《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学设计

1/12.4平面向量数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（刘季梅）一、教学目标（一）核心素养本节课是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算，它把向量的长度和三角函数联系了起来，这为解决有关的几何问题提供了方便，特别为解决线段垂直问题提供了有效的方法，不仅它自身有很丰富的内容，而且在数学、物理等学科中应用十分广泛，所以也是高中数学的一个重要概念.通过本节课的学习，学生应了解尝试观察、归纳、类比、联想和数形结合等数学思想方法.（二）学习目标1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．（三）学习重点1．平面向量数量积的坐标表示．2．两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．（四）学习难点1．平面向量数量积的坐标表示的理解．2．平面向量数量积的应用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第106页至107页，填空：①已知两个非零向量，，则ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．②已知向量，则，其含义是：向量的模（长度）等于向量坐标平方和的算术平方根．③已知，，则，.④已知两个非零向量，，则．⑤已知两个非零向量，，是它们的夹角，则．2．预习自测填空：已知向量，，（1）____________，____________；（2）____________，____________，____________；（3）若，则____________；（4）____________，____________．【答案】（1）1，4；（2），，；（3）1；（4）(2,1)；(-8,16)．（二）课堂设计1．知识回顾（1）已知两个非零向量，，则ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．（2）已知向量，则，其含义是：向量的模（长度）等于向量坐标平方和的算术平方根．（3）已知，，则，（4）已知两个非零向量，，则．（5）已知两个非零向量，，是它们的夹角，则．2．问题探究探究一平面向量数量积的坐标表示●活动①引出平面向量数量积坐标表示的概念（讨论后举手回答）（1）设单位向量，分别与平面直角坐标系中的x轴、y轴方向相同，O为坐标原点，若向量，则向量的坐标是，若向量a=(1，-2)，则向量a可用，表示为．（2）已知，，且，，则ab=．（3）已知两个非零向量，，怎样用a与b的坐标来表示ab呢？的坐标是：（3，2），可以将a的起点平移至坐标原点，则a可用，表示为；根据向量数量积的运算律和垂直向量数量积为0，得：ab=；观察第（2）问的计算过程，不难发现两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和∴ab=．【设计意图】通过学生互相讨论，教师设计问题的方式引导学生探索后得出平面向量数量积坐标表示的概念．●活动②平面向量垂直的坐标表示（口答）学习了平面向量数量积的坐标表示，请同学们思考当两个非零向量和垂直的充要条件更进一步可以怎样描述？，即．【设计意图】巩固向量数量积的坐标表示，提炼两向量垂直的坐标表示这一重要的向量数量积的性质．探究二平面向量数量模（长度）的坐标表示●活动①平面向量的模（长度）的坐标表示（举手回答）已知向量，如何用向量的坐标表示的模？因为，所以．其含义是：向量的模（长度）等于向量坐标平方和的算术平方根．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模（长度）的坐标表示．●活动②平面向量的模（长度）的坐标表示（口答）已知原点，点，，则如何用两点的坐标表示向量的模长？因为，所以．其含义是：向量的模等于两点之间的距离．【设计意图】通过设计问题的方式引导学生得出平面向量的模（长度）的坐标表示．●活动③平面向量数量积的性质的坐标表示（举手回答）已知两个非零向量，，为a与b的夹角．(1)当a与b同向时，，_____________________；(2)当a与b反向时，，_____________________；(3)____________________________________；(4)设为与向量同向的单位向量，那么向量（___________，___________）．；；；由已知（）．其中性质（3）中是柯西不等式．【设计意图】巩固平面向量数量积的性质，并会用向量的坐标表示．探究三平面向量数量夹角和投影的坐标表示●活动①平面向量夹角的坐标表示（举手回答）设a与b是两个非零向量，，，为a与b的夹角，那么a与b的夹角的余弦值用向量的坐标如何表示？向量b在向量a方向上的投影的坐标表示？；b在向量a方向上的投影是．【设计意图】巩固平面向量数量积公式变形求向量夹角余弦值和求投影的性质，并会用向量的坐标表示．●活动②巩固基础，检查反馈例1已知，，求，a与b的夹角θ．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴，又∵，∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；；；a与b的夹角为．同类训练已知，，a与b的夹角θ，求．【知识点】向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示．【解题过程】；；；∴．【思路点拨】利用向量数量积的坐标公式，向量的模和夹角的余弦值的坐标表示公式．【答案】；．【设计意图】巩固平面向量数量积公式，向量的模的坐标表示和两个向量夹角余弦值的坐标表示，并会进行具体计算．●活动③强化提升，灵活应用例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断的形状，并给出证明．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】数形结合【解题过程】如图，在平面直角坐标系中标出A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)三点，发现为是以∠A为直角的直角三角形．证明如下：∵，，∴，∴，∴为直角三角形【思路点拨】作图判断三角形形状，并找到垂直的两个线段，表示两线段对应向量，然后求两向量的坐标数量积为0，从而达到证明的目的．【答案】为直角三角形，证明见解答过程．同类训练在中，设，，且是直角三角形，求的值．【知识点】平面向量垂直的坐标表示．【数学思想】分类讨论【解题过程】（1）若，，∴，即，解得：；（2）若，，，∴，即，解得：；（3）若，，∴，即，解得：．综上：或或．【思路点拨】对三角形的三个角分别为直角进行分类讨论求值．【答案】或或．【设计意图】熟练平面向量垂直的坐标表示的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．3.课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，则ab=．其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．（2）已知向量，则，其含义是：向量的模（长度）等于向量坐标平方和的算术平方根．（3）已知，，则，（4）已知两个非零向量，，则．（5）已知两个非零向量，，是它们的夹角，则．重难点归纳1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行相关计算．2．掌握向量的模、平面上两点间的距离公式的坐标表示．3．掌握两个向量的夹角公式和向量垂直的坐标表示．（三）课后作业基础型自主突破1．已知，，则（）A．23 B．57 C．63 D．83【知识点】向量数量积的坐标表示．【解题过程】．【思路点拨】熟练向量数量积的坐标表示和运算．【答案】D．2．已知，，则a在b方向上的投影为（）A． B． C． D．【知识点】向量坐标表示投影，向量数量积的坐标表示，向量坐标表示模长．【解题过程】．【思路点拨】会用向量坐标表示投影．【答案】A．3．已知，，且恰好与垂直，则实数的值为（）A．1 B． C．1或 D．以上均不对【知识点】向量的坐标运算，向量垂直的性质．【解题过程】，∵与垂直，∴，即：，解得：，经检验，满足条件． 【思路点拨】向量加法和数乘的坐标运算，向量垂直的性质．【答案】B4．已知点，，，，则四边形为（）A．正方形 B．菱形 C．梯形 D．矩形【知识点】向量垂直和平行．【解题过程】∵，，∴．∴四边形为平行四边形．又∵，∴，又∵，∴四边形为矩形．【思路点拨】用向量的坐标判定向量的平行和垂直．【答案】D．5．已知点为坐标原点，向量，，在轴上有一点，使有最小值，则点的坐标是（）A． B． C． D．【知识点】向量数量积，函数最值．【解题过程】设点的坐标为，则，．故，当时，使有最小值1．【思路点拨】设点坐标并表示数量积，最后求二次函数最值．【答案】C6．若，，，则___________．【知识点】向量数量积运算律和坐标表示．【解题过程】∵，∴．【思路点拨】根据向量数量积公式变形求长度结合数量积的运算律．【答案】．能力型师生共研7．若平面向量与的夹角为，且，则___________．【知识点】向量模长的坐标表示，共线反向向量．【解题过程】由题知：与共线且方向相反，所以．设，则，即，∵，∴，即．解得：（正值舍去）．所以．【思路点拨】设向量坐标，根据条件列方程组求解，明确反向向量和向量模长的坐标特征．【答案】．8．已知向量，．（1）若，求的值；（2）若的值不超过，求的取值范围．【知识点】向量垂直和向量的模长．【解题过程】（1）∵，∴，即．解得：．（2），∵，∴．解得．【思路点拨】明确垂直向量的坐标性质，向量坐标表示模长．【答案】(1)k=5,(2)探究型多维突破9．已知的三个顶点坐标分别为，，，且于点．（1）求点的坐标；（2）求的面积．【知识点】点表示向量，向量垂直，三角形的面积．【数学思想】方程的思想【解题过程】（1）设，则，，．因为共线，所以．又因为，所以解得∴点的坐标为．（2）由（1），知，，，所以．【思路点拨】设点的坐标，根据垂直向量的坐标性质和三点共线得到方程组，解方程组得点的坐标．【答案】（1）点的坐标为；（2）．10．设平面向量，，与不共线．（1）求证：向量与垂直；（2）若向量与的模相等，求角．【知识点】向量垂直，向量数量积的运算律．【解题过程】（1）由已知，，∵，且与均为非零向量，∴向量与垂直．（2）由已知：．化简，得，所以．所以．又因为，所以或．【思路点拨】明确内积为0的两向量垂直．明确模长相等的向量的模长平方也相等，从而运用向量数量积的运算律，化简得到的方程达到求解的目的．【答案】（1）证明见解题过程；（2）或．自助餐1．已知a，b为平面向量，，，则夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．【知识点】向量坐标，向量夹角．【数学思想】方程组消元的思想．【解题过程】∵，∴，故，∴．【思路点拨】向量坐标的加减法运算，向量夹角余弦值的坐标表示．【答案】C．2．已知向量，，，若向量满足，，则等于（）A． B． C． D．【知识点】向量平行和垂直．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设，由得，①；由得，②；联立①②得，，所以．【思路点拨】设向量的坐标，根据向量平行和垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】D3．已知，则与a垂直的单位向量的坐标为________． 【知识点】向量垂直，单位向量．【数学思想】方程的思想．【解题过程】设所求向量为，由为单位向量得：，①；由得，②；联立①②得，；或，．所以与a垂直的单位向量的坐标为或．【思路点拨】设所求向量的坐标，根据单位向量和向量垂直的坐标特征列方程组求解．【答案】或．4．在中，已知，点在边上，则的最小值为________．【知识点】向量数量积的最值．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】以的边为轴，边上的中线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，，∴，，所以，当时取最小值．【思路点拨】建立合适的直角坐标系，设未知元表示向量内积求最值．【答案】5．已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°．（1）求b；（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c．【知识点】向量的夹角，同向向量和垂直向量．【解题过程】(1)a·b＝2n－2，|a|＝eq\r(5)，|b|＝eq\r(n2＋4)，∴cos45°＝eq\f(2n－2,\r(5)·\r(n2＋4))＝eq\f(\r(2),2)，∴3n216n12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－eq\f(2,3)(舍)，∴b＝(2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)，(ca)·a＝0，∴λb·a|a|2＝0，∴λ＝eq\f(|a|2,b·a)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，∴c＝eq\f(1,2)b＝(-1，3)．【思路点拨】明确向量的夹角坐标公式，向量同向和垂直的性质．【答案】（1）b＝(2,6)；（2）c＝(-1，3)6．已知平面向量a＝(eq\r(3)，－1)，b＝（1）证明：a⊥b；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．【知识点】向量垂直．【数学思想】函数的思想．【