《平面向量的坐标表示及向量共线的坐标表示》教学设计

1/12.3平面向量的基本定理及坐标2.3.2平面向量坐标运算及共线的坐标表示（李蓉）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，在已掌握了平面向量基本定理的基础上，将向量运算转化为代数坐标运算，让学生体会数形结合和化归思想，认识其知识的价值和作用，培养学生探究能力和科学精神.（二）学习目标1.理解平面向量的坐标的概念.2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.（三）学习重点1.平面向量的坐标运算.2.平面向量线性运算的坐标表示.3.平面向量共线的坐标形式，并能用公式解决问题.（四）学习难点1.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.2.向量的坐标与点的坐标之间的联系.3.自主探究平面向量共线的坐标形式.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页例4之前的部分及98页例6之前的部分，填空：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个相应坐标的和（差）.一个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.设，其中，若共线，当且仅当存在实数，使得.（2）写一写:已知，，，，2.预习自测（1）已知点，向量=（）A. B.C.D.【答案】D（2）已知点，向量，则向量（）A.B.C.D.【答案】（3）已知向量，则（）A.B.C.D.【答案】D(二)课堂设计1.知识回顾（1）平面向量的坐标表示.分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.（2）平面向量线性运算的结合律与分配律.设为实数，那么；（3）平面向量基本定理：若共线，其中，当且仅当存在唯一一个实数，使得.2.问题探究探究一探究平面向量的坐标运算已知，，你能得出，，的坐标吗？●活动=1\*GB3①向量和与差及实数乘向量的坐标运算引导学生体会：知道向量坐标，就可以把向量用基底表示，进行运算后，把所得向量用基底表示，又可以得到相应坐标.即：由向量坐标的表示方法可得，再由向量的运算律有：即，按照相同的思路让学生自主探究，同理可得：结论：两个向量和与差的坐标分别于这两个向量相应坐标的和（差）.你能得到的坐标吗？已知和实数，则结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【设计意图】运用向量线性运算及运算律让学生自主探究平面向量的坐标运算，体会将向量运算转化为代数坐标运算的转化化归思想.●活动=2\*GB3②向量的坐标计算公式：如图，已知向量，且点，，求的坐标.＝－＝=（，）结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.你能在上图中标出坐标为（，）的点吗？【设计意图】通过向量的坐标运算，及学生标出点后，建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系，难点得到突破.探究二平面向量共线的坐标表示●活动①认识共线向量的特点请说出下列各组中两向量的位置关系（共线或不共线），并指出它们的特点.=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶【设计意图】通过学生观察总结，既调动了学生的积极性，也为后面得出平面向量共线的坐标表示做好铺垫.●活动②写出与()共线的充要条件.思考:两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量设，，其中.由=得，消去，探究：（1）消去时不能两式相除，∵，有可能为0，∵∴，中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成∵，有可能为0(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：//()【设计意图】通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到用坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐.活动③巩固基础，检查反馈例1(1)已知平面向量，，则向量________.(2)设点N的坐标为(1,2)，点M的坐标为(3,2)，则向量的坐标为________.【知识点】向量的坐标运算【解题过程】(1)eq\f(1,2)(1,1)－eq\f(3,2)(1，－1)＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))－(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))＝(－1,2).(2)＝(3,2)－(1,2)＝(3－1,2－2)＝(2,0).【思路点拨】向量加减即相应横、纵坐标相加减.【答案】(1)(－1,2).(2)(2,0).【设计意图】通过平面向量运算的常规题，巩固向量的坐标运算及点的坐标与向量坐标的关系，让学生熟悉熟悉向量的坐标运算公式.同类训练(1)若＝(－2,5)，B(1，－3)，则A点的坐标为________.(2)设，，则______.【知识点】向量的坐标运算及向量相等的条件【思路点拨】向量的加减即相应横、纵坐标相加减.【解题过程】（1）设，则（2）【答案】例2已知，那么与是否共线？线段AB与线段AC是否共线？【知识点】共线向量的坐标运算.【数学思想】数学转化化归思想.【思路点拨】利用共线向量的坐标运算【解题过程】∵＝(2,4)，＝(3,6)，又∵2×6－3×4＝0，∴//.∴与共线.又∵直线AB与直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线，线段AB与线段AC也共线.【设计意图】给出了判断三点共线的一种常用方法，准确运用向量线性运算的坐标公式，，把平面几何中判断三点共线的方法进行移植.让学生既巩固新知，又感受到数学化归思想的魅力，让新知的掌握变得愉快而轻松.同类训练(1)已知，若，则________.(2)若点在这两点的连线上，则________.【知识点】共线向量的坐标运算及三点共线.【数学思想】数学转化化归思想.【思路点拨】利用共线向量的坐标运算及向量共线的条件【解题过程】(1)由有（2），由已知【答案】(1)－eq\f(1,3)或1(2)3活动4强化提升、灵活应用例3已知)，，，试用,表示.【知识点】平面向量基本定理及坐标运算【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝(3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ).依题设得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3λ－2μ＝10，,λ＋3μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝－2.))【思路点拨】关键是找到实数λ、μ，使得＝λ＋μ【答案】＝2-2.【设计意图】把平面向量的基本定理与向量相等结合，既让向量坐标运算公式得到落实，更对本章重点内容再次巩固，从而更体现了向量坐标运算的优越性.同类训练已知，若.则λ、μ的值分别为()A.B.C.D.【知识点】平面向量基本定理及点坐标与向量坐标的关系【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由,,则依题解得：解得：【思路点拨】先用点坐标求出相应向量，在利用向量相等的坐标表示建立方程组.【答案】C例4如图，已知平面上三点坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使得这四个点构成平行四边形的四个顶点.【知识点】平面向量坐标运算及向量相等.【数学思想】数形结合与分类讨论的数学思想【思路点拨】结合图形对D点的位置进行分类讨论，再利用向量相等的条件建立方程组求解.【解题过程】(1)以AC为对角线作平行四边形ABCD1，设顶点D1的坐标为(x1，y1).∵＝(1,2)，＝(3－x1,4－y1)，由＝，得(1,2)＝(3－x1,4－y1).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3－x1，,2＝4－y1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,y1＝2.))∴顶点D1坐标为(2,2).(2)以BC为对角线作平行四边形ACD2B，设顶点D2(x2，y2).∵＝(5,3)，＝(x2＋1，y2－3)，由＝，得(5,3)＝(x2＋1，y2－3).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝x2＋1，,3＝y2－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4，,y2＝6.))∴顶点D2的坐标为(4,6).(3)以AB为对角线作平行四边形D3ACB，设顶点D3(x3，y3)，则由＝，可解得D3(－6,0).【答案】D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).【设计意图】仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算，该题为课本例题的变式题，此题未指出顶点的顺序怎样，故需要讨论.解题过程中既有方程的思想，关键是充分利用图形中各线段的位置关系，数形结合的思考，培养学生思维的严谨性.3.课堂总结知识梳理（1）运用向量线性运算的交换律，结合律，分配律，推导两个向量和的坐标，差的坐标，以及数乘的坐标运算.（2）把向量共线的条件转化为坐标表示，运用向量相等的条件推导出向量共线的坐标表示重难点归纳两个向量和的坐标，差的坐标，以及数乘的坐标运算是重点.向量的坐标与点的坐标之间的联系与区别（易混点）用点的坐标表示向量和向量差的坐标运算的计算顺序问题（易错点）（三）课后作业基础型自主突破1.若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝()A.B.C.(6,10) D.【知识点】向量的线性运算及坐标运算【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4).【思路点拨】根据＝＋可得.【答案】A2.已知，，，，其中的共线向量有()A.和；和 B.和；和C.和；和 D.以上都正确【知识点】向量共线的判断【解题过程】因为中满足，所以，同理可得【思路点拨】利用向量共线的坐标表示的等积式形式直接判断，也可利用向量共线的充要条件进行判断.【答案】C3.已知A(3，y)，B(－5,2)，C(6，－9)三点共线，则y＝()A.6B.-6C.5D.-5【知识点】向量的坐标计算公式及向量共线的条件应用【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】因为,由题意得【思路点拨】利用向量共线的坐标表示的等积式形式直接判断.【答案】B4.已知＝(3,2)，＝(2，－1)，若λ＋与＋λ(λ∈R)平行，求λ=()A.1B.-1C.0D.【知识点】向量共线的坐标表示【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】λ＋＝(3λ＋2,2λ－1)，＋＝(3＋2λ，2－λ).∵λ＋与＋λ(λ∈R)平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1.【思路点拨】利用向量共线的坐标表示的等积式形式即可求解.【答案】D5.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝eq\f(1,2)，则P点的坐标（)A.(－8,1)B.(－1，－eq\f(3,2))C.(1,eq\f(3,2))D.(8，－1)【知识点】向量的坐标计算公式及向量相等【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】设P点的坐标为(x，y).则＝(x，y)－(3，－2)＝(x－3，y＋2)，＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).∴eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－8,1)＝(－4，eq\f(1,2)).又＝eq\f(1,2)，∴(x－3，y＋2)＝(－4，eq\f(1,2)).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))【思路点拨】利用向量的坐标计算公式及向量相等建立方程组求解.【答案】B能力型师生共研6.若=i+2j，=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x、y的值可能分别为（）A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4【知识点】向量的坐标表示及向量共线的条件应用【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】因为,由题意得，再用答案检验该式.【思路点拨】利用向量共线的坐标表示的等积式形式直接判断或把答案代入题目检验向量共线条件.【答案】B.7.已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（）A.B.C.D.【知识点】平面向量基本定理及向量不共线【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则一定不共线，所以，解得，所以的取值范围是，故选D.【思路点拨】利用向量共线的坐标表示的等积式形式的否定建立不等式.【答案】D探究型多维突破8.已知点A(2,0)，B(2,2)，C(1,3)，O为坐标原点，求AC与OB的交点D的坐标.【知识点】平面向量基本定理及向量共线的坐标表示.【数学思想】转化化归的数学思想【解题过程】由题意知共线，故存在实数λ，使＝(2λ，2λ).又=(2λ－2,2λ)＝(－1,3)，又∵与共线，∴(2λ－2)×3－2λ×(－1)＝0,解得λ＝eq\f(3,4).【思路点拨】利用向量共线的充要条件及共线的坐标表示的等积式形式建立方程.【答案】点D的坐标为(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))自助餐1.已知，,如果//，则实数的值等于（）A.B.C.D. 【知识点