概率与统计 拔高教师版

目录

概率与统计......................................................................2

模块一：统计..................................................................2

考点1：抽样方法...................................................2

考点2：样本数字特征...............................................4

模块二：线性回归分析.........................................................9

考点3:线性回归..................................................10

模块三：概率.................................................................12

考点4:古典概型..................................................12

考点5：几何概型..................................................13

课后作业：...................................................................14

概率与统计

模块一：统计

简单随机抽样〔而心法

-随机抽样系统抽样（等距抽样）

、分层抽样

频率分布直方图与茎叶图

-用样本估计总正一数字特征平均数

:方差与标准差

考点1:抽样方法

例1.（1）（2019春•龙潭区校级月考）完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、

335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从

某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽样方法依

次是（）

A.①简单随机抽样，②系统抽样B.①分层抽样，②简单随机抽样

C.①系统抽样，②分层抽样D.①②都用分层抽样

【解答】解：在①中，从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭

中选出100户，调查社会购买能力的某项指标，

应该采用分层抽样；

在②中，从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.

应该采用的同学虚报的机抽样.

故选：B.

（2）（2019春•浙河区校级月考）为了了解学生学习的情况，某校采用分层抽样的方法从高

一1200人、高二1000人、高三〃人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数

为36,那么高三被抽取的人数为（）

A.20B.24C.30D.32

【解答】解：根据题意抽取比例为：＜8=二，故总人数为：90x—=3000,

12001003

3

IWJ三被抽取的人数为：——x(3000-1200-1000)=24.

100

故选：B.

(3)(2019春•信州区校级月考)某班有40位同学，座位号记为01,02,40,用下面

的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的5位同学的座位号

4954445482173793237887352096

4384263491645724550688770474

4767217633502583921207675086

选取方法是从随机数表第一行的第11列和第12列数字开始，由左到右依次选取两个数字,

则选出来的第5个志愿者的座位号是()

A.09B.20C.37D.38

【解答】解：根据题意，从随机数表第一行的第11列和第12列数字17开始，由左到右依

次选取两个数字，

即为：17,37,23,35,20,...；

则选出来的第5个志愿者的座位号20.

故选：B.

(4)(2019春•香洲区校级月考)一个总体中有600个个体，随机编号为001,002,

600,利用系统抽样方法抽取容量为25的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为

006,则在编号为049与120之间抽得的编号为()

A.056,080,104B.054,078,102C.054,079,104D.056,081,106

【解答】解：样本间隔为600+25=24,

若在第一组随机抽得的编号为006,

则所有号码为6+24(〃-1)=24"-18

则当〃=2时，号码为30,

当“=3时，号码为54,

当〃=4时，号码为78,

当〃=5时，号码为102,

当〃=6时，号码为126,

故在编号为049与120之间抽得的编号为054,078,102,

故选：B.

（5）（2018秋•岳麓区校级月考）将参加夏令营的400名学生编号为：001,002,400,

采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003,这400名学生

分住在三个营区，从001至I]180在第一营区，从181至1J295在第二营区，从296到400在第

三营区，三个营区被抽中的人数分别为（）

A.18,12,10B.20,12,8C.17,13,10D.18,11,11

【解答】解：根据系统抽样特点，抽样间隔为幽=10,被抽到号码/=10左+3,keN.

40

由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，

由第二营区的编号为181到295,可知18掇10左+3295,keN,可得18领上29,

因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18,12,

10.

故选：A.

考点2：样本数字特征

例2.（1）（2019春•博望区校级月考）踢建子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝,

至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毯子比骞，把20人

平均分成甲、乙两组，并把每人在1分钟内踢建子的数目用茎叶图记录如下（其中中间的数

字表示十位数，两侧的数字表示个位数）.则下列判断正确的是（）

甲组乙组

8722

01318

31545774

20530

265

A.甲组中位数大，乙组方差大B.甲组方差大，乙组极差大

C.甲组平均数大，乙组方差大D.甲组极差大，乙组中位数大

【解答】解：依题意，甲的中位数为空士生=44,乙的中位数为竺±土=46

22

——1

甲的平均数为峰=而(27+28+31+30+45+41+43+50+52+62)=40.9,

一I

乙的平均数为：殳=—(22+30+38+44+45+47+47+50+53+65)=44.2,

甲的极差为：62-27=35,

乙的极差为：65-22=43.

从茎叶图看，乙更集中，甲更分散，故甲的方差更大，

故选：B.

(2)(2019春•南陵县校级月考)从某地区年龄在25~55岁的人员中，随机抽出100人，

了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确

的是()

00o

0.05

o.oifJHJILLL^

30354C45so554^rr

A.抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为20

B.抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为30

C.抽出的100人中，年龄在40~50岁的人数大约为40

D.抽出的100人中，年龄在35~50岁的人数大约为50

【解答】解：年龄在40~45岁的频率为：

1-<0.01+0.05+0.06+0.02+0.02)*5=0.2,

二.抽出的100人中，年龄在40~45岁的人数大约为：100x0.2=20人，

年龄在35~45岁频率为：

1-(0.01+0.05+0.02+0.02)x5=0.5,

，抽出的100人中，年龄在35~45岁的人数大约为100*0.5=50人，

故A正确，B,C,。均错误.

故选：A.

(3)(2019春•天元区校级月考)在一次200千米的汽车拉力赛中，50名参赛选手的成绩全

部介于13分钟到18分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组［13,14),第二组［14,15),

…，第五组［17,18］,其频率分布直方图如图所示，若成绩在口3,15)之间的选手可获奖，

则这50名选手中获奖的人数为()

【解答】解：由频率分布直方图得成绩在［13,15）之间的频率为：

1-（0.38+0.32+0.08）=0.22,

.•.这50名选手中获奖的人数为：50x0.22=11.

故选：D.

（4）（2019春•洪北区校级月考）从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：

侬）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从体重在［60,70）,［70,80）,［80,90］三

组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正、副

队长，则这两人体重不在同一组内的概率为（）

【解答】在［60,70）,［70,80）,［80,90］三组内的男生中抽取的人数之比为

0.3:0.2:0.1=3:2:1,

故这三组内的男生中抽取的人数分别为12x—--=6,12x---=4,12x—1—=2

3+2+13+2+13+2+1

所有的选法有a=66种，

这两人身高不在同一组内的选法有6x4+6x2+4x2=44种，

故这两人身高不在同一组内的概率为2=2

663

故选：D.

（5）（2019春•和平区校级月考）在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩

制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（）

【解答】解：由频率分布直方图得：

在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为:

1-（0.012+0.018+0.030）x10=0.4,

・•・在该次测验中成绩不低于100分的学生数为：

500x0.4=200.

故选：C.

（6）（2019春•叶集区校级月考）已知数据玉，％oi9的平均数是100,则2占+1,2X2+1,

...2尤2019+I的平均数是（）

A.100B.2019C.200D.201

【解答】解：数据为，9…Woi9的平均数是1。。，

贝1]2玉+1,2x,2+1，…2W019+I的平均数是2x100+1=201.

故选：D.

（7）（2019春•袁州区校级月考）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的

平均数分别为焉，与，方差分别为端，砖则（）

23456曲）

A.无甲〉生，焉<cr：B.海>尤乙，端〉七

C.x甲<尤乙，b<b乙D■尤甲<尤乙，b甲>b7、

【解答】解：甲乙两组数据的平均数分别为焉，与，方差分别为端，(T£,

由甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，知：

甲组数据靠上，乙组数据靠下，

甲组数据相对集中，乙组数据相对分散分散布，

由甲乙两组数据的平均数分别为蒲，看，方差分别为

端，cr|,

1f寸x用>无乙，b甲<b乙.

(8)(2019春•江城区校级月考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，

制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为

[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200

名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是—.

【解答】解：由频率分布直方图得：

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:

1-(0.02+0.10)x2.5=0.7,

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：

200x0.7=140.

故答案为：140.

模块二：线性回归分析

1.两个变量之间的关系：函数关系与相关关系.

相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定

随机性的.当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关

系叫做相关关系.

2.如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；

反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关.

3.散点图：将样本中的〃个数据点(%'=2,…，力描在平面直角坐标系中.

散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个

变量的关系.

散点图可以判断两个变量之间有没有相关关系.

4.回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分

析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性.

回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性

相关关系，这条直线叫做回归直线.

5.最小二乘法：

记回归直线方程为：y=a+bx,称为变量y对变量X的回归直线方程，其中6叫做回归系

数.

亍是为了区分y的实际值y,当X取值无，时，变量y的相应观察值为％,而直线上对应于尤，

的纵坐标是%=。+bxt.

设x,y的一组观察值为(%,%),i=l，2,…，n,且回归直线方程为9=a+bx,

当x取值七时，丫的相应观察值为％,差%-白刻画了实际观察值外与回归直线上相应点的

纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差.

我们希望这〃个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点.

记,回归直线就是所有直线中。取最小值的那条.这种使“离差平方和

Z=1

为最小”的方法，叫做最小二乘法.

2（%一尤）（％-y）X%%-nxy

可以得到的计算公式为B--------z——=十-------a=y-bx,其中

£（%-尤了0；_心）2

z=l1=1

_1»_1«

x=-X%,一由此得到的直线9=4+意就称为回归直线，其中方，B分别为

n,=in,=i

。的估计值.

由&=歹-加知，回归直线一定过平均值点，即一定过（土，丁）.

考点3：线性回归

例3.（1）（2009海南3）对变量x,y有观测数据（%,%）（，=1,2,•••,10）,得散点图1；

对变量M,v有观测数据他，匕）（力=1,2,…，10）,得散点图2.由这两个散点图可以判断

yV

30

60

2550

2040

1530

1O20

510

01234567X0123456711

图1图2

A.变量x与y正相关,〃与v正相关B.变量x与y正相关，M与v负相关

C.变量x与y负相关,a与v正相关D.变量x与y负相关，〃与v负相关

【解答】C

（2）（2019春•渝水区校级月考）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:

广告费用X（万元）1245

销售额y（万元）6142832

根据上表中的数据可以求得线性回归方程£=〃+&中的g为6,据此模型，当销售额为80

万元时预报广告费用为（）

A.13万元B.14万元C.15万元D.16万元

【解答】解：钎虫产=3,尹心!%=2。'

则样本中心点为（3,20）,

又成=6,<2=y-fox=20-6x3=2,

则线性回归方程为$=6x+2,取y=80,可得x=13(万元).

故选：A.

(3)(2019春•红塔区校级月考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时

间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据(如表),

零件数X个1020304050

加工时间y(miri)62附酬758189

由最小二乘法求得回归直线方程j=0.68.x+54.4.

由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为()

A.67B.68.2C.68D.67.2

【解答】解：设表中模糊看不清的数据为沉，

由表中数据得：于=g*(10+20+30+40+50)=30,

1777+2

y=-x(62+m+75+81+89)=61+^—,

由于由最小二乘法求得回归方程(=0.68%+54.4,

将元=30,y=61+3代入回归直线方程，解得机=67.

5

故选：A.

(4)(2019春•龙潭区校级月考)已知x与y之间的几组数据如表：则y与x的线性回归方

程9=取+&必过点()

X0123

y0257

37

A.(1,2)B.(2,6)C.(|,；)D.(3,7)

1317

【解答】解：元=7(°+1+2+3)=5，9=[(0+2+5+7)=/,

即y与x的线性回归方程y=bx+a必过点(|,1),

故选：C.

(5)(2019春•葫芦岛月考)两个线件相关变量x,y,满足如下关系

24568

y2.24.34.86.57.2

则y与x的线性问归直线-定过其样本点的中心，其坐标为()

A.(5,5)B.(4,5)C.(4,4)D.(5,4)

【解答】解：线性回归直线的样本点的中心为(无，歹)，

_2+4+5+6+8「_2.2+4.3+4.8+6.5+7.2「

'：x=--------------------=5,y=--------------------------------=5,

55

，线性回归直线的样本点的中心为(5,5).

故选：A.

模块三：概率

随机事优

［基本事件

［事件)一:互斥事件与对立事件

、事件的交与事件的并

概率的统计定义

互斥事件的概率加法公式

概率on：

特征：有限性与等可能性

1古典概型,一概率的古典定义

I儿何概型］

考点4：古典概型

例4.(1)(2019春•博望区校级月考)某工厂生产的A,B,C三种不同型号的产品数量

之比为2:3:5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A,B,C

三种产品中抽出样本容量为〃的样本，若样本中A型产品有10件，则〃的值为()

A.15B.25C.50D.60

【解答】解：某工厂生产的A,B,C三种不同型号的产品数量之比为2:3:5,

用分层抽样的方法从该工厂生产的A,B,C三种产品中抽出样本容量为"的样本,

...样本中A型产品有10件,

(2)(2018秋•静宁县校级月考)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件4=｛抽到一等品｝,

事件B=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,且已知尸(A)=0.65,P(B)=0.21

P(C)=0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为()

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3

【解答】解：从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝,事件3=｛抽到二

等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.

则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为：

P(B]JC)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3.

故选：D.

(3)(2017秋•翠屏区校级月考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是工，甲获胜的概

6

率是g,则甲不输的概率为()

A.-B.-C.-D.-

5263

【解答】解：♦.■甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是工，甲获胜的概率是1，

63

，甲不输的概率为夕=工+工=

632

故选：B.

考点5：几何概型

例5.(1)据报告，俄罗斯人造卫星Kosmos-1220或已于2014年2月16日坠落地球，由于

坠落地点无法确定,可能会掉在任何地方,专家警告可能会非常危险.在地球上海洋占70.9%

的面积，陆地占29.1%的面积，你认为卫星落在陆地的概率约为,落在我国国土内

的概率为.(地球的面积约为5.1亿平方千米)(结果保留两位有效数字)

【解答】29.1%,0.019.

(2)已知x是卜5,5]上的一个随机数，则使x满足/一工一2力0的概率为.

【解答】-

10

（3）一个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点尸，点P恰好落在正三角形

外的概率是

【解答】I一空

4兀

课后作业：

1.（2017春•滩溪县期末）现有以下两项调查:①某装订厂平均每小时大约装订图书362册，

要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的

商店共1500家，三者数量之比为1:5:9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中

15家进行调查.完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）

A.简单随机抽样法，分层抽样

B.分层抽样法，简单随机抽样法

C.分层抽样法，系统抽样法

D.系统抽样法，分层抽样法

【解答】解：在①中，某装订厂平均每小时大约装订图书362册，

要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况，

因为时间间隔相等，都是1小时，故应该利用系统抽样；

在②中，某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9.

为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查.

因为大型、中型与小型的商店层次分明，故应该采用分层抽样.

故选：D.

2.（2019•唐山三模）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中

抽出10件进行检验先将500件产品编号为000,001,002,499,在随机数表中任选一

个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表，

附表1的第6行至第8行），即第一个号码为439,则选出的第4个号码是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443C.379D.217

【解答】解：选出第6行第8列的数4开始向右读(为了便于说明，下面摘取了随机数表,

附表1的第6行至第8行)，

即第一个号码为439,则选出的前4个号码是：439,495,443,217,

.•.选出的第4个号码