知识讲解-一次函数和二次函数

一次函数和二次函数撰稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性；2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题；3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y＝kx+b，其中k叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k．函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k．当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数．(2)深刻理解截距b的含义．①定义：一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y＝kx+b，其中b叫做该直线在y轴上的截距．②b的取值范围：b∈R．③b的几何意义：直线y＝kx+b与y轴的交点的纵坐标．④点(0，b)是直线y＝kx+b与y轴的交点．当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．2．一次函数的图象和性质一次函数图象性质单调性奇偶性k＞0b＝0增函数奇函数b≠0增函数非奇非偶函数k＜0b＝0减函数奇函数b≠0减函数非奇非偶函数(1)图象的形状：一次函数的图象是一条直线，一次函数y＝kx+b，也称作直线y＝kx+b．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y＝kx的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y＝kx+b的图象是经过y轴上点(0，b)的一条直线．(4)画法技巧：①画正比例函数y＝kx的图象，通常取(0，0)、(1，k)两点连线．②画一次函数y＝kx+b的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)、两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x和y都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k．(2)当k＞0时，一次函数是增函数；当k＜0时，一次函数是减函数．(3)当b＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数．(4)直线y＝kx+b与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)．要点诠释：一次函数y＝kx+b(k≠0)的性质可从两方面来理解：①图象与坐标轴的交点，大家知道x轴、y轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y＝kx+b中分别令x＝0，y＝0，得y＝b，，从而得出直线y＝kx+b与x轴、y轴的交点分别是、B(0，b)，这是要熟记的，另外还要知道y＝kx+b与正比例函数y＝kx的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k＞0时，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．其含义是：当k＞0时，如果x越来越大，那么y的值也越来越大；当k＜0时，如果x越来越大，那么y的值越来越小．对于直线y＝kx+b(k≠0)而言：当k＞0，b＞0时，直线经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，直线经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y＝kx+b(k≠0)在某一区间[a，c]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a，c]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k＞0时，它的值域为[f(a)，f(c)]，当k＜0时，它的值域为[f(c)，f(a)]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数，如果有，，则对任意都有．这个性质称为函数在区间上的保号性．同样，在区间，，上也具有保号性．性质2：若一次函数在区间上有，则在内必存在一点x0使．要点二：二次函数的性质与图象1．函数的图象和性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y＝ax2(a＞0)向上(0,0)y轴在区间上是减函数，在区间上是增函数当x＝0时，y＝ax2(a＜0)向下(0,0)y轴在区间上是增函数，在区间上是减函数当x＝0时，要点诠释：函数中的系数a对函数图象的影响：(1)当a＞0时，开口向上，a越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a＜0时，开口向下，a的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数的图象和性质(1)二次函数的图象和性质如下表：函数二次函数图象a＞0a＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向上，并向下无限延伸对称轴是直线，顶点坐标是对称轴是直线，顶点坐标是在区间上是减函数，在区间上是增函数在区间上是增函数，在区间上是减函数抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值，(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数都可通过配方化为：．其中，．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：．(2)顶点式：，顶点(h，k)．(3)交点式：，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标．求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式，a、b、c为常数，a≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式，其中顶点为(h，k)，a为常数，且a≠0．③若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为交点式，a为常数，且a≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴；(ii)求抛物线与坐标轴的交点．当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线都可转化为的形式，都可由的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于，通过配方可化为的形式，再对进行研究．一般地，对于二次函数，当a＞0时，y有最小值；当a＜0时，y有最大值．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线，一般描出五个点可画出图象．二次函数的图象如图所示．当a＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y有最小值，最小值是；当a＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y有最大值，最大值是．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x＝-4，由此推导出．反过来，如果已知，则可得该函数的对称轴为x＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．(2)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．(3)若某函数(不一定是二次函数)满足(且a，b为常数)，则该函数的对称轴为．实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x＝t，则x＝t-a，∴，∴，即．要点三、待定系数法1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组；③利用定义本身的属性列方程（组）；④利用几何条件列方程（组）。（3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即如果，那么。2．待定系数法求解题的基本步骤(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式.【典型例题】类型一：一次函数的图象和性质例1．已知为一次函数且满足，求函数在[-1，1]上的最大值，并比较和的大小．【思路点拨】设，根据题目条件求出和，然后去求和。【答案】11【解析】解法一：设，由已知可得，．整理得，．∴解得∴在[-1，1]上为减函数（在R上也是减函数）．∴函数在[-1，1]上的最大值为且．解法二：∵函数为一次函数，∴在[-1，1]上为单调函数，∴在[-1，1]上的最大值为与中之一．分别取x＝0和x＝2得解得，．∴函数在[-1，1]上的最大值为．又∵，∴在R上是减函数．∴．【总结升华】求一次函数的值域或一次函数的最大值、最小值，常利用一次函数的单调性来求解．求一次函数解析式时待定系数法是常用的方法．举一反三：【变式1】对于每一个，设取，，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值．【答案】【解析】这是教材中的一道练习题．取，，三个函数中的最小值．于是的解析式为：OxyOxy的最大值为＝．例2.设函数f(x)=(3a-1)x+b-a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a+b的最大值.【思路点拨】为使得函数在[0，1]上恒有f(x)≤1成立，只需使f(x)在区间[0，1]上的最大值不大于1即可，但解析式中一次项系数含字母，故需分情况讨论以确定自变量取何值时函数有最大值，最大值是多少.【答案】【解析】为使区间[0，1]上的任意值都有f(x)≤1恒成立，只需让函数f(x)在区间上的最大值小于等于1即可.(1)当3a-1>0，即时，函数f(x)在[0，1]上是增函数.ymax=f(1)=2a+b-1由ymax≤1，即2a+b-1≤1且(2)当3a-1=0，即时，，故在区间[0，1]上∴为使f(x)≤1恒成立只需，，当时，等号成立.(3)当3a-1<0，即时，f(x)=(3a-1)x+b-a在区间[0，1]上为减函数ymax=f(0)=b-a∴为使f(x)≤1恒成立，只要满足综上所述，当时a+b有最大值例3．（1）设函数，当x满足0≤x≤1时，要使y∈[0，1]，k应取怎样的值？（2）对任意的k∈[-1，1]，函数的值恒大于零，求x的取值范围．【答案】（1）（2）(-∞，1)∪(3，+∞)【解析】（1）此题等价于当0≤x≤1时，①②又由保号性得解不等式组有．∴k的取值范围应为．（2）当x＝2时，，∴x＝2不能满足，当x≠2时，有，k∈[-1，1]．的值（k∈[-1，1]）恒大于零，也就是恒大于零．由一次函数的保号性得即∴∴∴或．∴函数恒大于零时的x的取值范围为(-∞，1)∪(3，+∞)．【总结升华】变更主元巧妙地构造一次函数是解决此类问题的关键，但最终的解决是运用一次函数的保号性．因此，在解决数学问题的过程中除了观察能力、分析能力之外，更重要的是对基础知识（如一次函数的性质）的深刻理解和掌握．举一反三：【变式1】对于的一切，求使不等式都成立的的范围。【答案】【解析】由，得令，则此式是关于的一次函数形式时，恒成立即使不等式都成立的的范围为。【总结升华】已知一字母的取值范围，求式中另一字母的范围，则可构造关于的函数，利用保号性解决，但要注意，式子中知道哪个字母的范围，就将该字母看作主元。类型二：二次函数的图象及性质例4．已知二次函数与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x＝-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．【答案】或【解析】解法一：∵二次函数的对称轴是x＝-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数的解析式为，或，又∵抛物线经过点A(-3，0)，∴或，分别解出或，∴所求函数的解析式是或．解法二：∵点A(-3，0)在抛物线上，∴0＝9a-3b+c，①又∵对称轴是x＝-1，∴，②∵顶点M到x轴的距离为2，∴或．③解由①②③组成的方程组：或分别解得或∴所求函数的解析式是：或．解法三：∵抛物线的对称轴是x＝-1，又∵图象经过点A(-3，0)，∴点A(-3，0)关于对称轴x＝-1对称的对称点A′(1，0)，∴设函数解析式为y＝a(x+3)(x-1)，由题意得抛物线的顶点M的坐标为(-1，2)或(-1，-2)，分别代入，得2＝a(-1+3)(-1-1)或-2＝a(-1+3)(-1-1)，解关于a的方程，或，得所求函数解析式为：，或．【总结升华】二次函数的解析式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式．解题时要根据题目的条件灵活选择，比较以上三种解法，可以看出解法一和解法三比解法二简便．例5．(1)已知二次函数满足，，且，试求此二次函数的解析式；(2)已知二次函数对任意实数t满足关系f(2+t)＝f(2-t)且有最小值-9．又知函数的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数的解析式．【思路点拨】（1）由，知，的两根为，用交点式设出可解。（2）由题意知图象的对称轴为，设图象与x轴的两个交点横坐标为，所以，得，可设交点式解得。【答案】（1）（2）【解析】(1)由，知的两根为2和-1，可设，即，∵，∴，解得a＝-4，∴．(2)∵函数图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且又知x＝2为其对称轴，由|AB|＝6，知x1＝2-3＝-1，x2＝2+3＝5，于是可设，由二次函数图象的性质知，当x＝2时，，故以f(2)＝a(2+1)(2-5)＝-9，解得a＝1，因此，．【总结升华】本题的(1)，(2)小题巧妙地找出了两个交点，然后设出交点式．此方法不易掌握，有难度．举一反三：【变式1】已知二次函数满足＝－1，＝－1，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解析】解法一：利用二次函数一般式 ，设， 由题意得 解之得 ∴所求二次函数为．解法二：利用二次函数顶点式，设，∵＝＝－1，∴抛物线对称轴方程为＝.∴，又根据题意函数有最大值为，∴∵＝－1，∴∴.解法三：利用两根式由已知，＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设＋1＝a(x－2)(x＋1)，即＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为＝.例6．作出下列函数图象并写出其值域．（1）；（2）．【答案】（1）[0，+∞)（2）[-5，3)【解析】（1）由得x≤0或x≥2；由得．由其函数图象如图所示，y∈[0，+∞)．（2）如图所示，得y∈[-5，3)．【总结升华】（1）．．．(2)小题是偶函数，只需画出0≤x＜3的图象，然后利用对称性即可画出y轴左边的图象．只要是二次函数问题，一般按下列步骤操作：①配方；②画图象；③截取定义域规定部分．特别是与二次函数的值域有关的问题，在定义域规定部分是否包括抛物线的顶点，这是最容易出错的地方，而通过画出函数的图象，能够直观地观察出二次函数的值域，避免了错误的发生．例7．求二次函数在[t，t+1]上的最值．【思路点拨】因为区间[t，t+1]在运动，所以讨论动区间的两个端点与定轴的大小关系，得到函数在区间[t，t+1]上的单调性，从而求出函数的最值。【答案】【解析】，对称轴x＝1，∵区间[t，t+1]不固定，要讨论：①当t+1≤1，即t≤0时，函数在[t，t+1]上为单调减函数，当x＝t+1时，有最小值，当x＝t时以有最大值；②当，即时，，；③当t≤1≤，即≤t≤1时，，；④当t＞1时，区间在对称轴的右侧，此时函数在[t，t+1]上是单调增函数，当x＝t时，，当x＝t+1时，．综上所述：当t≤0时，，；当时，，；当≤t≤1时，，；当t＞1时