圆周角和圆心角的关系第一课时

第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第一课时一、学情分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。教材分析《圆周角与圆心角之间的关系》是北师大版九年级下册第三章第4小节的内容，是学生学习了圆心、半径、直径、弦、弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角之间的关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。三、教学任务分析本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1.了解圆周角的概念。2．理解圆周角定理的证明。过程与方法1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。2．体会由特殊到一般、分类、化归思想，并能熟练的应用“圆周角与圆心角之间的关系”进行论证和计算。情感态度与价值观通过观察、猜想、验证和推理，培养学生探索问题的能力和方法。教学重点：圆周角概念及圆周角定理。教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性，感悟圆周角定理证明中的分类、转化的数学思想。教学方法：引导发现法.在老师的启发引导下，学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法，探究出新知.教学手段：多媒体PPT课件，实物展台，几何画板等四、教学过程分析本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新知、自主合作探究新知（关于圆周角的定义、圆周角定理及推论1）、即学即练应用新知、回顾反思提炼精华、布置作业课堂延伸．创设情境，引入新知很多同学都喜欢看足球运动，足球中也有数学问题.同学们想一想，球员射中球门的难易程度与什么有关？这与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？通过今天的学习，我们就能解答这个问题．今天我们就来学习圆周角和圆心角的关系．(板书课题：3.4圆周角和圆心角的关系)处理方式：让学生从生活中的实例入手，思考分析并进行交流.设计意图：通过生活实例，充分调动学生的听课热情和积极性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处都有数学的身影.通过设疑，激发学生的求知欲，培养学习兴趣．二.自主合作，探究新知活动内容1：圆周角的概念问题1：∠ABC，∠ADC，∠AEC是圆心角吗？什么是圆心角？问题2：它们与圆心角有什么区别？与同伴交流．问题3：你能给圆周角下个定义吗？处理方式：学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己的发现，引导学生与圆心角进行对比，重点引导学生说出∠ABC，∠ADC，∠AEC的共同特特征，把握两点特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．接着给出圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点．像这样的角，叫做圆周角．巩固练习：火眼金睛1．判断下列各图形中的角是不是圆周角.处理方式：教师也可以演示几何画板，动态展示图中各种情况，要注意引导学生回顾圆周角定义中的两个条件：①顶点在圆上；②两边分别与圆还有另一个交点设计意图：通过让学生经历“观察—发现—对比—交流—总结”这一数学活动过程，一方面积累数学活动的经验，另一方面也加深了学生对圆周角的理解．类比圆心角来学习圆周角，学生会感觉自然，易于接受；通过练习，让学生加深对圆周角定义的理解和直观感受，让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动内容2：圆周角和圆心角的关系1．直观感受：做一做如图，∠AOB=80°．（1）请你画几个所对的圆周角.这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．（2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．处理方式：对于问题（1）应先让学生明确问题的要求，找到特定的弧，然后再画圆周角．学生所画的圆周角的位置会有不同，教师可以从中找出典型的图形进行展示，同时引导学生观察所画的圆周角与圆心角∠AOB有几种位置关系，猜测这几个圆周角的关系，与同伴交流自己的想法．学生所画圆周角展示：对于问题（2），教师可引导学生通过度量验证这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系，并启发学生思考：为什么不同位置的圆周角度数相同？从而初步得出结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半，同弧所对的圆周角相等．2．猜想：议一议在上图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流．处理方式：学生猜想结论是否成立，并尝试进行说理；教师演示几何画板改变角的度数和圆的半径等加以验证．3．证明已知：如图，∠C是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角．求证：．分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在圆周角∠C的一边上，如图（1）；（2）圆心O在圆周角∠C的内部，如图（2）；（3）圆心O在圆周角∠C的外部，如图（3）．处理方式：先引导学生明确题意，再根据圆周角和圆心角的位置关系，进行分析--讨论--证明．证明时先让学生证明圆心O在圆周角∠C的一边上的情况，对于另外两种情况教师应适时进行引导，分析如何添加辅助线，将其转化为（1）的情况进行证明．情况（1）可让学生到黑板板演，适时点拨强调，规范学生的解题步骤．情况（2）（3）如果时间充足可让学生板演证明过程，也可借助实物投影展示学生的证明过程．老师也可以提示把特殊图像当成基本模型，用动画来演示整个分解组合的过程，让学生更直观的感受转化的过程，4．总结归纳通过以上证明过程你能得出什么结论？圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.5.得出推论问题回顾：在足球射门的游戏中，球员在B，D，E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？由圆周角定理可以很容易的得到：同弧所对的圆周角相等.问题变式：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.若，则∠1与∠2是否相等，为什么？结论：等弧所对的圆周角相等.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.处理方式：引导学生观察∠ABC，∠ADC，∠AEC是同弧所对的圆周角，根据圆心角定理，它们都等于圆心角的一半，所以这几个圆周角相等．设计意图：通过画图加深对圆周角的理解，同时在画图的过程中让学生感受所画的圆周角与圆心角∠AOB所对的弧是同一条弧．学生通过测量出来，就能直观地感受它们之间的关系，再经历猜想，验证，归纳，证明的思维过程，培养学生的数学思维能力，渗透数学思想方法．三．即学即练，应用新知如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=，理由是.(2)∠BDC=，理由是.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.完成下列填空：∠1=.∠2=.∠3=.∠5=.3.如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于()A.40°B.45°C.50°D.60°4.如图，点B，C在⊙O上，且BO＝BC，则圆周角∠BAC＝.若∠A＝30°，BC＝2，则☉O的半径是.5.课本80页知识技能1、2题.处理方式：先让学生独立完成，教师做巡视，了解学情，然后师生共同校对答案、纠错．通过一组习题来加深学生对圆周角及其定理的理解，提高运用所学知识解决问题的能力．设计意图：进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力．四．回顾反思，提炼升华通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些知识和方法？先想一想，再与大家一起分享.（学生畅谈自己的收获）处理方式：学生畅谈自己的收获，教师鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高并作适当评价．只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言．设计意图：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结．．五．布置