2024八年级数学上册阶段专训第9招旋转问题中作辅助线的技巧习题课件鲁教版五四制

鲁教版八年级上第9招旋转问题中作辅助线的技巧

构造直角三角形1.

如图，在平面直角坐标系中，点

B

的坐标为(8，4)，连接

OB

，将

OB

绕点

O

逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的

坐标为

⁠.(－4，8)

1234567【点拨】如图，过点

B

作

BA

⊥

x

轴于点

A

，过点

B

'作

B

'

C

⊥

y

轴于点

C

.

∵将

OB

绕点

O

逆时针旋转90°，得到OB'，∴∠BOB'＝90°，

BO

＝B'O，∴∠

BOC

＋∠COB'＝90°.∵∠

AOB

＋∠

BOC

＝90°，∴∠

AOB

＝∠COB'.又∵∠

OAB

＝∠OCB'＝90°，∴△

OAB

≌△OCB'(AAS)，∴

OC

＝

OA

＝8，B'C＝

AB

＝4，∴B'(－4，8).1234567

构造旋转图形2.

[2023·滨州]已知点

P

是等边三角形

ABC

的边

BC

上的一

点，若∠

APC

＝104°，则在以线段

AP

，

BP

，

CP

为边

的三角形中，最小内角的大小为(

B

)A.14°B.16°C.24°D.26°1234567∴

AP

＝

AQ

，∠

PAQ

＝60°，

BP

＝

CQ

，∠

AQC

＝∠

APB

，∴△

APQ

是等边三角形，∴

PQ

＝

AP

，∠

AQP

＝60°，【点拨】如图，将△

ABP

绕点

A

逆时针旋转60°，得到△

ACQ

，连接

PQ

，1234567∴以线段

AP

，

BP

，

CP

为边的三角形，即△

PCQ

，

最小的锐角为∠

PQC

.

∵∠

APC

＝104°，∴∠

APB

＝76°，∴∠

AQC

＝∠

APB

＝76°，∴∠

PQC

＝76°－60°＝16°.【答案】B12345673.

[2024·泰安期末]如图，在四边形

ABCD

中，

AD

＝4，

CD

＝3，∠

ABC

＝∠

ACB

＝∠

ADC

＝45°，求

BD

的长.【解】∵∠

ACB

＝∠

ABC

＝45°，∴∠

BAC

＝90°，

AC

＝

AB

.

如图，将△

ABD

绕点

A

顺时针旋转90°，得到△

ACE

，连接

DE

，则

AD

＝

AE

，∠

DAE

＝90°，

BD

＝

CE

，1234567∴∠

EDA

＝45°，

DE2＝

AD2＋

AE2＝2

AD2＝32.

∵∠

ADC

＝45°，∴∠

EDC

＝45°＋45°＝90°.

12345674.

如图，

P

是正方形

ABCD

的边

CD

上一点，∠

BAP

的平分

线交边

BC

于点

Q

.

求证：

AP

＝

DP

＋

BQ

.

【证明】如图，将△

ABQ

绕点

A

逆时针旋转90°后得到△

ADE

，∴∠

EAQ

＝90°，∠

E

＝∠

AQB

，

DE

＝

BQ

，∠

ADE

＝∠

B

＝90°.1234567又∵∠

ADC

＝90°，∴∠

ADC

＋∠

ADE

＝180°.∴

E

，

D

，

P

三点共线.∵∠

BAP

的平分线交边

BC

于点

Q

，

AD

∥

BC

，∴∠

BAQ

＝∠

PAQ

，∠

DAQ

＝∠

AQB

.

∴∠

PAE

＝90°－∠

PAQ

＝90°－∠

BAQ

＝∠

DAQ

＝

∠

AQB

＝∠

E

.

∴

AP

＝

PE

＝

DP

＋

DE

＝

DP

＋

BQ

.

1234567

1234567【解】如图，将△

CBF

绕点

C

顺时针旋转90°至△CAF'

处，使

CB

与

CA

重合，连接EF'，则

CF

＝CF'，∠ACF'

＝∠

BCF

，AF'＝

BF

＝2，∠CAF'＝∠

B

＝45°，

∴∠EAF'＝45°＋45°＝90°，

∵

CE

＝

CE

，∴△CEF'≌△

CEF

(SSS)，1234567∴∠

ECF

'＝∠

ECF

.

∵∠

ECF

＋∠

BCF

＋∠

ACE

＝90°，∴∠

ECF

＋∠ACF'＋∠

ACE

＝∠

ECF

＋∠ECF'＝

90°，∴∠

ECF

＝∠ECF'＝45°.12345676.

[新考法·类比法]旋转是一种重要的图形变换，当图形中有

一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.如图①，

在四边形

ABCD

中，

AD

＝

CD

，∠

ABC

＝120°，∠

ADC

＝60°，

AB

＝2，

BC

＝1.1234567【问题提出】(1)如图②，在图①的基础上连接

BD

，由于

AD

＝

CD

，

所以可将△

DCB

绕点

D

顺时针旋转60°，得到

△DAB'，则△BDB'的形状是

.

等边三角形1234567【类比应用】(2)如图③，等边三角形

ABC

的边长为2，△

BDC

是顶角为

120°的等腰三角形，以

D

为顶点作一个60°的角，角的

两边分别交

AB

于点

M

，交

AC

于点

N

，连接

MN

，求

△

AMN

的周长.1234567【解】如图，将△

BDM

绕点

D

顺时针旋转120°，得到△

CDP

，∴△

BDM

≌△

CDP

，∴

MD

＝

PD

，

CP

＝

BM

，

∠

MBD

＝∠

DCP

，∠

MDB

＝∠

PDC

.

∵△

BDC

是等腰

三角形，且∠

BDC

＝120°，∴

BD

＝

CD

，∠

DBC

＝∠

DCB

＝30°.1234567又∵△

ABC

为等边三角形，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝60°，

∴∠

MBD

＝∠

ABC

＋∠

DBC

＝90°，∴∠

PCD

＝∠

MBD

＝90°，同理可得∠

NCD

＝90°，∴∠

DCN

＋∠

DCP

＝180°，∴

N

，

C

，

P

三点共线.∵∠

MDN

＝60°，∴∠

MDB

＋∠

NDC

＝∠

PDC

＋∠

NDC

＝∠

BDC

－∠

MDN

＝60°，即∠

MDN

＝∠

PDN

＝60°.1234567又∵

DN

＝

DN

，

MD

＝

PD

，∴△

NMD

≌△

NPD

(SAS)，∴

MN

＝

PN

＝

NC

＋

CP

＝

NC

＋

BM

，∴△

AMN

的周长为

AM

＋

AN

＋

MN

＝

AM

＋

AN

＋

NC

＋

BM

＝

AB

＋

AC

＝2＋2＝4.1234567

构造全等三角形7.

如图①，已知在Rt△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，点

D

是

BC

的中点.作正方形

DEFG

，使点

A

，

C

分

别在

DG

和

DE

上，连接

AE

，

BG

.

(1)试猜想线段

BG

和

AE

的数量关系：

⁠.BG

＝

AE

1234567(2)将正方形

DEFG

绕点

D

按逆时针方向旋转α(0°＜

α≤360°).①(1)中的结论是否仍然成立？请利用图②证明你的

结论.②在旋转过程中，当

AE

取最大值时，请直接写出

AF

，

AE

，

EF

之间的数量关系.(写出等式即可)1234567【解】①成立.证明：如图，连接

AD

.

∴∠

ABC

＝∠

BAD

，∠

ADG

＋∠

GDB

＝90