人教版九年级上册数学期中考试试卷附答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．方程3x2＋1＝6x的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和6 B．3和－6 C．3和－1 D．3和12．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C．D．3．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共73．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1＋x）2＝73 B．1＋x＋x2＝73 C．（1＋x）x＝73 D．1＋x＋2x＝734．将抛物线y＝－x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为A．y＝－（x＋2）2＋3B．y＝－（x－2）2＋3C．y＝－（x＋2）2－3D．y＝－（x－2）2－35．方程的根的情况是（）A．有两个不相等实根B．有两个相等实根C．无实根D．以上三种情况都有可能6．如右图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝50°，则∠ACB＝（）A．50°B．40°C．30°D．25°7．如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点．已知A（－2，2）、C（－1，－2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A对应点的坐标为（）A．（2，－2） B．（－5，－3） C．（2，2） D．（3，－1）8．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12 B．18 C．24 D．369．二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则m的值（）A．0 B．2 C． D．0或10．若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是()A． B． C． D．二、填空题11．点A(－2，5)关于原点的对称点B的坐标是___________12．抛物线y＝x2－2x－2的顶点坐标是___________．13．方程的两根之和为___________，两根之积为___________.14．如图，有一块长30m、宽20m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的78%，则道路的宽为___________15．⊙O的半径为25cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝30cm，CD＝48cm，则AB和CD之间的距离为___________16．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，∠AEB＝90°，F为DE的中点，连接CF，则CF的最大值为___________三、解答题17．解方程：x2－4x－7＝0.18．画出函数y＝x2－3x－4的图象（草图），利用图象回答：(1)方程x2－3x－4＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数大于0？(3)x取什么值时，函数小于0？19．如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF(1)在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程(2)若AE＝12，AB＝13，求EF的长20．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1、x2，求x12+x22的最小值．21．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得：当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，离开水面1.5m处是涵洞宽ED．（1）求抛物线的解析式；（2）求ED的长.22．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？23．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．(1)如图1，若AB为边在△ABC外作△ABE，AB＝AE，∠DAC＝∠EAB＝60°，求∠BFC的度数；(2)如图2，∠ABC＝α，∠ACD＝β，BC＝6，BD＝8．①若α＝30°，β＝60°，AB的长为；②若改变α、β的大小，但α＋β＝90°，求△ABC的面积．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．（1）求证：AB＝AP；（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．25．如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP交直线BC于G，连GD．是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N．若∠MON＝45°，求m的值.参考答案1．B【解析】解：，故二次项系数是3，一次项系数是－6．故选B．2．A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．3．B【解析】解：设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1=73．故选B．点睛：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．4．A【解析】解：将抛物线y＝－x2向上平移3个单位得到：，再向左平移2个单位得到：．故选A．5．C【解析】在方程x²-4x+9=0中，△=(-4)²-4×1×9=-4<0,∴该方程没有实数根，故选C.6．B【解析】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠ACB=40°．故选B．点睛：此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理．7．D【解析】【详解】如图所示：点A对应点的坐标为（3，﹣1）．故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．8．B【解析】设AC=x，则BD=12−x，则四边形ABCD的面积=AC×BD=×x×(12−x)=−x²+6x=−(x−6)²+18，∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，故选B.9．D【解析】试题解析:当图象的顶点在x轴上时，∵二次函数的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的解析式为：∴m=±2.当图象的顶点在y轴上时，m=0，故选D.10．A【分析】代入两点的坐标可得，，所以，由抛物线的顶点在第一象限可得且，可得，再根据、，可得S的变化范围．【详解】将点(0，1)代入中可得将点(-1，0)代入中可得∴∵二次函数图象的顶点在第一象限∴对称轴且∴∵，∴∴故答案为：A．【点睛】本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．11．(2，－5)【解析】根据关于原点对称的点的坐标性质，得点A(-2，5)关于原点的对称点B的坐标是(2，-5).故答案为(2，-5)12．（1，-3）【解析】【详解】y＝x2－2x－2=y＝（x-1）2－3，故顶点坐标为：（1，-3）．故答案为（1，-3）．13．－2【解析】原方程可变形为：3x²−2x−6=0，∴方程的两根之和为：−,两根之积为：.故答案为：；−2.14．2m【解析】【详解】设道路为x米宽，由题意得：20×30−20x×2−30x+2x2=30×20×78%，整理得：x2−35x+66=0，解得：x=2，x=33，经检验是原方程的解，但是x=33>30，因此不合题意舍去．故答案是：2

m.【点睛】本题中,植蔬菜面积的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积.如果设道路宽x,可根据此关系列出方程求出x的值,然后将不合题意的舍去即可.15．13或27【解析】如图,①当AB与CD在直径的一侧时,在Rt△AOF中，∵OA=25cm，AF=15cm，∴OF=20cm.同理OE=7cm，∴平行线AB与CD的距离为20−7=13cm；②当AB与CD不在直径的同一侧时，则其距离为20+7=27cm.故答案为13cm或27cm.点睛：可先依据题意作出简答的图形,进而结合图形以及垂径定理可得OE、OF的长,进而即可得出结论.16．+1【解析】连接BD，取BD、AD的中点为H、G，连接FH、GF，∵F为DE的中点，∴FH是△BDE的中位线，FG是△ADE的中位线，∴FH∥BE,FG∥AE，∴∠HFD=∠BED，∠GFD=∠AED，∵∠AEB=90°，∴∠BED+∠AED=90°，∴∠HFD+∠GFD=90°，∴∠HFG=90°，∴点F在以GH为直径的半圆上运动，取GH的中点I，则CF最大时，是经过圆心I，∵GH是△ABD的中位线，∴GH=AB=×4=2，∴GI=1，过I作IM⊥CD于M，在Rt△CIM中，CM=4−1=3，IM=2，由勾股定理得：CI=，∴CF′=，故答案为.17．【详解】x²－4x－7＝0,∵a=1,b=-4,c=-7,∴△=(-4)²-4×1×(-7)=44>0,∴x=,∴.18．解：(1)x1＝4，x2＝－1；(2)x＜－1或x＞4；(3)－1＜x＜4【解析】分析：(1)方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标;

(2)函数大于0时,即在x轴上方所对应的x的值;

(3)函数小于0,即在x轴下方所对应的x的值.本题解析：(1)由图象得:抛物线与x轴的交点为（-1,0）、（4,0）∴方程x²-3x-4=0的解是;

(2)由图象得:当x<-1,或x>4时,函数大于0;

(3)当-1<x<4时,函数小于0.19．详见解析.【解析】分析：（1）连接AC和BD，根据中心对称的性质可判断它们的交点为旋转中心O，延长EO到F，使FO=EO，则△CDF满足条件；

（2）过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，如图，先利用勾股定理计算出BE=5，再利用正方形的性质得OA=OB，∠AOB=90°，则∠AOE=∠BOG，接着根据三角形内角和得到∠GBO=∠EAO，于是可判断△EAO≌△GBO，所以AE=BG=12，OE=OG，然后判断△GEO为等腰直角三角形，则可得到OE=EG=（BG-BE）=，从而得到EF=7.本题解析：(1)连接AC和BD，则它们的交点为旋转中心O，延长EO到F，使FO=EO，如图，点O和△CDF为所作；(2)过点O作OG⊥OE与EB的延长线交于点G，如图，在Rt△ABE中,BE=，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB,∠AOB=90°，而∠EOG=90°，∴∠AOE=∠BOG°，∵∠AEB=∠AOB=90°，∴∠GBO=∠EAO，∴在△EAO和△GBO中，，∴△EAO≌△GBO，∴AE=BG=12，OE=OG，∴△GEO为等腰直角三角形，∴OE=EG=(BG−BE)=×(12−5)=，∴EF=2OE=7.点睛：此题主要考查了旋转变换以及全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识,得出△GEO为等腰直角三角形是解题关键.20．（1）证明见解析；（2）的最小值为．【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，由此即可证出方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系可得x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，利用配方法可将x12＋x22变形为(x1＋x2)2－2x1•x2，代入数据即可得出x12＋x22＝2(m＋)2＋，进而即可得出x12＋x22的最小值．试题解析：（1）证明：∵△＝[﹣(2m＋1)]2﹣4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程的两根分别为x1、x2，∴x1＋x2＝2m＋1、x1•x2＝m(m＋1)，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1•x2＝(2m＋1)2﹣2m(m＋1)＝2m2＋2m＋1＝2，∴x12＋x22的最小值为．点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出x12＋x22＝2(m＋)2＋．21．（1）y=-x2（2）【解析】试题分析：（1）根据这个函数过原点，那么可设为y=kx2，有CO和AB的长，那么点A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），利用待定系数法即可解决；（2）根据题意令y=﹣（2.4﹣1.5），求出x的值即可得．试题解析：解：（1）设为y=kx2，由CO和AB的长，那么A的坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），将其代入函数中得：﹣2.4=0.8×0.8×k，解得k=﹣．那么函数的解析式就是：y=﹣x2；（2）根据题意，当y=﹣0.9时，﹣x2=﹣0.9，解得：x=±，∴ED=．点睛：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．22．（1）y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=-x2+34x+8000；（3）一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．【分析】（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．【详解】（1）由题意得：y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000；（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，此时一天订住的房间数是：50-=34间，最大利润是：34×（340-20）=10880元．答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．考点：二次函数的应用．23．(1)120°；(2)①；②.【分析】（1）根据SAS，可首先证明△AEC≌△ABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出∠BFC的度数；（2）①如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，EC=BD=8，因为BC=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求BE即可；②过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，求得EC=DB，利用勾股定理即可求解．【详解】解：(1)如图1，∵AE=AB，AD=AC，∵∠EAB=∠DAC=60∘，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ABD中，，∴△AEC≌△ABD(SAS)，∴∠AEC=∠ABD，∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120∘；(2)①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．由(1)可知△EAC≌△BAD∴EC=BD∴EC=BD=8，∵∠BAE=60∘,∠ABC=30∘，∴∠EBC=90∘在Rt△EBC中，EC=8，BC=6，∴EB=，∴AB=BE=故答案为：；②如图2,作AH⊥BC交BC于H,过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC.并取BE的中点K，连接AK.．∵AH⊥BC于H，∴∠AHC=90°∵BE∥AH，∴∠EBC=90°∵∠EBC=90°，BE=2AH，∴EC2=EB²+BC²=4AH²+BC²∵K为BE的中点，BE=2AH，∴BK=AH∵BK∥AH，∴四边形AKBH为平行四边形．又∵∠EBC=90°，∴四边形AKBH为矩形.∠ABE=∠ACD，∴∠AKB=90°∴AK是BE的垂直平分线．∴AB=AE∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，即∠EAC=∠BAD，在△EAC与△BAD中，，∴△EAC≌△BAD∴EC=BD=8在Rt△BCE中,BE=，∴AH=BE=，∴S△ABC=BC⋅AH=324．（1）详见解析；（2）PC＝．【分析】(1)利用等角对等边证明即可．(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】解：(1)证明：∵C为的中点，∴∠BAC＝∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P，∴AB＝AP．(2)解：如图，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°，∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10﹣2＝8，∴BD＝，∴PB＝，∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC＝P