《三角恒等变换》章末复习课

I卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos215°－sin215°的值是（）A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)【知识点】二倍角的余弦值．【解题过程】cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．【思路点拨】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用．【答案】C．2．已知则（）A． B． C． D．【知识点】两角和的正切公式．【解题过程】由已知得．【思路点拨】明确两角和的正切公式．【答案】B．若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是（）A．eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)【知识点】(cosα－sinα)2＝1－sin2α 【解题过程】(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，故cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2)．【思路点拨】观察所求式子和已知式子并找到两者的关系，建立方程求解，同时要考虑结果的符号．【答案】B．函数的最小正周期是（）A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．πD．2π【知识点】三角恒等变换，三角函数的周期．【数学思想】计算能力【解题过程】∵，又∵，∴函数的最小正周期是．【思路点拨】先利用三角恒等变换化简函数，再求周期．【答案】C．5．tan19°＋tan41°＋eq\r(3)tan19°tan41°的值为（）A．1B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)【知识点】两角和的正切值得应用．【解题过程】∵tan19°＋tan41°＝tan60°(1－tan19°tan41°)＝eq\r(3)－eq\r(3)tan19°tan41°，∴原式＝eq\r(3)－eq\r(3)tan19°tan41°＋eq\r(3)tan19°＋tan41°＝eq\r(3)．【思路点拨】掌握两角和差正切公式的变形应用．【答案】D．6．已知tanθ＝eq\f(1,3)，则cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ等于（）A．－eq\f(6,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(6,5)【知识点】利用三角恒等变换化简求值．【解题过程】原式＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(6,5)．【思路点拨】cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)再带值．【答案】D．7．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【知识点】二倍角正弦的应用．【解题过程】∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝eq\f(π,2)．【思路点拨】利用二倍角的余弦值化简方程，再确定角的关系进而得到三角形的特征.【答案】D．8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【知识点】三角恒等变换，三角函数图像的平移.【解题过程】∵，∴将函数的图像向左平移个单位可以得到函数的图像．【思路点拨】利用三角恒等变换将函数变形成的形式，再利用函数图像平移解题．【答案】D．9．的值为（）A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4【知识点】三角恒等变换．【解题过程】原式＝．【思路点拨】观察式子形式并利用三角恒等变换合理变形，进而化简求值．【答案】C．10．若,则等于（）A．B．C．D．【知识点】二倍角公式，互余角的正弦和余弦的关系．【解题过程】【思路点拨】先找两角的关系，再利用三角恒等变换化简求值．【答案】A．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，则coseq\f(θ,2)的值为（）A．eq\f(3,35)B．eq\f(4,5)C．±eq\f(3,5)D．±eq\f(4,5)【知识点】半角公式．【解题过程】由sin(π－θ)＝eq\f(24,25)，得sinθ＝eq\f(24,25)．∵θ为第二象限的角，∴cosθ＝－eq\f(7,25)．∴coseq\f(θ,2)＝±eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝±eq\r(\f(1－\f(7,25),2))＝±eq\f(3,5)．【思路点拨】先利用诱导公式化简sin(π－θ)，再根据半角公式求值．【答案】C．12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)，则cosα的值为（）A．eq\f(56,65)B．eq\f(16,65)C.eq\f(56,65)或eq\f(16,65) D．以上都不对【知识点】两角差的余弦值，三角函数给值求值.【数学思想】整体构造的思想．【解题过程】∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝eq\f(12,13)>0，∴0<α＋β<eq\f(π,2)，sin(α＋β)＝eq\f(5,13)．∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝eq\f(3,5)>0，∴0<2α＋β<eq\f(π,2)，sin(2α＋β)＝eq\f(4,5)．∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65)．【思路点拨】观察角的关系，用已知两角构造所求角，再利用两角差的余弦值表示并求解，注意要准确判断角的范围进而确定结果的符号．【答案】A．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知cosθ＝eq\f(1,3)，θ∈(0，π)，则cos(eq\f(π,2)＋2θ)的值为___________．【知识点】诱导公式，二倍角公式．【解题过程】∵sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(eq\f(π,2)＋2θ)＝－sin2θ＝－2sinθ·cosθ＝－eq\f(4\r(2),9)．【思路点拨】先利用诱导公式化简，再用二倍角公式变形求值.【答案】－eq\f(4\r(2),9)．14．eq\f(sin(α＋30°)＋cos(α＋60°),2cosα)＝___________．【知识点】两角和的正余弦，特殊角的三角函数值．【数学思想】计算能力【解题过程】∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝eq\f(cosα,2cosα)＝eq\f(1,2)．【思路点拨】利用两角和的正弦和余弦将分子进行运算化简，进而达到整体化简求值的目的．【答案】eq\f(1,2)．15．若eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2012，则eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝___________．【数学思想】三角恒等变换，给值求值．【解题过程】eq\f(1,cos2α)＋tan2α＝eq\f(1＋sin2α,cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋1＋2tanα,1－tan2α)＝eq\f((tanα＋1)2,1－tan2α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2012．【思路点拨】将所求式子通分，再利用二倍角公式变形，将所求式子构造成用已知式子表示的形式，从而达到求值的目的．【答案】2012．16．函数y＝cos2xcoseq\f(π,5)－2sinxcosxsineq\f(6π,5)的递增区间是__________________．【知识点】三角恒等变换，三角函数的单调性．【数学思想】化归的思想．【解题过程】y＝cos2xcoseq\f(π,5)－2sinxcosxsineq\f(6π,5)＝cos2xcoseq\f(π,5)＋sin2xsineq\f(π,5)＝cos(2x－eq\f(π,5))，由－π＋2kπ≤2x－eq\f(π,5)≤2kπ，得x∈[－eq\f(2π,5)＋kπ，eq\f(π,10)＋kπ]（k∈Z）即为单调递增区间．【思路点拨】先利用三角恒等变换将函数变形成的形式，再确定三角函数的单调递增区间．【答案】[－eq\f(2π,5)＋kπ，eq\f(π,10)＋kπ]（k∈Z）．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，其中0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π．求：（1）tan(α－β)；（2）α＋β的值．【知识点】两角和与差的正切值【解题过程】（1）∵tanα＝2，tanβ＝－eq\f(1,3)，∴tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2＋\f(1,3),1－\f(2,3))＝7．（2）∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(2－\f(1,3),1＋\f(2,3))＝1，且0<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)．∴α＋β＝eq\f(5π,4)．【思路点拨】（1）利用两角差的正切值求tan(α－β)；（2）利用两角和的正切值求tan(α＋β)，注意要确定α＋β的范围，进而确定α＋β的值．【答案】（1）7；（2）eq\f(5π,4)．18．（12分）已知α、β为锐角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．【知识点】两角差的余弦值．【数学思想】整体构造的思想．【解题过程】∵α是锐角，cosα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(3,4)．∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tan(α－β),1＋tanαtan(α－β))＝eq\f(13,9)．∵β是锐角，故cosβ＝eq\f(9\r(10),50)．【思路点拨】观察已知角和所求角的关系，用已知角构造所求角，并将所求的式子变形，注意相关角的三角函数值需要根据角的范围定符号．【答案】cosβ＝eq\f(9\r(10),50)．19．（12分）已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin2β，求证：2tan2β＝tanα＋tanβ．【知识点】两角差的正切公式，二倍角的正弦和正切公式．【解题过程】证明：∵tan(α－β)＝sin2β，tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，sin2β＝2sinβcosβ＝eq\f(2sinβcosβ,sin2β＋cos2β)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，∴eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(2tanβ,1＋tan2β)，整理得：tanα＝eq\f(3tanβ＋tan3β,1－tan2β)．∴tanα＋tanβ＝eq\f(3tanβ＋tan3β＋tanβ－tan3β,1－tan2β)＝eq\f(2×2tanβ,1－tan2β)＝2tan2β．【思路点拨】将式子中可化简的两角差的正切、二倍角的正弦和正切利用公式变形，再将等式进行等价变形，从而达到证明的目的．【答案】见解题过程．20．（12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求的最大值，并求此时对应的的值.【知识点】三角恒等变形，三角函数的周期、单调性和最值．【数学思想】计算能力【解题过程】（1）∵，∴周期,因为，所以，当],即时函数单调递减；∴的单调递减区间为：．∵当，．∴当时，取最大值1．【思路点拨】（1）化简函数解析式可得，由正弦函数的图象和性质可求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）先求的范围，可得的取值范围，即可求的最大值，并求出此时对应的的值．【答案】（1），递减区间为；（2）当时，函数的最大值为1．21．（12分）已知函数f(x)＝2asineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋sin2eq\f(x,2)－cos2eq\f(x,2)（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴；（2）当a＝2时，在f(x)＝0的条件下，求eq\f(cos2x,1＋sin2x)的值．【知识点】三角恒等变形，二倍角公式，三角函数的周期、对称轴，给值求值．【解题过程】f(x)＝asinx－cosx