《5.5 一元一次方程的应用》讲义

《5.5一元一次方程的应用》讲义同学们，咱们现在已经到了浙教版七年级上册的第五章啦，这5.5节要讲一元一次方程的应用呢。一元一次方程就像一把超级钥匙，可以帮咱们解开好多生活中的小谜团哦。我先给大家讲个我自己经历的事儿。有一次我去逛商场，看到一家服装店在搞促销。一件衣服标价是x元，然后它打八折出售，再加上我有一张10元的优惠券，最后我花了90元就买到了这件衣服。那这里面就藏着一元一次方程呢。咱们来分析一下啊。衣服标价是x元，打八折后的价格就是0.8x元，再减去10元的优惠券，就等于我实际花的90元。这个关系用方程写出来就是0.8x10＝90。这就是一元一次方程在生活中的一个小例子啦。那到底什么是一元一次方程的应用呢？简单来说，就是我们用一元一次方程来解决生活中的各种数量关系问题。一、一元一次方程应用的基本步骤1、设未知数就像我们刚才的例子，设衣服的标价为x元。这个未知数设得要有意义，要根据问题来设。比如说，如果是关于年龄的问题，我们可以设某个人的年龄为x岁。在设未知数的时候，我们要明确这个未知数代表的是什么量。再给大家举个例子，有一个班级，男生比女生多5人，我们设女生的人数为x人，那男生的人数就是x＋5人。这样设未知数就方便我们根据其他条件来列方程啦。2、找等量关系这可是很关键的一步哦。还是回到我们买衣服的例子，“打八折后的价格减去10元优惠券等于实际花费的90元”，这就是等量关系。我再给大家说个例子。我去超市买苹果和香蕉。苹果每千克a元，香蕉每千克b元。我买了3千克苹果和2千克香蕉，一共花了20元。那这里的等量关系就是“3千克苹果的钱加上2千克香蕉的钱等于20元”，用方程表示就是3a+2b＝20。不过这里有两个未知数，不是一元一次方程。那我再改一下这个例子。假如苹果每千克5元，我买了x千克苹果，又买了2千克香蕉，每千克香蕉3元，一共花了21元。那等量关系就是“苹果的总价加上香蕉的总价等于总花费”，方程就是5x+2×3＝21，这个就是一元一次方程啦。3、列方程根据找到的等量关系，把未知数代入，就可以列出方程了。像前面的0.8x10＝90和5x+2×3＝21都是这样列出来的。再比如，一个长方形的长比宽多3厘米，设宽为x厘米，长就是x＋3厘米。如果长方形的周长是20厘米，根据长方形周长公式“周长等于2倍的（长＋宽）”，那等量关系就是2(x+（x＋3)）＝20，这就是根据题意列出的一元一次方程。4、解方程那对于方程0.8x10＝90，我们来解一下。首先，方程两边同时加10，得到0.8x10+10＝90+10，也就是0.8x＝100。然后方程两边同时除以0.8，得到0.8x÷0.8＝100÷0.8，解得x＝125。这就是这个方程的解，也就是说衣服的标价是125元。再解一下方程5x+2×3＝21。先计算2×3＝6，方程就变成5x+6＝21。方程两边同时减6，得到5x+66＝216，也就是5x＝15。最后方程两边同时除以5，得到5x÷5＝15÷5，解得x＝3。这就是说我买了3千克苹果。5、检验并作答我们把解得的x的值代入原方程进行检验。对于方程0.8x10＝90，把x＝125代入方程左边，得到0.8×12510＝10010＝90，方程右边也是90，左边等于右边，所以x＝125是方程的解。那我们就可以回答：这件衣服的标价是125元。对于方程5x+2×3＝21，把x＝3代入方程左边，得到5×3+2×3＝15＋6＝21，方程右边也是21，所以x＝3是方程的解。我们就可以回答：我买了3千克苹果。二、常见的一元一次方程应用类型1、行程问题这是很常见的一种类型哦。行程问题里面有三个重要的量，路程、速度和时间，它们之间的关系是路程等于速度乘以时间，用字母表示就是s＝vt。我给大家讲个我和朋友跑步的事儿。我和朋友在操场跑步，我每秒跑5米，朋友每秒跑4米。操场一圈是400米。如果我们同时同地同向出发，设x秒后我比朋友多跑一圈。那这里的等量关系就是“我的路程减去朋友的路程等于一圈的长度”。我的路程是5x米，朋友的路程是4x米，方程就是5x4x＝400，解得x＝400。这就是说400秒后我比朋友多跑一圈。还有一种情况是相向而行。比如说我和朋友相距200米，我每秒走3米，朋友每秒走2米，设x秒后我们相遇。那等量关系就是“我的路程加上朋友的路程等于两人相距的距离”，方程就是3x+2x＝200，也就是5x＝200，解得x＝40。这就表示40秒后我们相遇了。2、工程问题在工程问题里，我们通常把工作总量看成单位“1”。工作效率乘以工作时间等于工作总量。我家装修房子的时候就有这样的情况。有一项工程，如果甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。现在两队合作，设需要x天完成。甲队的工作效率就是1/10，乙队的工作效率就是1/15，两队合作的工作效率就是1/10+1/15。那等量关系就是“（甲队工作效率＋乙队工作效率）乘以工作时间等于工作总量”，方程就是(1/10＋1/15)x＝1。先算括号里的，1/10+1/15＝3/30+2/30＝5/30＝1/6。方程就变成1/6x＝1。方程两边同时乘以6，得到x＝6。这就是说两队合作需要6天完成这项工程。3、销售问题就像我们前面讲的买衣服的例子一样。这里面有进价、售价、利润这些量。利润等于售价减去进价，利润率等于利润除以进价乘以100%。我再给大家说个例子。一个小商贩进了一批文具，进价是每个5元，他想获得20%的利润率，设售价为x元。那利润就是x5元，根据利润率的公式，（x5)／5×100%＝20%。先把百分数化成小数，20%就是0.2。方程就变成(x5)／5＝0.2。方程两边同时乘以5，得到x5＝1。方程两边同时加5，得到x＝6。这就是说小商贩要把文具的售价定为6元才能获得20%的利润率。4、调配问题比如说一个车间有工人若干名，把一部分工人调到另一个车间。有个工厂的甲车间有30名工人，乙车间有20名工人。现在要从甲车间调x名工人到乙车间，使得乙车间的人数是甲车间人数的2倍。那调动后甲车间的人数是30x人，乙车间的人数是20＋x人。等量关系就是“乙车间人数等于甲车间人数的2倍”，方程就是20＋x＝2(30x)。先展开括号，得到20＋x＝602x。方程两边同时加2x，得到20＋x+2x＝602x+2x，也就是20＋3x＝60。方程两边同时减20，得到3x＝40。解得x＝40/3。不过在实际情况中，人数应该是整数，所以这里我们可能要根据具体情况进行调整，比如取x＝13（因为40/3≈13.33，取最接近的整数）。5、数字问题比如说一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那这个两位数就可以表示为10a＋b。有一个两位数，它的个位数字比十位数字大3，如果把个位数字和十位数字对调，得到的新两位数比原两位数大27。设原两位数的十位数字为x，那个位数字就是x＋3。原两位数就是10x+（x＋3)＝11x＋3，新两位数就是10(x＋3)＋x＝10x+30+x＝11x+30。等量关系就是“新两位数减去原两位数等于27”，方程就是(11x＋30)（11x＋3)＝27。展开括号得到11x＋3011x3＝27。化简得到27＝27，这个方程恒成立。这说明只要满足个位数字比十位数字大3的两位数都符合这个条件，比如14和41，25和52等。三、一元一次方程应用的注意事项1、单位要统一在列方程的时候，如果涉及到不同的单位，一定要先把单位统一。就像我们在行程问题里，如果速度是米/秒，路程是千米，那就要把千米换算成米。比如说速度是5米/秒，路程是3千米，那3千米＝3000米，这样才能正确列方程。2、理解题意要准确要仔细读题，把题目中的条件和要求都弄清楚。有时候一个小细节没注意到，方程就列错了。就像我们前面的调配问题，如果把甲车间和乙车间的人数关系弄