高中数学必修5全册教案（23份） 人教课标版18

二元一次不等式（组）与平面区域

从容说课

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概

念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元

一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的

一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学

态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让

学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教

学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，再回归到先前的

具体实例，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二

元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究二

元一次不等式（组）的概念，一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的

联系.得出一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的步骤和过程，并及

时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.

教学重点会求二元一次不等式（组）表示平面的区域

教学难点如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答

课时安排课时

三维目标

一、知识与技能

.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；

.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域

二、过程与方法

.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；

.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；

.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，

层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出

结论

三、情感态度与价值观

.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究

“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;

.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学过程

第课时

导入新课

师在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它

们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一

个实际例子

一家银行的信贷部计划年初投入元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来元的

效益，其中从企业贷款中获益，从个人贷款中获益，那么，信贷部应该如何分配资金呢？

师这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？

生设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，由资金总数为元，得到

师由于预计企业贷款创收，个人贷款创收.共创收元以上，所以

（）（）》,即

师最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是

生

师将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：

x+y<25000000

12r+lOy>3000000

x>0,

”0.

师我们把含有两个未知数，且未知数的次数是的不等式（组）称为二元一次不等式（组）

满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序数对（），所有这样的有序数对（）构成的集合称为

二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等

式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合

师我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合｛（）｝是经过点（，）

和（，）的一条直线，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是

的不等式）>的解为坐标的点的集合｛（）>｝是什么图形呢？

推进新课

［合作探究］

师二元一次方程+一=有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这

些点的集合组成点集｛（,）+-=｝,它在坐标平面上表示一条直线

以二元一次不等式+—>的解为坐标的点，也拼成一个点集.如=,=时，+->,点（，）的坐

标满足不等式+—>.（,）是二元一次不等式+—>的解集中的一个元素.我们把二元一次不等

式+—>的解为坐标的点拼成的点集记为｛（,）+->

请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？

生+—>表示直线：+—=右上方的所有点拼成的平面区域

师事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线+—=分为三类：在直线+—=上；在直线

+一=右上方的平面区域内；在直线+一=左下方的平面区域内.如（，）点的坐标代入+一中，

+->,（,）点在直线+—=的右上方.（一,）点的坐标代入+-中，+-=,（-,）点在直线

+—=上.（，一）点的坐标代入+—中，+—<,（,）点在直线+—=的左下方

因此，我们猜想，对直线+—=右上方的点（，）.+—>成立；对直线+—=左下方的点

（,）,H—<成立

师卜面对这一猜想进行一下推证

在直线：+—=上任取一点（，），过点作平行于轴的直线=,这时这条平行线上在点右侧的

任意一点都有>,=两式相加

+>+,则+—>+一点在直线+—=上，+-=

所以+—>

因为点（，）是直线+—=上的任意一点，所以对于直线+—=的右上方的任意点（，）+—>都

成立

同理，对于直线+一=左下方的任意点（，），+一〈都成立

所以点集｛（，）+—>｝是直线+一=右上方的平面区域，点集，）+一<是直线+—=

左下方的平面区域

师一般来讲，二元一次不等式++>在平面直角坐标系中表示直线++=的某一侧所有点组成

的平面区域

由于对在直线++=同一侧的所有点（，）,实数++的符号相同，所以只需在此直线的某一侧

取一个特殊点(，)，由++的正、负就可判断++>表示直线哪一侧的平面区域.当W时，我

们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(，)代入+—中，+-<

说明：+一〈表示直线+-=左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直

线+—=的同一侧

如果=.,直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.

师提醒同学们注意，不等式++N所表示的区域，应当理解为{(,)++>}U{(,)++=}.这

个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线

师另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼

()为直线右上方的平面区域

()为直线左下方的平面区域

()为直线左上方的平面区域

()为直线右下方的平面区域

［教师精讲］

师二元一次不等式〉和〈表示的平面区域

()结论：二元一次不等式,在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域

把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式》表示的平面区域时，此区域包括边

界直线，则把边界直线画成实线

()判断方法：由于对在直线同一侧的所有点()，把它的坐标()代入，所得的实数的符号都相

同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点()，以的正负情况便可判断》表示这一直线哪一

侧的平面区域，特殊地，当K时，常把原点作为此特殊点

［知识拓展］

【例】画出不等式+—＞表示的平面区域

解:先画直线+-=(虚线)，把原点(，)代入+一，得一〈.因+一〈,说明原点不在要求的区

域内，不等式+—＞表示的平面区域与原点在直线+-=的异侧，即直线+一=的右上部分的

平面区域

生学生课堂练习

()-+＜

0+—>

0—

x+3y+6>0,

【例】画出不等式组《■表示的平面区域

x—y+2Vo

,\-y+2=0

++Z表示直线上及其右上方的点的集合

一+〈表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合

在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实

点还是空点

x-y+520,

【例】画出不等式组■x+yNO,表示的平面区域

x<3

师不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示

的平面区域的公共部分

生解：不等式》表示直线右上方的平面区域，》表示直线右上方的平面区域，W左上方的平面

区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分

课堂练习

作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域

()<;

()>;

()>:

()<;

x+y-1>0,

)[x-y>0.

如下图：

［合作探究］

师由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式(组)表示平面区域的吗？

生归纳如.下：

.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线分成三类：

()直线上：｛()｝；

()直线的上方：｛()>｝；

()直线的下方：｛()<

对于平面.内的任意一点()的坐标，代入中，得到一个实数，此实数或等于，或大于，或小于.观

察到所有大

于的点都在直线的右上方，所有小于的点都在直线的左下方，所有等于的点在直线上

.一般地，

二元一次不等式>在平面直角坐标系中表示直线的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成

虚线表示不包括边界.

二元一次不等式》表示的平面区域是直线的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实

线

此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取

坐标轴上的点）

［方法引导］

上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突

出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论

课堂小结

.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线分成三类：

（）直线上;

（）直线的上方;

（）直线的下方

.二元一次不等式〉和〈表示的平面区域.

布置作业

.不等式〉表示的区域在的（）

.右上方.右下方左上方左下方

.不等式组《表示的平面区域是（）

x-y+2<0

.直线右上方的平面区域可用不等式表示

x<0,

.不等式组，yVO,表示的平面区域内的整点坐标是.

4x+3y+8>0

.画出（）（）。表示的区域

答案:

>-)

第课时

导入新课

师前一节课我们共同学习了二元一次不等式（组）的一些基本概念，并且从一个具体的一元二次

不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，总结一元二次不等式

表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域

两者之间的联系，下面请同学回忆上述内容

生一般来讲，二元一次不等式++＞在平面直角坐标系中表示直线++=的某一侧所有点组成

的平面区域

由于对在直线++=同一侧的所有点（，），实数++的符号相同，所以只需在此直线的某一侧

取一个特.殊点（，），由++的正、负就可判断++＞表示直线哪一侧的平面区域.当#时，

我们常把原点作为这个特殊点去进行判断

如果=，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断

推进新课

［例题剖析］

师【例】画出不等式〈表示的平面区域

y

2

师解：先画直线=（虚线），把原点（，）代入=一＜,因为＜,说明原点在要求的区域内，不等

式〈表示的平面区域与原点在直线的一侧，即直线的左下部分的平面区域

师在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是

实点还是空点.

师【例】用平面区域表示不等式组1的解集

x＜2y

师分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的

平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分

X

生解：不等式（表示直线下方的区域；不等式（表示直线y=］上方的区域.取两个区域重叠

的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集

4\

‘锹苏-12=0

师【例】某人准备投资万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表

格：（以班级为单位）

学段班级学生数配备教师数硬件建设万元教师年薪万元

初中班人

高中班人

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件

师若设开设初中班个,高中班个,根据题意，总共招生班数应限制在之间，所以应该有什么样的限

制

生W

师考虑到所投资金的限制,又应该得到什么

生XXW,即另外,开设的班数不能为负，则把上面四个不等式合在一起,得到

20<x+y<30,

x+2j<40,

x>0,

y>0.

师用图形表示这个限制条件,请同学完成

生得到图中的平面区域（阴影部分

师例一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐吨，硝酸

盐吨；生产车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐吨，硝酸盐吨.现库存磷酸盐吨，硝酸盐吨，在此

基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域

师若设、分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则应满足什么样的条件

4x+y<10,

生—满足以下条件《18x+15‘y<66,(*)

x>0,

y>0.

师在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域

生

生课堂练习

y<x,

(),x+2y<4,

y>-2.

x<3,

1y>x,

3x+2y>6,

3y<x+9.

［方法引导］

上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出

重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答

课堂小结

.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解

题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要

.在实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方

法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区

域

布置作业

课本第页练习.

板书设计

第课时

二元一次不等式（组）与平面区域

例

课堂小结例

例

第课时

二元一次不等式（组）与平面区域

例

例例

例

习题详解

（课本笫页练习

.分析:把已知条件用下表表示:

工作所需时间（单位分钟）收益（单位:元）

打磨着色上漆

桌子

桌子

工作最长时间

解:设家具厂每天生产类桌子张类桌子张

对于类桌子，张桌子需要打磨个小时，着色个小时,上漆个小时;对于类桌子，张桌子需要打磨.

个小时，着色个小时，上漆个小时,而打磨工人每天工作最长时间是分钟，所以有W.类似地W,

10x+5y<45Q

6x+12y<48Q

在实际问题中所以题目中包含的限制条件为《6x+9y445Q

x>0,

y>0.

备课资料

一、备用例题

l<x+y<4,

【例】设实数、满足不等式组°.t求点()所在的平面区域

y+2>|2x-3|,

分析：必须使学生明确，求点()所在的平面区域，关键是确定区域的边界线.可以从去掉绝对值

符号入手

l<x+y<4,fl<x+y<4,

解：已知的不等式组等价于，y+2N3—2乂或<y+2>2x-3,

2x-3<0[2x-3>0.

解得点()所在平面区域为下图所示的阴影部分(含边界).其中:

【例】某工厂要安排一种产品生产，该产品有I、n、in三种型号，生产这种产品需要两种主

要资源：原材料和劳动力，每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示:

IIIIII

货源

原材料(千克件)

劳动力(小时件)

每天可利用的原材料为千克，劳动力为小时，假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定

三种型号产品的日产量，使总产值最大

分析:建立数学模型：

（）用、、分别表示I、II、in三种型号的日产量

4X]+3X2+6七V12Q

（）明确约束条件：<2七+4々+5与〈10（1

,>0,x2>0,x3>0.

4XI+3X2+6七<12Q

这样，这个资源利用问题的数学模型为满足约束条件■2为+4X2+5当KI0Q的可行域.

X]>0,x2>0,x3>0

【例】某机械厂的车工分i、n两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率如下表所

不：

级别加工能力（个人天）成品合格率（）

I

II

工厂要求每天至少加工配件个，车工每出一个废品，工厂要损失元，现有I级车工人，n级车

工人，且工厂要求至少安排名II级车工，问如何安排工作？

解：首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需I、II级车工分别为人

线性约束条件：

97%*24Qr+95.5%*160y>240Q

<04x48,

6<y<12.

画出线性约束条件的平面区域如图中阴影部分所示

据图知点（，）应为既满足题意，又使目标函数最小.然而点非整数点.故在点上侧作平行直线经

过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知（，）为满足题意的整数解

二、阅读材料

二元一次方程组的图象解法

看一个二元一次方程=+.我们可以列表把这个方程的解表示出来:

・・・・・・

••••••

由表中给出的有序实数对…