2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市青浦高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各式中，正确的个数是(

)

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③⌀⊆{0,1,2}；

④⌀={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}．A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合A与集合B的元素个数之和为m个，A∪B中有n个元素，若A∩B≠⌀，则A∩B的元素个数为(

)A.mn B.n−m C.m+n D.m−n3.已知集合A={x||x−1|>2}，集合B={x|mx+1<0}，若A∪B=A，则m的取值范围是(

)A.[−13,0] B.[−13,1]4.已知集合A=[1,a]∪[a3,a4]，集合B={x|x=x1−x2，其中A.a取遍任意大于1的实数 B.a≥2

C.a≥1+5二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.用列举法写出所有小于10的素数组成的集合______．6.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3,5}，则A−=______．7.命题“若x<y，则x2<y2”是______命题.(8.已知4∈{0,2a,a2}，则实数a=9.陈述句“a，b都是正数”的否定形式是______．10.已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=−x+3}，则A∩B=______．11.已知x∈R，条件p：0<x<1，条件q：0<x≤a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．12.已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={x|ax−4=0}，若A∩B=B，则实数a13.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<4}，则不等式c14.集合A={n||n−2n+1|>15.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句话阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的______条件.(填条件关系，例如充分不必要条件、充要条件等等.)16.对x，y定义一种新运算T，规定：T(x,y)=ax+by2x+y(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0,1)=a×0+b×12×0+1=b，已知T(1,−1)=−2，T(4,2)=1，若关于m的不等式组T(2m,5−4m)≤4T(m,3−2m)>P三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解关于x的不等式组−x2+x+6≥018.(本小题8分)

已知集合A={x|x2+x−2=0,x∈R}，集合B={x|x2+px+p=0,x∈R}．

(1)若A∩B={1}，求A∪B；

(2)若x1，19.(本小题10分)

设a∈R，已知α：关于x的一元二次方程ax2+4x+a=0有两个相异正根；β：对任意实数x，不等式(a−1)x2−(a−1)x−2<0恒成立．

(1)若α为真命题，求实数a的取值范围；

(2)20.(本小题12分)

已知t∈R，求满足下列条件的非空集合T中所有元素之和S．

(1)T={x|x2−4x+t=0,x∈R}；

(2)T={x|(x−4)(21.(本小题14分)

集合A={a1,a2,…,an}是由n(n>3)个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素ai(i=1,2,…,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．

(1)判断集合{1,2,3,4}、{1,3,5,7,9,11,13}是否为“可分集合”(不用说明理由)；

(2)求证：五个元素的集合A={参考答案1.B

2.D

3.B

4.C

5.{2,3,5,7}

6.{2,4}

7.假

8.−2

9.a，b不都是正数

10.{(0,3)}

11.[1,+∞)

12.{0,−4,413.(−114.4

15.必要不充分条件

16.−2≤P<−117.解：不等式组−x2+x+6≥0x−2x+1≥0可化为x2−x−6≤0(x−2)(x+1)≥0x+1≠0，

解得−2≤x≤3x≤−1或18.解：A={x|x2+x−2=0,x∈R}={−2,1}．

(1)若A∩B={1}，则1∈B，

而集合B={x|x2+px+p=0,x∈R}，

则1+p+p=0，解得：p=−12，

故B={x|x2−12x−12=0}={−12,1}，

故A∪B={−2,−12,1}；

(2)因为x1，x2∈B，所以x1，x2为方程x2+px+p=0的根，

若x1=x2，则方程x2+px+p=0只有一个根，

Δ=p2−4p=0，解得p=0或4，

所以方程x2+px+p=0，即为方程x2=0或方程x2+4x+4=0，

解得x=0或x=−219.解：(1)由一元二次方程ax2+4x+a=0有两个相异正根，得Δ=16−4a2>0a≠0−4a>0，

解得−2<a<0，所以α为真命题时，实数a的取值范围是{a|−2<a<0}；

(2)由(1)知，α={a|−2<a<0}，

对于β：a=1时，不等式为−2<0恒成立，

a≠1时，应满足a−1<0Δ=(a−1)220.解：(1)因为T={x|x2−4x+t=0,x∈R}且T为非空集合，

对于方程x2−4x+t=0，

当Δ=(−4)2−4t=0，即t=4时，解得x1=x2=2，

所以T={2}，此时集合T中所有元素之和S=2；

当Δ=(−4)2−4t>0，即t<4时，方程x2−4x+t=0有两个不相等实数根，且两根之和为4，

此时集合T中所有元素之和S=4；

综上可得集合T中所有元素之和S=2或4；

(2)因为T={x|(x−4)(x2−4x+t)=0,x∈R}，

由(x−4)(x2−4x+t)=0，则x−4=0或x2−4x+t=0，

对于x−4=0，解得x=4，所以4∈T；

对于x2−4x+t=0，

当Δ=(−4)2−4t=0，即t=4时，解得x1=x2=2，

所以T={2,4}，此时集合T中所有元素之和S=2+4=6；

当Δ=(−4)2−4t>0，即t<4时，方程x2−4x+t=0有两个不相等实数根，且两根之和为4，

若4为方程x221.解：(1)对于{1,2,3,4}，去掉3后，{1,2,4}不满足题中条件，故{1,2,3,4}不是“可分集合”，

对于{1,3,5,7,9,11,13}，集合{1,3,5,7,9,11,13}所有元素之和为49．

当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{3,5,7,9}、{11,13}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{1,9,13}、{5,7,11}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{1,3,7,11}、{9,13}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{1,9,11}、{3,5,13}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{1,3,5,11}、{7,13}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{3,7,9}、{1,5,13}这两个集合，显然符合题意；

当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{1,3,5,9}、{7,11}这两个集合，显然符合题意．

综上所述，集合{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”．

(2)证明：