高考数学一轮复习规范答题增分专项6高考中的概率与统计含解析新人教版

规范答题增分专项六高考中的概率与统计

1.某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.

(1)设所选3人中女生人数为人求才的分布列及均值；

(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

解：(1)%的所有可能取值为0,1,2.

依题意,得以不⑪弓=；,

p(x=v)w怨—-

9Dc「5，

P(X电誉=]

C65

故X的分布列为

z012

131

p

555

1Q1

MX)=Ox-+lx-+2x--l.

555

⑵设事件4=“男生甲被选中"，6="女生乙被选中”，

则「⑷=?尸(明.

故P(B1A)一)、)=|.

()5

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为之

2.(2021新高考/,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先

在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确

则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每

个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题

的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

解：(1)2=0,20,100.

P(Z=O)=1-0.84).2^,

P(Z^0)=0.8X(l-0.6)^x^=A

P(Z=100)=0.8X0.6^x-=-.

5525

所以才的分布列为

020100

1812

P

52525

⑵若小明先回答A类问题,期望为£(给.

则双才=0xi+20x袅100xH=咎

525255

若小明先回答B类问题，Y为小明的累计得分，

y=o,so,wo,

户(7=0)=1-0.64).4上，

5

P(y=80)=0.6X(l-0.8)Q^x-1=-Q,

5525

户(-00)=0.6X0.84x7=巳

5525

厂/。23,［八八12288

£(D=0x-+/O8n0x-+100x.

525255

因为£0)②(力，所以小明应选择先回答B类问题.

3.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起

点站,为了研究车辆发车间隔时间x(单位:min)与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数

据：

间隔时间A/min101112131415

等候人数y232526292831

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求经验回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方

法如下:先用求得的经验回归方程计算间隔时间对应的等候人数.，再求y与实际等候人数y的差，

若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程为“恰当回归方程”.

(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据不相邻的概率；

(2)若选取的是后面4组数据，求y关于了的经验回归方程.='x+'并判断此方程是否为“恰当

回归方程”；

(3)为使等候的乘客不超过35人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟(精确到整

数).

X((-一)

附:经验回归直线.=-X厂的斜率和截距的最小二乘估计分别为-=上----------=

邑(一一)2

L-——

=1_______________________

22-2‘—一"一’

解：(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据的情况有4二15(种)，其中相邻的情况

有5种,故不相邻的概率为=1.

153

12+13+14+15

⑵由题意可知一=13.5,

4

26+29+28+31

-28.5,

4

44

X石口=1546,£2=734,

=1i=l

4

八E-4——

所以二年---------<.4,

£2—4一2

=1

=—---28.5-1.4X13.5-9.6,

所以"=1.4向9.6.

当T-10时，--1.4X10^9.6-23.6,/23.6-23/4).6<1,

当户11时，"=1.4X11现6-25,/25-25/4)<1,

所以求出的经验回归方程为“恰当回归方程”.

⑶由1.4x为.6W35,得启吗，

故间隔时间最多可设置为18min.

4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测

量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正

态分布M〃，。2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在［〃-3口+3门之外的零件

数，求尸(庐1)及才的均值；

⑵一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在［〃-3。，口+3月之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

①试说明上述监控生产过程方法的合理性；

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

,16,16h16

经计算得—=《Z97,s=JX(-—)9=2—16—2)=0.212,其中必为抽取的

16=1J16i=iJ16=1

第，个零件的尺寸，2,…，16.

用样本平均数一作为〃的估计值,用样本标准差S作为。的估计值,,利用估计值判断是否需

对当天的生产过程进行检查?剔除「T'+3之外的数据,用剩下的数据估计〃和。(精确到

0.01).

附:若随机变量z服从正态分布

贝oW左〃用。)七0.9973.0.9973^^0.9577,VO08«0.09.

解：(1)抽取的一个零件的尺寸在-3。，P+3月之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在［〃-

3o,"3之外的概率为0.0027,故XX16,0.0027).

因此尸(41)=1-户(工=0)=1-0.997316^0,0423.

£(给=16X0.0027=0.0432.

(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在［〃-3。，口+3月之外的概率只有0.0027,一天内抽取的

16个零件中，出现尺寸在［〃-3o,月之外的零件的概率只有0.0423,发生的概率很小.因此一

旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的

生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

②由一内.97,s七0.212,得口的估计值为--9.97,。的估计值为-=0.212,由样本数据可以看出有

一个零件的尺寸在「-3一，'+3'］之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除「-3］之外的数据9.22,剩下数据的平均数为嘏x(16X9.974.22)=10.02,因此〃

15

的估计值为10.02.

16

£2《16X0.212/16X9.97?七1591.134,剔除「-3'「十3.I之外的数据9.22,剩下数据的

=1

样本方差为工x(l591.134-9.22?-15X10.022)^0.008,

15

因此O的估计值为=0.09.

5.某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年.如图①所示,两个二

级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.

二级过滤器和

;一级过滤器尸7二级过滤配

图①

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换，

每个滤芯是否需要更换相互独立.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元，

二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200

元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使

用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分

布表如表所示,根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图如图②所示.

一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数89

频数6040

二级滤芯更换频数条形图

用频率代替概率.

(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；

(2)记才表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总个数,求才的分布列及均值；

(3)记得〃分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=19,且

g{8,9},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的均值为决策依据,试确定m,n

的值.

解：(1)由题意知,使用期内一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为喘6,更换9个滤芯的概

率为9=0.4.

100

一个二级过滤器需要换4个滤芯的概率为总2,更换5个滤芯的概率为喘4,更换6个滤芯的

概率为心

若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数为16,则一级过滤器需要更换8个滤芯,两

个二级过滤器都需要更换4个滤芯,故所求概率为0.6X0.2X0.24).024.

(2)由⑴可知,一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

才的可能取值为8,9,10,11,12,

从而―(2=8)=0.2X0.2=0.04,

产(才=9)=2X0.2X0.44).16,

户(户10)-2XQ.2X0.44).4X0.4=0.32,

户(户H)=2X0.4X0.4=0.32,

^(7-12)4).4X0.4=0.16.

故才的分布列为

89101112

P0.040.160.320.320.16

MX)-8X0.04^9X0.16+10X0.32+11X0.32+12X0.16=10.4.

(3)记K,冉分别表示当或mW时,该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用.

因为切打=19,且0G{8,9},

所以当炉8时，77-11；当m冯时，77-10.

①当片8,77=11时，

£(X)=160X8必00X0.4^80XII+200X0.16-2352.

②当m=Q,72-10时，

£(K)=160X9v80X10+200X0.32+400X0.16=2368.

因为MK)0为)，所以01=8,77=11.

6.某网上购物平台为了给顾客提供更好的购物体验,为入驻商家设置了积分制度,每笔购物完成后,

买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评.平台规定

商家有50天的试营业时间,其间只评价不积分,正式营业后,每个好评给商家计1分,中评计0分，

差评计T分.某商家在试营业期间随机抽取100单交易,调查了其商品的物流情况以及买家的评价

情况,分别制成了频率分布直方图和扇形统计图,如图①②所示.

(1)通常收件时间不超过4天认为是物流迅速,否则认为是物流迟缓,请根据题目所给信息完成下面

2X2列联表,并依据小概率值a005的独立性检验,分析获得好评与物流速度是否有关.

评价

物流速度合计

好评中评或差评

物流迅速

物流迟缓30

合计

(2)从正式营业开始,记该商家在每笔交易中得到的评价得分为Z用频率代替概率,求X的分布列和

均值.

(3)该商家将试营业50天期间的成交情况制成了如下的频数分布表.假设正式营业开始，每日成交

单数的分布规律不变,用频率代替概率.

成交单数363027

天数102020

平台规定,当积分超过10000分时,商家会获得“诚信商家”称号,请估计该商家从正式营业开

始，1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由题意可得2X2列联表如下.

评价

物流速度合计

好评中评或差评