重庆市清华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

重庆市清华中学校20232024学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9 B．9π C．36 D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A． B．2 C． D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A． B． C． D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C．z的共轭复数为﹣2﹣3i D．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2 B．的最小值为2 C．与共线的单位向量只有一个为 D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1 B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4 C．存在点F，使得A1F∥B1E D．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知△ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的面积是．13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是．14．（5分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．已知a2+4b2＝c2，则tanB的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且与＝（2，1）共线．（1）求m的值；（2）若与垂直，求实数λ的值．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+a＝c．（1）求B的大小；（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝．（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当AP⊥BD时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．19．（17分）如图：在斜坐标xOy系中，x轴、y轴相交成60°角，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对〈x，y〉为向量的坐标，记作．在此斜坐标xOy系中，已知△ABC满足：、．（1）求的值．（2）若坐标原点O为△ABC的重心（注：在斜坐标系下，若G为△ABC的重心，依然有成立）．①求△ABC的面积．②求满足方程的实数m的值．参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1【解答】解：∵，∴z＝＝2﹣i，∴，∴的虚部是1．故选：D．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥α B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【解答】解：对于A，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故A错误；对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，即B错误；对于C，若m∥n，m⊥α，由直线与平面垂直的性质可得n⊥α，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n的关系为平行、相交或异面，故D错误；故选：C．3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9 B．9π C．36 D．36π【解答】解：∵在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝36+9﹣18＝27，即a＝3，由正弦定理得：＝2R，即R＝＝＝3，∴三角形外接圆面积S＝πR2＝9π．故选：B．4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，且向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为||cos＜，＞＝＝．故选：C．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A． B．2 C． D．【解答】解：设球的半径为R，因为球是圆柱的内切球，则圆柱的底面半径为R，高为2R．所以圆柱的表面积S1＝2πR2+2πR•2R＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，所以．即圆柱的表面积与球的表面积之比为．故选：C．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，设B（2，0），则D（0，1），E（2，），F（1，1），∴G（，）；∴＝（，），＝（2，0），＝（0，1），设＝x+y，则（，）＝（2x，y），即，解得x＝，y＝；∴＝+．故选：C．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A． B． C． D．【解答】解：设AB＝h，则，在△BCD中，∴，即，解得，故选：B．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：取C1D1的中点Q，连接PQ，B1D1，则，又BD∥B1D1，则PQ∥BD，又根据正四棱台的性质得DQ＝BP，则BDQP为等腰梯形，即过B，D，P三点截面为等腰梯形BDQP．取BC的中点M，连接MP，在等腰梯形B1C1CB中，，则，，在等腰梯形BDQP中，，，则梯形的高为，所以等腰梯形BDQP的面积．故选：A．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13 B．z在复平面内对应的点位于第四象限 C．z的共轭复数为﹣2﹣3i D．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6【解答】解：∵z＝2﹣3i，∴，z在复平面内对应的点（2，﹣3）位于第四象限，，故AC错误，B正确，z（m+4i）＝（2﹣3i）（m+4i）＝2m+12+（8﹣3m）i为纯虚数，则，解得m＝﹣6，故D正确．故选：BD．（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2 B．的最小值为2 C．与共线的单位向量只有一个为 D．若，则或【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量，，若与的夹角为钝角，则有，解可得k＜2且k≠﹣2，A正确；对于B，向量，||＝≥4，必有||≥2，即的最小值为2，B正确；对于C，，||＝，与共线的单位向量有（，﹣）或（﹣，），C错误；对于D，若，即k2+4＝4（1+1），解可得k＝±2，D错误；故选：CD．（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1 B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4 C．存在点F，使得A1F∥B1E D．线段A1F的长度的取值范围为[，]【解答】解：∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，A1F⊂平面ADD1A1，∴A1F∥平面BCC1B1，故A正确；，故B错误；连接A1F，作EG∥CD交AD于G，连接FG，∵A1B1⊥平面ADD1A1，∴∠A1FB1为B1F与平面ADD1A1所成的角，∵EG⊥平面ADD1A1，∴∠EFG为EF与平面ADD1A1所成角．∵直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，∴∠A1FB1＝∠EFG，则tan＝，又∵A1B1＝EG，∴A1F＝FG，则点F在A1G的中垂线上，即点F在线段HI上运动，当点F与点K重合时，A1F∥B1E，故C正确；∵BC＝2BB1＝6，E为棱BC上靠近C的三等分点，∴AA1＝3，AG＝4，则A1G＝5，∵cos，∴HG＝，当点F在点I或点H处时，线段A1F的长度取得最大值，最大值为，当点F在点K处时，线段A1F的线段取得最小值，最小值为，∴线段A1F的长度的取值范围为[，]，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知△ABC利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则△ABC的面积是4．【解答】解：根据题意，△ABC的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则其直观图的面积S′＝×2×2＝2，则△ABC的面积S＝2S′＝4，故答案为：4．13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是．【解答】解：取A1B1的中点G，连接AG，FG，EG，如图所示，∵A1G∥D1E，且A1G＝D1E，∴四边形A1GED1为平行四边形，∴AG∥DE，∴异面直线DE与AF所成角为∠FAG或其补角，设正方形的边长为2，则AF＝＝，AG＝＝，FG＝＝，在△AGF中，由余弦定理可得cos∠FAG＝＝，故答案为：．14．（5分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．已知a2+4b2＝c2，则tanB的最大值为．【解答】解：已知a2+4b2＝c2，可得C是钝角；那么＝＝＝﹣＝﹣，即tanC＝tanAtanB＝﹣tan（A+C）＝﹣＝﹣＝＝∵tanA＞0，∴＝．当且仅当tanA＝时等号成立，那么tanB．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量＝（﹣3，2），＝（1，m），且与＝（2，1）共线．（1）求m的值；（2）若与垂直，求实数λ的值．【解答】解：（1）．因为与共线，所以4×1﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝4．（2）由（1）知，，所以，，．由与垂直，得，所以26﹣5（1+2λ）+17λ＝0，解得λ＝﹣3．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+a＝c．（1）求B的大小；（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵bcosA+a＝c，∴由正弦定理可得sinBcosA+sinA＝sinC，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA＝sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵B＝，c＝，∴由余弦定理可得cosB＝＝，整理可得a2﹣b2+3＝3a，又a+b＝2，解得a＝b＝1，∴S△ABC＝acsinB＝＝．17．（15分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA1＝．（Ⅰ）证明：DE⊥平面A1AE；（Ⅱ）求点A到平面A1ED的距离．【解答】证明：（Ⅰ）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，，在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，∴AE⊥DE．∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥DE，∴DE⊥平面A1AE．（Ⅱ）由DE⊥平面A1AE，∴平面AA1E⊥平面A1ED，过A作AM⊥A1E，交A1E于M，由平面与平面垂直的性质定理可知，AM⊥平面A1ED，AM就是A到平面A1ED的距离，在△AA1E中，，AE⊥AA1，∴AM＝1．点A到平面A1ED的距离为：1．18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝60°，PA＝AD＝PD＝2，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当AP⊥BD时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点M，连结AM，ME，∵F，M分别是PC，PD的中点，∴FM∥CD，FM＝CD，∵四边形ABCD是平行四边形，F是AB的中点，∴AF∥CD，AF＝AB＝CD，∴AF∥ME，AF＝ME，∴四边形AFEM是平行四边形，∴EF∥