协方差相关系数

一、协方差二、相关系数§4.3协方差及相关系数上页下页铃结束返回首页一、协方差定义1：称数值E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为X,Y的协方差，记为Cov(X,Y)(Covariance)或σxy，即：σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

说明：

1)由定义1，若(X,Y)是离散型的，则

若(X,Y)是连续型的，则2)由方差的定义知D(X)=σxx，D(Y)=σyy

3)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=σxx+σyy+2σxy

(4)

4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)(5)且由方差的性质3知：当X,Y相互独立时，σxy＝0，但反之不一定。反例：设(X,Y)的联合密度是f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它求：σXX，σXY，σYYσxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

反例：

设(X,Y)的联合密度是解：

E(X)=E(Y)=0σXX=σYY=1/4

，σXY＝0

故X与Y不相互独立可见σXY＝0是随机变量X与Y独立的必要条件而非充分条件.f(x,y)=，x2+y2≤10

，其它σxy＝Cov(X,Y)＝E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(1)

注:对二维正态向量而言，σXY＝0是X,Y相互独立的充要条件。§3.4例2曾证明X,Y独立的充要条件是ρ＝0，以下例题将证明ρ＝0与σXY＝0等价。

例1设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。解：

E(X)=μ1，E(Y)=μ2，σXX=σ12，σYY=σ22

例1设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，求σXY。二、协方差的性质1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常数

3.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)4.,等号成立当且仅当存在常数a和b，使成立．三、相关系数定义2

为随机变量X,Y的相关系数(分母不为零)，有时简记ρ

显然，对二维正态分布N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)而言，其相关系数为ρ.ρxy的含义：以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度，e越小表示a+bX与Y的近似程度越好，因此，我们取a,b使e取到最小定义2

解得由(8)易得定理

1)|ρxy|≤12)|ρxy|=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1

相关系数ρxy的含义：

ρxy是一个可以用来衡量X,Y之间线性关系紧密程度的量，当|ρxy

|较大时，X,Y就线性关系而言联系较紧密，我们称X,Y线性相关的程度较好，当|ρxy|=1时，X,Y

之间以概率1存在着线性关系，当ρxy

＝0时，称X和Y不相关。说明：

1)当X,Y相互独立时，ρ＝0，但反之却不一定，只有在二维正态向量中X,Y相互独立<=>X,Y不相关(ρ＝0)2)ρ是表征X,Y的线性关系的，ρ很小并不说明X,Y之间没有关系，如若X～N(0,1)，Y=X2，则ρxy＝0，但Y是X的二次曲线

例1中设(X,Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)，则有

这说明二维正态随机变量(X,Y)的概率密度的参数就是X和Y的相关系数，因而二维正态随机变量的分布完全由X和Y的数学期望、方差以及它们的相关系数所确定．

对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的．例2

将一枚均匀的硬币掷n次，以X和Y分别表示正面朝上和反面朝上的次数，试求X和Y的协方差和相关系数．解

由题意可知，

X和Y的相关系数

相关系数等于－1，这是因为总是成立．

例3对于(X,Y)，已知D(X)=D(Y)=1，ρxy＝1/2

，求D(X－2Y)解：

四、矩

定义3设X是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩

若E[X-E(X)]k,k=1,2,…存在，称它为X的k阶中心矩

若E(XkYl),k,l=1,2,…存在，称它为X和Y的k+l阶混合矩。

若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩

由以上定义知E(X)是X的一阶原点矩，D(X)是X的二阶中心矩，Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。

定义3设X是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,…存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩*性质：

1）n维随机变量（X1，X2，…，Xn）服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，Xn的任意的线性组合l1X1+l2X2+…+lnXn都服从一维正态分布。2）若（X1，X2，…，Xn）服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Yk,(k=1,2,…,n)是X