江苏高考数学应用题题型归纳

GaoKao应用题题型归纳在备考中，需要重点关注以下几方面问题：1.掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数〔尤其二次分式函数、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；2.加强阅读理解能力的培养，对图形的识别、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；3.对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；4.应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题5.熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.“抓重点：等量关系是关键；破难点：变量思想是主线.”一、利润问题1、某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．〔1〕据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？〔2〕为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．2、某小商品2012年的价格为8元/件,年销量为件，现经销商方案在2013年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为，该商品的本钱价格为3元/件。〔1〕写出该商品价格下降后，经销商的年收益与实际价格的函数关系式。〔2〕设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%？解：〔1〕设该商品价格下降后为元/件，销量增加到件，年收益，〔2〕当时，有解之得又所以因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2013年的收益比2012年至少增长20%。3.近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释的实际意义,并建立关于的函数关系式;(2)当为多少平方米时,取得最小值?最小值是多少万元?4.某连锁分店销售某种商品,每件商品的本钱为元,并且每件商品需向总店交元的管理费,预计当每件商品的售价为元时,一年的销售量为万件．〔Ｉ〕求该连锁分店一年的利润〔万元〕与每件商品的售价的函数关系式；〔II〕当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润最大,并求出的最大值．5.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量〔万件〕之间大体满足关系：〔其中为小于6的正常数〕〔注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品〕每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出适宜的日产量.〔1〕试将生产这种仪器的元件每天的盈利额〔万元〕表示为日产量〔万件〕的函数；〔2〕当日产量为多少时，可获得最大利润？解：〔1〕当时，，当时，，综上，日盈利额〔万元〕与日产量〔万件〕的函数关系为：〔2〕由〔1〕知，当时，每天的盈利额为0当时，当且仅当时取等号所以当时，，此时当时，由知函数在上递增，，此时综上，假设，那么当日产量为3万件时，可获得最大利润假设，那么当日产量为万件时，可获得最大利润6.为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供应社会.方案用1

600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1

000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,假设每幢楼为5层,那么该小区每平方米的平均综合费用为1

270元.(每平方米平均综合费用=eq\f(购地费用+所有建筑费用,所有建筑面积)).(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?解：(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1

000×5平方米,所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1

000×10,所以,1270=eq\f(16000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10,10×1000×5),解之得:k=50\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为f(n),由题设可知f(n)=eq\f(16000000+［(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)］×1000×10,10×1000×n)=eq\f(1600,n)+25n+825≥2eq\r(1600×25)+825=1225(元)\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)当且仅当eq\f(1600,n)=25n,即n=8时等号成立\f(32000000+［(k+800)+(2k+800)+(3k+800))+(4k+800)+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)7．某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备以下三个条件:①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05(x2+4x+8)作为报销方案;(2)假设该单位决定采用函数模型y=x2lnx+a(a为常数)作为报销方案,请你确定整数的值.(参考数据:ln20.69,ln102.3)【解】(1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①,当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③，但当x=3时,y=eq\f(29,20)<eq\f(3,2),即yeq\f(x,2)不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案(2)对于函数模型y=x2lnx+a,设f(x)=x2lnx+a,那么f´(x)=1eq\f(2,x)=eq\f(x－2,x)0.所以f(x)在[2,10]上是增函数,满足条件①,由条件②,得x2lnx+aeq\f(x,2),即a2lnxeq\f(x,2)在x[2,10]上恒成立,令g(x)=2lnxeq\f(x,2),那么g´(x)=eq\f(2,x)－\f(1,2)=eq\f(4－x,2x),由g´(x)>0得x<4,g(x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数.ag(4)=2ln42=4ln22，由条件③,得f(10)=102ln10+a8,解得a2ln102另一方面,由x2lnx+ax,得a2lnx在x[2,10]上恒成立,a2ln2,综上所述,a的取值范围为[4ln22,2ln2],所以满足条件的整数a的值为1二、与几何图形有关的实际问题1.某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=200米，BC=100米．

(1)现在准备养一批供游客欣赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF

面积S△DEF的最大值；

(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊〔不考虑宽度〕供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．2.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为〔如图〕，考虑到防洪堤巩固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为〔米〕，外周长〔梯形的上底线段与两腰长的和〕为〔米〕.⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，那么其腰长应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省〔即断面的外周长最小〕？求此时外周长的值.3、如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.求的长度；在线段上取一点点与点不重合〕，从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？第17题图第17题图4、某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如下图．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．〔1〕设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(第2题图〕C(第2题图〕CABDl解：〔1〕在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．因为∠A和∠C互补，所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝eq\f(2,x)，即f(x)＝eq\f(2,x)．其中x∈(2，5)．〔2〕四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)(AB·AD+CB·CD)sinA＝eq\f(1,2)[x(5－x)+x(9－x)]eq\r(,1－cos2A)．＝x(7－x)eq\r(,1－(eq\f(2,x))2)＝eq\r(,(x2－4)(7－x)2)＝eq\r(,(x2－4)(x2－14x＋49))．记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－eq\f(1,2)舍)．所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值为EQ\r(,108)＝6eq\R(,3)．5.如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据:).今方案建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?6、如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,〔1〕按以下要求写出函数的关系式：POABQMN①设POABQMN②设，将表示成的函数关系式，〔2〕请你选用〔1〕中的一个函数关系式，求出的最大值.解：〔1〕①因为，，所以，所以.②因为，，，所以，所以，即，〔2〕选择，所以7、某企业有两个生产车间分别在、两个位置，车间有100名员工，车间有400名员工，现要在公路上找一点，修一条公路，并在处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，、、中任意两点间的距离均是1，设，所有员工从车间到食堂步行的总路程为.〔1〕写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；〔2〕问食堂建在距离多远时，可使总路程最少？解：〔1〕在中，∵，∴，.那么.，其中.〔2〕令，得.当时，，是的单调减函数；当时，，是的单调增函数.∴当时，取得最小值.此时，，8、如图，是一块边长，的剩余角料.现要从中裁剪出一块面积最大的平行四边形用料，要求顶点分别在边上.问点在边上的什么位置时，剪裁符合要求？并求这个最大值.解：设BQ＝x，那么CQ＝7－x，且0＜x＜7.由余弦定理，得A＝120°，cosB＝eq\f(11,14)，cosC＝eq\f(13,14)，∴sinB＝eq\f(5\r(3),14)，sinC＝eq\f(3\r(3),14).在△PQB中，由正弦定理，得PQ＝eq\f(xsinB,sin120°).在△RQC中，由正弦定理，得RQ＝eq\f((7－x)sinC,sin120°).∴S▱APQR＝PQ·RQ·sin120°＝eq\f(x(7－x)sinBsinC,sin120°)＝eq\f(15\r(3),98)x(7－x)，当x＝eq\f(7,2)时，取最大值eq\f(15\r(3),8).故当Q是BC中点时，平行四边形APQR面积最大，最大面积为eq\f(15\r(3),8)米.9、如下图，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已有两面墙的夹角为60°〔即〕，现有可供建造第三面围墙的材料6米〔两面墙的长均大于6米〕，为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在中，由正弦定理： 化简得：所以即所以当即时，=10.如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距海里的M,N两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交于点O．点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西方向，海里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为和．〔1〕求信号塔的高度；〔2〕乙船试图在线段上选取一点，使得在点处观测信号塔的视角最大，请判断这样的点是否存在，假设存在，求出最大视角及的长；假设不存在，说明理由．第10第10题图11.如图，某小区有一边长为2