高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板

题型一：解三角形

1、正弦定理：—=—=—=2/?(火是AABC外接圆的半径)

sinAsinBsinC

..a

sinA=——

a=21?sinA2R

.b

变式①:b=27?sinB变式②:sinBD=——变式③：a:b:c=sinA:sinB:sinC

2R

c=2RsinC

.„c

sinC=——

a2=b2+c2=2bccosA

2、余弦定理:b2=a2+c2-2accosB变式:

c2=a2+b2-2abeosC

3、面积公式:

射影定理:

5、三角形的内角和等于180°,BPA+B+C=TI6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

奇：一的奇数倍

sin(A+B)=sinCcos(A+3)=-cosC2

利用以上关系和诱导公式可得公式：<sin(A+C)=sin6和cos(A+C)=-cosB

sin(B+C)=sinAcos(B+C)=-cosA偶：巴的偶数倍

②we*

7、平方关系和商的关系：①疝12。+8$2。=1

COS。

8、二倍角公式：①sin2e=2sin，cos，

2„l+cos26.2八l-cos26

②8s26=cos26—sin20=2cos2^-1=l-2sin20n降幕公式:cos0=-,---s-i-n---=---------

22

2tan®

③tan2。

1-tan20

8、和、差角公式:

[sin(«+4)=sinacos°+cosasin(3cos(a+£)=cosacos夕一sinasin夕

[sin(a-p)=sinacos'-cosasin§cos(tz-/7)=cosrzcos尸+sinasin尸

tana+tan，

tan(«+0=

1-tanatan/?

③

tana-tan，

tan(a-,)=

1+tanatanP

自a2+b2

+

9、基本不等式：®<~~~(",bwR+)(a,bGR)@ab<-------(a,bGR)

第1页共24页

注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求AABC面积的最大值时。

的答题步骤：

①抄条件：先写出题目所给的条件；(但不要抄题目)

②写公式：写出要用的公式，如正弦定理或余弦定理；

③有过程：写出运算过程；

④得结论：写出结论；(不会就猜一个结果)

⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式，如均值不等式或面积公式等。

例1；(2016天津文)在415。中，内角4、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知asin23=&sinA.

(1)求B；

(2)若cosA=；,求s加C的值.

解；已知asin25=sinA…山噌幽圜鲍酬渺T

由正弦定理&=3=一，=2R

一写出襄用的誉式

sinAsinBsinC

sin26=2sin£cos，—WOAttO

nsinA-2sinBcosB=6sinBsinA

•「sinAw0,sinBw0

=>2COSB=A/3=>cosB=

2

又，；0<B<冗故3=工、—写出一

6♦

(2)已知cosA=；,A+B+C=/r

……嵋跚趣目的暇脾|饕圈的叠式

例2：(2013江西理)在口48。中，角4、B、。所对的边分别为a、6、c,已知cosC+(cos/-75sin/)cosB=0.

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=l，求6的取值范围.

解：(1)已知cosC+(cos/一后sinZ)cos5=0一”喇趣El的暇米眇T

=>-cos(A+B)+cosAcosB-V3sinAcosB=0

=-cosAcosB+sinAsinB+cosAosB-^3sinAcosB=0……写册缗骞的建舞班

nsinAsinB-V3sinAcosB=0

,/sinA0=>sinB=V3cosB=>tanB=电且=也

cosB

O<B<TT=>B=^.***"*1fml饴jft

(2)由余弦定理，得

b1=a2+c2-2accosB……鹭幽婴JU的誉式

=『+J_2"0……耳幽善罢的遑®M

=(a+c)2—3ac

10、不常用的三角函数公式（很少用，可以不记哦人0人）

（1）万能公式:

e1-tan2^c9

2tan—2tan—

①sin<9=-----与②cose=------4③tanO=_____2_

1+tan2^l+tan2^l-tan2^

222

（2）三倍角公式:

①sin3。=3sin6>-4sin36>②cos36>=4cos36>-3cos6>③tan38="Jtan。

3tan26>-l

题型二：数列

1、等差数列2、等比数列

①定义：皿=夕

①定义：an+i-an=d

an

nm

②通项公式：4="I+（n—X）d=>a=a+（n—m）d=>d=—②通项公式：an=。1夕"一1=。〃=amq~

nmn

③前〃项和：S“=〃"i+若[d（大题小题都常考）③前"项和：s"=皿二幺）（常考）

1-乡

S,=〃（■广）（小题常考）S,=%二也（可以不记哦人0人）

i-q

④等差中项：若A5,C成等差数列，则25=A+C④等比中项：若成等比数列，则炉=AC

⑤性质：若加+"=p+q,则。机+⑤性质：^m+n=p+q,贝!J4,

S［,n=l

3、a,与S”的关系:注意：该公式适用于任何数列,常利用它来求数列的通项公式

5n-5„_1,n>2

4、求数列通项公式的方法

（1）公式法：

①若已知册+i-a〃=d和％=。，则用等差数列通项公式=G]+5-1）4

②若已知2±l_=g和%=。，则用等比数列通项公式/=“应"-1

(2)。“与S”的关系：

国-s1,n>2

例3:数列｛%｝满足%+3a2+32%+…+3"T%=/,求册.

解：设S”=。［+3。2+3,3+…+3"一匕”='，贝！I

(1)当九=1时，。［=5］=；

1n2w_1

(2)当〃22时，Sn=ax+2,a2+3a3+---+?>-an_x+3an①

S“_i=。［+3a2+3?。3■1--^3"2al=---②

①-②，得

3"-匕=T.击("-2)--WIT4与S,的网

(3)构造法：形如%+1=04+q(p,q为非零常数)构造等比数歹U%M+；1=M4+；1)

例4s已知数列｛册｝满足an+l=2an+l,且％=1»求册，

解；已知an+l—2an+1>且a1=1

构造%+2=2a+2)••“•嘴4地数列

a

=n+\+2=2Q〃+22=>an+i=2an+2

••/=i……糊舞曲来的式子切8式眈皱，求跑未如敷见

册+1+1=2(an+1)=>""I?=2

%+1

令bn=%+1=>仿="1+1=2

=导=2=­｛"｝

(4)累加法；形如册=G.T+/(〃)，且了5)可用求和，可用累加法

例5；已知数列｛册｝中，%=1,为=为_1+2〃，求册.

解：已知册=册_1+2〃

=4~an-\=21rl

a2-«i=2x2

。3—。2=2x3

。4一。3=2x4

%-。4=2*5"…"蠲蒯右SMS®

斯-1-许-2=2(〃-1)

an-an-\=2n

累加后，得

cin—=2x(2+3+4+5+。一+n)

=2X(1+2+3H---Fn)-2

_n(n+1)•…喇阿了•式1+2+3+…+"=^^

=2x----------22

2

=n2+n-2

(5)累乘法：形如马-=/(〃)，且/5)可用求积，可用累乘法

4T

例6：已知数列｛%｝中，a,=1,马-='求明•

an-ln+1

解：已知'=n

an-\n+\

“2_2CI3_2包，册_]_n-1an_n

n'a_n+1

ax3124'%5an_2nx

累乘后，得

第4页共24页

(6)取倒数法：形如a“=%T5,g为非零常数)则两边同时取倒数

p%+q

例入已知数列g｝满足4=%且丁=1,求即

2味+1

%1:1=2-+1=211

解：已知an=

2%……等阈嬲周晡取倒数

+1%«n-i。“-1

口，=2

,溺足萼差财的定文

4矶

令〃=，-,贝!］仿=。_=1

a,ai

bn-bnx=2=d=>｛么｝为等差数列

5、求数列前〃项和S”的方法

(1)公式法：除了用等差数列和等比数列前〃项和的公式外，还应当记住以下求和公式

①…+••・+〃-@21+22+23+---+2n=2n+1-2

②1+3+5+…+(2〃—1)=M@12+22+32+--+H2=-n(n+l)(2n+l)

6

3333

③2+4+6H----i-2n=n2+n@1+2+3H---bn=—n(n+l)

2

③/1——-j==-J-3n+k-4n')

yjn+k—yink

④

(2n-l)(2n+l)4-

例8；设等差数列｛“”｝的前"项和为S”，且§4=432，%=2为+1,

(1)求数列｛a〃｝的通项公式:

(2)设，=」一，求数列｛耳｝的前初项和

M%+1

解：(D已知S4=4S2，a2n=2an+l

工i+的曰，…+(fd

……一意婴先写龈晏州)的公式，再地

4x3

S4—4t/jH——-d-4tZj+6d

=4〃]+6d=4(2。]+d)①

2x1

S2=20[H———d—2。]+4

a2n=%+(2〃—l)d=2(«1+(〃-l)d]+1②皿…先写册秀式。期地

由①②式，解得囚=1,"=2

=>〃“=%+(ji—V)d=l+(n—1)-2=2n—1.皿“•先写册会贰，

1/1

(2)由(1)知；bn=——…•揶演厨I心松就遮命回去眦E

anan+\(2n-l)(2n+l)22n-X2n+l

=>〃=4+b2+b3+---+bn_i+br

(3)错位相减法：形如“册=等差x等比”的形式可用错位相减法

19：设数列满足。i=2,"I-%=32,

(D求数列｛册｝的通项公式：

(2)令bn=n%、求数列｛2｝的前"项和G，

解；⑴已知.=24+1-册=33,则……一窟婴强写幽题同履的箱僻

。2一%=3・2

o3—。2=3•2?

。4—。3=3-23

斯—“I=3-2〃T

%=3。2”

累加后，得

23

an+l-ax=3(2+2+2+…+2〃)

。2(1-2")…•遢用蟒蛾数列求歌哈或=仁心

=3-----------S”

1-21-9

=-6(l-2n)=6-2n-6

=>4+1=6.2"-4=>%=6-2”-1-4.H肺雷的智歌丁的翻8。〃

(2)由(1)知：乩=〃〃一=6〃・2"-1-4〃=3"・2"-4”

T=b

nl+b2+b3+…+一

=(3-l-21-4-l)+(3-2-22-4-2)+(3-3-23-4-3)+--+(3n-2n-4n)

=3Q-21+2-22+3-23+••■+«-2M)-4(l+2+3+---+n)

t己=1-21+2-22+3-23+---+(K-1)2M-1+M-2H①

2%=l.22+2.23+3.24+...+(〃-1).2〃+小2川②……等式网迪网畸索嫉等比端分的叠墩

(4)分组求和法：

例10：已知等差数列｛4｝满足=2,。2+。4=8.

(1)若ai，%，即成等比数列，求m的值；

⑵设"=4+2册》求数列回｝的前"项和S”.

解：(1)已知/=2,做+。4=8皿・・词踞趣|0腑fr翻噬解

由册=9+(n—X)d,得a2+〃4=3]+d)+(〃i+3d)=2。]+4d=8

n〃i+2J=4=d=l

=>«„=«1+(n-l)d=n+l,…T瞒胡侬蚣式KM®式？再蒯tt

9、基本不等式:

(l)\[ab<a+^(a,beR+)②ab/"”](a,beR+)③abW。十匕(a,bGR)

2I<2J2

注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题的时候用到，有时还用于证明数列不等式。

，由答题步骤：

ti

①抄条件：先抄题目所给的条件；（但不要抄题目）

\②写公式：写出要用的公式，如等差数列的通项公式或前〃项和；

i

，③有过程：写出运算过程；

④得结论：写出结论；（不会就一个结果）

\⑤猜公式：第二问一定不能放弃，先写出题目所给的条件，然后再写一些你认为可能考到的公式。

I

AoA数列题型比较难的是放缩法

题型三：空间立体几何

1、线线关系

①线线平行：（很简单，基本上不考）

②线线垂直：先证明线面垂直，从而得到线线垂直。（常考）

方法：（力利用面与面垂直的性质，即一个平面内的一条直线垂直于两面交线必与另一平面垂直;

（而）利用线与面垂直的性质，即直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例11：如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是ND4B=60°且边长为a的菱形，侧面尸AZ）是等边三角形,

且平面尸AZ）垂直于底面ABCD,求证:AD±PB.

证明：取AD的中点为G,连接PG,BG,如图所示:“…噂蒯峨一定婴有魄明

APAD是等边三角形=>PG_LAT>□哪条件国班来

2、线面关系

①线面平行：只需证明直线与平面内的一条直线平行即可。方法：将直线平移到平面中，得到平面内的一条直线，只需证明它

们互相平行即可。一般要用平行四边形或三角形中位线的性质证明。（最常考，一定要掌握鸭）

②线面垂直：只需证明直线与平面内的两条相交直线都互相垂直即可。（最常考，一定要掌握鸭）

方法：（力利用面与面垂直的性质；

（而）直线同时垂直于平面内的两条相交直线。

例12：如图所示，在长方体ABCD-AiBiGDi中，AA产AD=Q,AB=2a,E、F分别为C1D1、A1D1的中点,

(1)求证：DE□平面BCE；

(2)求证：AF□平面BDE.

证明；(1)已知AAi=AD=。，AB=2a,E为CiDi的中点

:.DE=EC=42a^DE2+EC2=CD2

DELEC①

又,/BC_L面=BC_LDE②

BC,石Cu面5CE,且5Cc£C=C

而DE(Z面3CE=>DE_L面BCE.

(2)连接EF,连接AC交BD于点M如图所示：

E哩A©

<AM=-AC=>EF//AMn四边形AMEF为平行四边形

2=

A,A©

3、面面关系

①面面平行：只需证明第一个平面的两条相交直线与第二个平面的两条相交直线互相平行即可（很少考哦）。

②面面垂直：只需证明有一条直线垂直于一个平面，而这条直线又恰好在另外一个平面内即可。（常考）

例13：如图，在三棱锥V-ABC中，平面VABL平面ABC,△VAB为等边三角形，AC_LBC且AC二BC,O,

M分别为AB,VA的中点.求证：平面MQC_L平面VAB.

由答题模板：

①作辅助：需要作辅助线的一定要在图中作出辅助线，如取的中点为民

②有说明：需要在图上连线时一定要有说明，如连接43两点如图所示；

③抄条件：写出证明过程，并将条件圈出；

④再说明：说明线与面的关系，如A5u面A5C,而瓦1U面A5C；

⑤得结论：得出结论，证毕；

⑥写多分：第二问不要不写，能写多少写多少，哪怕是抄题目的条件。

文科常考锥体体积公式：曝体=gs/z

理科常考二面角的余弦值：COSa=-^-其中为和沅为两个平面的法向量

\n\\m\

点到平面的距离公式(理科)：设平面的法向量为而，A为该平面内任意一点，则点P到平面的距离为：d=L上

1«1

"人总之第二问一定要多写，多写多得分

例14：(2018全国□卷文)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90。.

(1)证明：平面PAB□平面PAD；

Q

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°»且四棱锥P-ABCD的体积为屋求该四棱锥的侧面积,

证明：(1)ZBAP=ZCDP=9(T局榭避园峋已知的

ARVAP□

CDVPD

又•••ABHOnAB±PD□……施tag的条俳圜跑来

AP,PDu面PAD,HADcPD=D

而AB(Z面PAO……奥明浦幽与画的关索

nA3_L面B4£)

又•••ABu面=>面_L面.

(2)过P点作PM_LA。，垂足为点M,如图所示:

45_1面24£)=＞钻，尸加□

PM1AD□

=>PM±^ABCD

设AB=a»贝！］AD=-/2a,PM=----a

2

yp-ABCD=^-Sh=^-ABADPM=^a3

题型四：概率与统计

1、茎叶图

①平均数：元=!（%]+为+%+—+工〃）

n

②极差=最大值-最小值注：极差越小，数据越集中

③方差：S2」扃_幻2+（巧_幻2+...+（/_幻2]注：方差越小，数据波动越小，越稳定

④标准差：S=J—[(Xj—%)?+(0一九产+•♦•+(%”—%)?]

Vn

例16：（2018全国III卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的

生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用

第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如

下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数处并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人

痴埴入下面的刷胖美.

超过m不超过m

第一章生产方式

第二章生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500,0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

解；（1）工作效率的高低看两种生产方式的平均工作时间，分别为,

第一种生产方式;Xx=ix（68+72+76+---+92）=84（min）

第二种生产方式；X2=—x（65+65+66+•••+90）=74.7（min）

2、频率分布直万图

①众数：最高小长方形的中间值

②中位数：小长方形面积之和为0.5的值

③频率=概率=组距、喘二小长方形的面积

④所有小长方形的面积之和等于1

⑤平均数：每个小长方形的中间值x相应小长方形的面积，然后将所得的数相加

例17；（2019全国III卷文）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下实验,将200只小鼠随机

分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的

溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试

验数据分析得到如下直方图：

皴率/组距

频率/组距

0.30................

S20

0.20

15

0.165

0.1

0.0

0.0505

o1.52.53.54.55.56.57.5百分比02.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲离子残町百分比直方图乙离子残留百分比直方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）.

解：（1）频率分布直方图的小矩形面积表示概率.

由题意，得

a+0.2(JH-0.15=0.70na=0.35

根据“各小矩形的面积之和等于1”，得

0.05+6+0.15+0.35+0.20+0.15=1n20.10

3、线性回归方程

口答题模板：

第12页共24页

（1）设方程：先假设回归方程为a=嬴+2;

（2）抄公式：写出公式5=乌---------，a=y-bx（不管题目有没有给，都要写出来哦人o人）

以5

Z=1

（3）求各值：求出①元=’（西+尤2+%3+…,②y=,（%+为+'3+…+%）...没时间计算就把式子列出来

③2%由=西力+%2y2+%3y3+…+/力，④2%；=靖+岩+君+…+片没时间计算就把式子列出来

i=li=l

（4）得施：代入公式求出A和4;

（5）写方程：写出回归方程；

（6）写多分；第二问也不难，一般给你％让你估计y的值，直接带公式OK!A0A

例18：（2014全国H卷理）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代号t1234567

人均纯收入y2.93.33.64.44.85,25.9

（1）求y关于f的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该

地区2015年农民居民家庭人均纯收入.

附；回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为；

一切

3=卫-------------,a=y-bi

i=i

解,（1）设线性回归方程为£=&+&.则……匏魄爨跟阚归；ar疆

,1

，=亍X(1+2+3+4+5+6+7)=3.86

y=1x(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.30

力=1x2.9+2x3.3+3x3.6+4x4.4+5x4.8+6x5.2+7x5.9=134.4

Z=1

=12+22+32+42+52+62+72=140

i=l

1344—7x3.86x4.3018?140八_

=5=—----=0.51,a=y-Z?f=4.30-0.51x3.86=2.33

140-7x3.86235.7028

故线性回归方程为：y=0.51（+2.33.,

FT?4-+FSd1JJt册bJA1S卬--frB士AA

第13页共24页

题型五：圆锥曲线

1、椭圆(以焦点在％轴上的为例)

①定义：PF+PF=2a⑥准线：x=+—

l2c

⑦通径：|AB|=当

⑧长轴长：=

⑨短轴长：忸］闻=2。

⑤焦距：出局=2c

例20：(2018北京卷文)已知椭圆M:《+《=l(a>匕>0)的离心率为逅，焦距为2后，斜率为左的直线/

与椭圆M有不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程；

⑵若求|AB|的最大值；

(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和

0(-］,；)共线，求北

解：(1)已知椭圆的标准方程为鸟+耳=1……酱如腱蹦圜的方做

ab

”『J，忻厂2〔=2c=2及•嘘写叠式祈幽他

=>c=A/2,a=V3

•/a2=b2+c2=b=yja2-c2=1……先蜀咨或明曜

故椭圆的方程为［+/=L

(2)由题意，设AB所在的直线方程为>=丘+)，A®,%),B(x2fy2),则“…一建鹤蹬

y=x+b

%2=>4%2+6b%+3户一3=0

——+y2=1

3

b3bc3b2-3

Xi+x--,xx--……嘴沟g疆

2a2x2a4

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