1，则剪三次后正方形的边长为18所以小正方形的面积为：18故答案为：164【点睛】本题考查了图形的变化，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【题型2利用整式加减计算周长】【例2】（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB=m，则图（1）与图（A．m B．54m C．65【答案】C【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．【详解】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，由图（1）得4x由图（2）得2x+y∴5x∴x图（1）中阴影部分的周长为：2n图（2）中阴影部分的周长为：2n∴阴影部分的周长之差为：185故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．【变式21】（2023春·浙江·七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长为C1正方形纸片①和四张周长分别为C2，C3，C4，C5的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（

）A．C1 B．C3+C5 C．C1+C3+C5 D．C1+C2+C4【答案】B【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为C和正方形纸片①的周长C1和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C2，C3，C4，C5表示出来，其中大长方形ABCD的周长为C为定值，然后分别计算C3+C5，C1+C3+C5，C1+C2+C4，找出其中为定值的即可．【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，∴大长方形ABCD的周长为C=2∴C2=2a+2b，C∵①是正方形，∴c∴a+∴C3C1C1∴C3故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题的关键．【变式22】（2023春·广西南宁·七年级南宁三中校考期末）将图①中的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形．(1)设3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，求1号，2号正方形的边长分别是多少？（用x，y的代数式表示）(2)若图①中长方形的周长为48，试求3号正方形的边长；(3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为100的长方形中，求阴影部分的周长．【答案】(1)y-x，(2)6；(3)88．【分析】（1）观察图形，易知1号正方形的边长为4号正方形的边长减去3号正方形的边长，同理易知2号正方形的边长为3号正方形的边长减去1号正方形的边长；（2）根据观察，可知图①中大长方形的长为3号正方形的边长与4号正方形的边长和，即：x+y，宽为2号正方形的边长与3号正方形的边长和，即：x+(2x-（3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形ABCD的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出AB的长，从而解得阴影部分的周长．【详解】（1）解：∵3号正方形的边长为x，4号正方形的边长为y，∴1号正方形的边长为y-x，2号正方形的边长为（2）解：长方形的长为：x+y，宽为：∵长方形的周长为48，即2(∴x∵3号正方形的边长为x，∴3号正方形的边长为6；（3）解：如图：由平移知识可得阴影部分的周长为长方形ABCD的周长，由（2）可知3号正方形的边长为6，4号正方形的边长为y，5号长方形的宽为2号正方形的边长减去1号正方形的边长的差即：2x∴AD周长为100的长方形的长为：AB+6，宽为24-∴2AB∴AB则长方形ABCD的周长为：20+y即阴影部分的周长为88．【点睛】本题考查了整式的加减应用，列代数式表示各线段的长从而可解决问题．【变式23】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一个正方形分割成11个大小不同的正方形，记图中最大正方形的周长是C1，最小正方形的周长是C2，则C【答案】43【分析】如图（见解析），设AB=x,BC=y，根据正方形的定义可得最小正方形的边长为14x-11【详解】如图，设AB=x,BC=y，最大正方形标记为0号，被分割成的110号：1号+2号得x+5号：1号2号得y-3号：2号5号得x-4号：0号2号3号得x+7号：3号4号得2x6号：4号7号得2y10号：0号1号得x，9号：0号4号6号10号得x+8号：10号9号得x-11号：6号7号得5y或9号6号得8x因此x和y满足等式：8y整理得：x=所以最大正方形（0号）的周长C1最小正方形（11号）的周长C2则C1【点睛】本题考查了用代数式表示几何图形的周长，设定未知数，利用正方形的性质将最大正方形的周长和最小正方形的周长求出是解题关键．【题型3整式加减的规律探究】【例3】（2023春·重庆江北·七年级统考期末）有依次排列的3个正整数：x，y，z，且y>z>x，现规定：对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新数串：x，y-x，y，①第一次操作后，所有数之和为：2z②第二次同样操作后的数串是：x，y-2x，y-x，x，y，z-2③第n次同样操作后，所有数之和为：x+其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意进行操作，求出第一次，第二次，第三次操作后的新数串，并根据整式的加减计算法则对新数串进行求和，可以发现可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加-x【详解】解：第一次操作后，得到的新数串为：x，y-x，y，z-∴第一次操作后，所有数之和为x==y+2z第二次操作后，得到的新数串为：x，y-2x，y-x，x，y，z-2y，∴第二次操作后，所有数之和为：x==x第三次操作后，得到的新数串为：x，y-3x，y-2x，x，y-x，2x-y，x，y-x，y，z-3∴第二次操作后，所有数之和为：-x=-=x+…．∴可知每次操作后，得到的新数串的所有数的和比上一次增加-x∴第n次同样操作后，所有数之和为：x+y+故选D．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．【变式31】（2023春·全国·七年级期末）观察下面算式，解答问题：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9(1)1+3+5+7+9+…+29的结果为______________；(2)若n表示正整数，请用含n的代数式表示1+3+5+7+9+…+2n-(3)请用上述规律计算：41+43+45+47+49+……+2021+2023的值（要求写出详细解答过程）．【答案】(1)225(2)n(3)1023744【分析】（1）通过上面的数据观察可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方，计算即可；（2）用（1）的猜想写出结果；（3）先把原式化为1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023-【详解】（1）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9依次可得，1+3+5+7+9+…+29=1+29故答案为：225（2）解：1+3=4=1+31+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+91+3+5=9=1+51+3+5+7+9=25=1+9⋯⋯1+3+5+7+9+…+2n-故答案为：n（3）41+43+45+47+49+……+2021+2023=1+3+5+⋯+37+39+41+43+⋯+2021+2023=1+2023===1032×992=1023744【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、整式加减、规律型数字的变化类，熟练掌握有理数的加减法运算法则，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数和的一半的平方的猜想是解题关键．【变式32】（2023春·江苏徐州·七年级校考期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，则

【答案】198【分析】根据4，3表示整数9，3，2表示的数是5，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对m，【详解】解：∵若用整数对m，n表示第m排，从左到右第n个数，如4，3表示整数9，∴3，2=…，∴对所有数对m，nn≤∴20故答案为：198．【点睛】本题考查数字类规律探索，解答此类题目的关键是根据题目中给出的数值，认真分析，找出规律．【变式33】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）有依次排列的两个整式：x，x-2，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：x，2，x-2，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：x，x-2，2，4-x，x-2，以此类推．通过实际操作，小南同学得到以下结论：①第二次操作后，当x<2时，所有整式的积为正数；②第三次操作后整式串共有9个整式；③第n次操作后整式串共有2nA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据第二次操作后，当x<2时，各个整式的正负，判断所有整式的积的正负：②根据第三次操作后整式的个数判定；③根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；④【详解】解：①原整式为：x，x-第1次操作后所得整式串为：x，2，x-第2次操作后所得整式串为：x，x-2，2，4-x，此次所有整式之积为，2x∵x<2∴当-2<x≤0时，x≤0，∴2xx-②第3次操作后所得整式串为：x，2，x-2，x-4，2，x-2，4-x，6-2③第1次操作后整式串共有3个整式，3=2+1，第2次操作后整式串共有5个整式5=2第3次操作后整式串共有9个整式，9=2第4次操作后整式串共有17个整式，17=2……，第n次操作后整式串共有整式个数为：2n+1，④第1次操作后所得整式串为：x，2，x-2，所有整式之和为：2第2次操作后所得整式串为：x，x-2，2，4-x，x-2第3次操作后所得整式串为：x，2，x-2，x-4，2，x-2，4-x，6-2第4次操作后所得整式串为：x，x-2，2，4-x，x-2，2，x-4，x-6，2，4-x，x-2，2x……，第n次操作后所得所有整式的和为：2x故操作第2023次操作后所有整式之和为：2x+2×2013-1故选：C．【点睛】此题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．【题型4整式加减与绝对值的综合】【例4】（2023春·湖南娄底·七年级统考期中）规定：fx=x-2，g①若fx+g②若x<-3，则f③若x>-3，则f④式子fx-1其中正确的所有结论是（）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】①根据新定义运算和非负数的性质求得x、y，再代值计算便可判断①的正误；②根据新定义运算和绝对值的性质进行计算便可；③根据新定义运算和绝对值的性质，分两种情况：-3<x<2④根据新定义运算和绝对值的性质，进行解答便可．【详解】①∵fx∴x-∴x-2=0，∴x=2，y∴2x故①正确；②∵x<-3∴fx故②正确；③∵x>-3，f∴当-3<x<2当x≥2时，f故③错误；④fx当-4≤x≤33时，式子f故④正确；故选：B．【点睛】本题考查了求代数式的值，非负数的性质，绝对值的定义，关键是应用新定义和绝对值的性质解题．【变式41】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式2021x+2021【答案】2022【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．【详解】由题意，得将2021x+2021因此，当-2022≤原式=-==2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减、整式的加减，解题的关键是确定x的取值范围．【变式42】（2023春·全国·七年级期末）已知x+2+x-43y+2+y-【答案】13【分析】采用分情况讨论去绝对值方法，分别找出x+2+x-4、3y+2+y-2、z【详解】解：x+2当x<-2时，当-2≤x当x>4时，故当，-2≤x≤4时，x3y当y<-2当-23≤y当y>2时，故当y=-23时，3z-当z<-1当-12≤z当z>1时，故当z=-12时，z则x+2当且仅当-2≤x≤4，y=-2故x-3yx-3y则2故答案为：13【点睛】本题考查了绝对值化简、求最值，掌握分情况讨论思想是解题关键．【变式43】（2023春·湖北武汉·七年级校考期中）数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c．(1)若ac<0,①请将a、b、c填入括号内．

②化简a-③若点X在数轴上表示的数为x，则x-a+(2)若a+b+c=【答案】(1)①见解析；②2b；③c(2)2【分析】（1）①根据ac<0,a=-a,a+b>0,b<c，得到a<0,c>0,（2）分a+【详解】（1）①∵ac<0,∴a<0,故a<0<

②∵a<0<b<∴a-∴a=b③∵a<0<根据两点之间线段最短，故当x=b时，且x==c故答案为：c-（2）当a+则a+∵a+∴a+∴c=0∵c≠0故不成立；当a+则a+∵a+∴-a∴a+∴c∴c<0∴c=-c【点睛】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值的化简，数的大小比较是解题的关键．【题型5整式加减与数轴动点综合】【例5】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB=15，且OA=2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP【答案】2.5或5.5【分析】设经过t秒，可得AP=5+4t-(-10+5t)=15-t，OP=5+4t，BP【详解】解：∵AB=15，∴AO=2∴A点对应数为-10，B点对应数为设经过t秒，则AP=5+4t-(-10+5当t≤153=45-3=(5-2m∴当5-2m=0，即m=2.5时，3当t>153=3=(11-2m∴当11-2m=0，即m=5.5时，上式为定值-故m为2.5或5.5．故答案为：2.5或5.5【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示点运动后表示的数．【变式51】（2023春·浙江温州·七年级统考期中）如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的数为，这样第次移动到的点到原点的距离为2020．【答案】71346【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解．【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点B向右移动12个单位长度至点E，则E表示的数为﹣5+12＝7；…；由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣12（3n+1当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：3n当移动次数为奇数时，﹣12（3n+1）＝﹣2020，n＝4039当移动次数为偶数时，3n+22＝2020，n故答案为：7，1346．【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键．【变式52】（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，在数轴上原点O的右边有A、B、E三点，点E在数轴上表示的数是18，以AB为边在数轴上方作正方形ABCD，已知AB=6且OA=12AB.动点P从点O出发，沿O→A→D→C→B→E以每秒(1)点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为；(2)在点P的运动过程中，当A、C、P为顶点能构成三角形时，设以点A、C、P为顶点的三角形的面积为S，请求出S与t的关系式及相应t的取值范围．【答案】(1)3；9(2)当0≤t＜1时，S=-9t+9；当1＜t≤3时，S【分析】（1）直接求出OA=3，OB（2）分点P在不同的线段上进行讨论，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）∵AB=6且OA∴OA=3，OB∴A点表示的数是3；点B在数轴上表示的数为9；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=如图①，当点P在OA上时，0≤tS=如图②，当点P在AD上时，1＜S=如图③，当点P在CD上时，3＜S=如图④，当点P在CB上时，5＜S=如图⑤，当点P在BE上时，7＜S=综上可得：当0≤t＜1当1＜t≤3当3＜t＜当5＜t≤10【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是读懂题