《16.3 二次根式的运算》学习任务单

《16.3二次根式的运算》学习任务单班级：姓名：小组：层次代号：教师评价：【课程标准与考试要求】二次根式的运算是沪教版八年级数学第一学期的重要内容。在课程标准中，要求学生理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够熟练运用这些法则进行二次根式的运算。在考试中，会考查二次根式运算的准确性和灵活性，包括简单的二次根式化简、四则运算以及在实际问题中的应用等。【学习目标】1、知识与技能-能准确说出二次根式加、减、乘、除的运算法则。-熟练运用二次根式的运算法则进行计算，包括化简二次根式、进行四则运算等，准确率达到80%以上。-能够将二次根式的运算应用到简单的实际问题解决中，如计算几何图形的边长、面积等。2、过程与方法-通过具体的例子分析，总结出二次根式的运算法则，培养观察、分析和归纳能力。-在解决二次根式运算问题的过程中，学会选择合适的运算法则，提高运算的合理性和效率，就像在生活中选择合适的工具做事情一样。3、情感、态度与价值观-体会数学运算的严谨性，培养认真细致的学习态度。-感受到二次根式运算在解决实际问题中的作用，提高学习数学的兴趣。【学习重点】1、二次根式加、减、乘、除的运算法则。2、运用运算法则进行二次根式的四则运算。【学习难点】1、二次根式运算中的分母有理化。2、如何根据题目特点选择合适的运算法则进行简便运算。【知识链接】1、什么是二次根式-我们之前学过，形如\(\sqrt{a}\)（a\(\geq\)0）的式子叫做二次根式。例如，\(\sqrt{4}\)，\(\sqrt{9}\)等都是二次根式。二次根式是从平方根的概念引申出来的，就像从一个大树的主干上长出的树枝一样。2、二次根式的性质-二次根式有一些重要的性质，比如\((\sqrt{a})^{2}=a\)（a\(\geq\)0），这个性质就像是二次根式的一个小秘密武器，在很多运算中都会用到。还有\(\sqrt{a^{2}}=\verta\vert\)，这个性质有点复杂，当a\(\geq\)0时，\(\sqrt{a^{2}}=a\)；当a<0时，\(\sqrt{a^{2}}=-a\)。【自主学习案】一、二次根式的乘法1、回忆乘法运算-同学们，咱们先想想普通数字的乘法。比如说，2乘以3等于6，这很简单吧。那如果是\(\sqrt{2}\)乘以\(\sqrt{3}\)呢？咱们可以从一个小例子来看。假如你有一个正方形，边长是\(\sqrt{2}\)厘米，另一个正方形边长是\(\sqrt{3}\)厘米，那这两个正方形的面积相乘是多少呢？-根据正方形面积公式，面积等于边长乘以边长。那第一个正方形面积是\((\sqrt{2})^{2}=2\)平方厘米，第二个正方形面积是\((\sqrt{3})^{2}=3\)平方厘米。那两个正方形面积相乘就是2乘以3等于6平方厘米。-但是从边长的角度看，两个正方形边长相乘就是\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\)，那这个结果应该等于什么呢？我们发现，按照之前学的二次根式性质，\(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times3}=\sqrt{6}\)。2、总结二次根式乘法法则-通过这个例子，我们可以总结出二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。也就是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0）。3、做一些简单练习-计算：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{5}\)-\(\sqrt{6}\times\sqrt{10}\)二、二次根式的除法1、类比乘法思考除法-咱们已经学会了二次根式的乘法，那除法呢？还是从实际例子出发。比如说，你有6个苹果，要平均分给2个人，那每个人得到3个苹果。这就是普通的除法。那如果是\(\sqrt{6}\)除以\(\sqrt{2}\)呢？-我们可以这样想，根据之前学的分数和除法的关系，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)就相当于求一个数，这个数乘以\(\sqrt{2}\)等于\(\sqrt{6}\)。那这个数是多少呢？-我们发现，按照二次根式的性质，\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}\)。2、总结二次根式除法法则-所以二次根式的除法法则是：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（a\(\geq\)0,b>0）。3、练习除法运算-计算：-\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\)-\(\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\)三、二次根式的加减法1、同类二次根式-同学们，咱们先了解一个概念叫同类二次根式。就像咱们生活中的同类东西一样，比如苹果和苹果是同类的，香蕉和香蕉是同类的。在二次根式里，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。比如说，\(\sqrt{2}\)和3\(\sqrt{2}\)就是同类二次根式，因为它们化简后被开方数都是2。2、二次根式加减法法则-那二次根式加减法怎么算呢？其实很简单，就像把同类的东西放在一起计算一样。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把同类二次根式合并。例如，计算\(\sqrt{8}+\sqrt{18}\)，首先把它们化成最简二次根式，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，然后合并同类二次根式，得到2\(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。3、做一些加减法练习-计算：-\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)-\(\sqrt{27}+\sqrt{48}\)【自学反思】我的收获：-在二次根式乘法中，我学会了把被开方数相乘，根指数不变的法则，还通过实际例子理解了这个法则的来源。-对于二次根式除法，我知道了相除时把被开方数相除，根指数不变的规律。-在二次根式加减法里，我明白了同类二次根式的概念，以及如何先化简再合并同类二次根式进行计算。我的疑问：-在二次根式除法中，分母不能为0，那在实际运算中，怎样快速判断分母是否符合要求呢？-对于一些比较复杂的二次根式运算，怎么才能快速准确地化简并选择合适的运算法则呢？附【自主学习检测】1、计算：-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}\)【互动探究案】一、复杂二次根式的运算1、含有括号的运算-咱们来看这样一个式子：(\(\sqrt{3}+2\))(\(\sqrt{3}-2\))。这就像两个小盒子相乘，我们可以用乘法分配律来计算。-首先把\(\sqrt{3}\)分别乘以括号里的两项，再把2分别乘以括号里的两项，得到：-\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}-\sqrt{3}\times2+2\times\sqrt{3}-2\times2\)-然后根据二次根式的乘法法则计算，得到：-3-2\(\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\)-最后合并同类项，得到-1。2、小组讨论-同学们分成小组讨论一下，这种含有括号的二次根式运算有什么技巧呢？在计算过程中要注意什么呢？每个小组可以找一个小代表来分享一下讨论结果哦。二、分母有理化1、什么是分母有理化-大家看这个式子：\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)。这个式子的分母是二次根式，看起来不太舒服，我们想办法把分母变成有理数，这个过程就叫做分母有理化。2、分母有理化的方法-对于\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，我们可以给分子分母同时乘以\(\sqrt{2}\)，这样分母就变成了\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)，式子就变成了\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。3、练习分母有理化-把下列式子进行分母有理化：-\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)【小结】1、二次根式的乘法法则是\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（a\(\geq\)0,b\(\geq\)0），除法法则是\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（a\(\geq\)0,b>0），加减法要先化简为最简二次根式再合并同类二次根式。2、在进行复杂的二次根式运算时，要注意运算顺序，合理运用运算法则，特别是在分母有理化和含有括号的运算中要仔细认真。【巩固训练案】1、计算：-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}\)-\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\)2、已知一个直角三角形的两条直角边分别为\(\sqrt{3}\)厘米和\(\sqrt{6}\)厘米，求这个直角三角形的面积。（提示：直角三角形面积等于两直角边乘积的一半）【学习反思】我的收获：-在互动探究中，我学会了更复杂的二次根式运算，比如含有括号的运算和分母有理化的方法。-通过巩固训练，我对二次根式的运算更加熟练了，也知道了如何在实际问题中运用二次根式运算。我的疑问：-在一些复杂的分母有理化中，比如分母是两个二次根式相加或相减的形式，有没有更简便的方法来确保计算准确呢？-在解决实际问题时，如果数据更复杂，怎样才能更好地建立二次根式运算的模型呢？【自主学习检测】1、-\(\sqrt{5}\times\sqrt{7}=\sqrt{35}\)-\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=2\)-\(\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)【巩固训练案】1、-(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))^{2}=(\(\sqrt{5}\))^{2}+2\(\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3}\))^{2}=5+2\(\sqrt{15}+3=8+2\(\sqrt{15}\)-\(\frac{\sqrt{27}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}}=\fr