2025届高考数学一轮复习收官模拟新课标Ⅰ卷

高考数学一轮复习收官模拟新课标Ⅰ卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．若集合，，则()A. B. C. D.1．答案：C解析：因为，，所以.2．[2023届·山西阳泉·模拟考试校考]若复数z满足，则()A.1 B. C. D.2．答案：D解析：由，所以，故选D.3．设向量，向量，向量，则()A.-2 B.1 C.-6 D.-73．答案：C解析：，，，又，.故选C.4．已知，则()A. B. C. D.4．答案：A解析：因为，解得，所以.故选A.5．[2023秋·高二·陕西安康·开学考试]已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为()A. B. C.π D.5．答案：B解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，由已知条件可得解得故圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选B.6．[2023春·高一·四川·期末校考]将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A. B. C. D.6．答案：C解析：记曲线C对应的函数为，则.因为函数的图象关于y轴对称，所以，得.因为，所以.故选C.7．已知函数若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为()A. B. C. D.7．答案：D解析：当时，在上单调递增且；当时，在上单调递增且，所以在R上单调递增.所以由，可得，由题可知的解集为R，当时，恒成立，符合题意；当时，则有解不等式组得.综上可得，当时，的解集为R.故选D.8．已知函数，的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，，则()A.-51 B. C. D.8．答案：D解析：因为为奇函数，所以为奇函数，所以，的图像关于点中心对称，.因为为偶函数，所以，的图像关于直线对称.由，得，则，所以，，所以的图像关于点中心对称.因为的图像关于直线对称，所以，，所以，所以是以4为周期的周期函数.因为，，所以，，，，所以.故选D.二、多项选择题9．[2025届·江苏南通·模拟考试联考]李明每天从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则()A.B.C.李明计划前到校，应选择坐公交车D.李明计划前到校，应选择骑自行车9．答案：BCD解析：由题意可得，，故，故A错误；，，所以，故B正确；，所以，故C正确；，，所以，故D正确.故选BCD.10．已知函数，则()A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线10．答案：AC解析：因为，所以，令，得.由，得或；由，得.所以在，上单调递增，在上单调递减，所以有两个极值点，故A正确.因为，，所以函数在R上有且只有一个零点，故B错误.因为函数的图象向上平移一个单位长度得函数的图象，函数的图象关于原点中心对称，所以点是曲线的对称中心，故C正确.假设直线是曲线的切线，切点为，则，解得.若，则切点坐标为，但点不在直线上，若，则切点坐标为，但点不在直线上，所以假设不成立，故D错误.11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列说法正确的是()A.抛物线的准线方程为B.若，则M到x轴的距离为3C.若，则D.的最小值为411．答案：ABD解析：由题意知抛物线的准线方程为，A正确；抛物线的焦点为，设，，则，由抛物线的定义知，所以，所以M到x轴的距离为，B正确；，，由，得，即，又，所以，即，解得，，所以，C不正确；记抛物线的准线为直线l，过点P作垂直直线l于点，交抛物线于点Q，过A作垂直直线于点，连接，如图.，当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确.三、填空题12．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围是___________.12．答案：解析：由题知，则，当且仅当，即时取等号.又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，所以.13．已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为___________.13．答案：解析：，依题意知有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解，即有两个不同的实数解.令，则，所以有两个不同的实数解，所以与的图象有两个交点.，因为，所以，又，故.故实数a的取值范围是.14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件“”，则的值为__________.14．答案：解析：由题意九宫格的中间位置填5；a，f，c，h位置填偶数2，4，6，8；b，d，g，e位置填奇数1，3，7，9.因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于15，所以先从2，4，6，8中任意选出一个数填入a位置，则有4个结果，②若a填2，则h填8，c填6，f填4，b填7，e填1，g填3，d填9；或h填8，c填4，f填6，b填9，e填3，g填1，d填7.②若a填4，则h填6，c填2，f填8，b填9，e填7，g填1，d填3；或h填6，c填8，f填2，b填3，e填1，g填7，d填9.③若a填6，则h填4，c填2，f填8，b填7，e填9，g填3，d填1；或h填4，c填8、f填2，b填1，e填3，g填9，d填7.④若a填8，则h填2，c填6，f填4，b填1，e填7，g填9，d填3；或h填2，c填4，f填6，b填3，e填9，g填7，d填1.所以总的结果数共8个，其中符合的情况有，，，，，，共6个，所以.四、解答题15．[2024春·高二·河南驻马店·月考校考]在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的外接圆半径为R，且，.（1）求的值；（2）若的面积为，求的周长.15．答案：（1）（2）解析：（1）由，结合正弦定理，得，化简得，故.又，所以，因此.（2）由（1）知，，则，由正弦定理得，令，则，，则，解得，因此的周长为.16．已知椭圆的长轴长为4，右焦点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于M，N两点，椭圆上存在点P，使得，求实数的值.16．答案：（1）（2）解析：（1）由题意可得解得所以椭圆的方程为.（2）设，，，由得，可得，，所以，，所以，所以点.因为点P在椭圆上，所以，整理可得，解得，所以实数的值为.17．如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点.（1）求证：存在点N，使得.（2）求二面角的正弦值.17．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又，平面，平面PBC，所以平面PBC.又，平面ADM，所以平面平面PBC.又平面AMD，所以平面PBC，所以平面MABN与PC必有交点，且该交点为N，使.（2）以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为四边形ABCD是菱形，，所以，又，，平面ABCD，所以，，，，.设平面AMP的法向量为.则有即取，则.设平面MPC的法向量为，则有即取，则.则，所以二面角的正弦值为.18．已知函数.（1）求函数的单调区间和最大值；（2）设函数有两个零点，，证明：.18．答案：（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间和最大值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）证明见解析解析：（1）函数的定义域是，.当时，恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间和最大值；当时，令，得；令，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）证明：，因为，为的两个零点，所以，不妨设.因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.证明等价于证明，又因为，，在上单调递增，因此证明原不等式等价于证明，即需证明，即要证明，即恒成立.令，则（等号不恒成立），所以在上单调递减，所以，又当时，取不到0，所以在时恒成立，因此不等式恒成立，即成立.19．[2025届·福建宁德·模拟考试校考]约数,又称因数.它的定义如下:若整数a除以整数除得的商正好是整数而没有余数,我们就称a为m的倍数,称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数,即为,,…,,.（1）当时,若正整数a的k个正约数构成等比数列,请写出一个a的值;（2）当时,若构成等比数列,求正整数a;（3）记,求证