2024-2025学年江苏省泰州市靖江高级中学高三（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省泰州市靖江高级中学高三（上）第一次段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|lgx<1}，B={y|y=4−x2}A.[0,10) B.(0,2] C.[0,2] D.(−∞,10)2.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是(

)A.若|z|=1，则z=±1或z=±i

B.若|z+1|=1，则点Z的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆

C.若1≤|z|≤2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π

D.若|z−1|=|z+i|，则点3.若a=ln10,b=ln2⋅ln5,c=ln4eA.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c4.设{an}是公比为q(q≠−1)的无穷等比数列，Sn为其前n项和，a1>0，则“SA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,A.1 B.2 C.2 D.6.已知函数f(x)={(3−a)x−3,x⩽7ax−6,x>7，若数列{an}满足anA.[94,3) B.(947.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA,bcosB,cA.3 B.4 C.5 D.68.若函数f(x)=(x2−22x+a)sin(ax−π3A.[7π12,5π7) B.(0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平面直角坐标系xOy中，一动点从点M0(3,0)开始，以π2rad/s的角速度逆时针绕坐标原点O做匀速圆周运动，xs后到达点M的位置.设A.φ(x)=4−23cos(π2x−π3)

B.当x=203时，φ(x)取得最小值

C.点10.定义：a,b两个向量的叉乘a×b的模|A.若平行四边形ABCD的面积为4，则|AB×AD|=4

B.在正△ABC中，若AD=|AB×AC|(AB+AC)，则|AD||BC|3=3211.若数列{an}满足：a1=1，对∀m，n∈NA.a2024=12024

B.∃n∈N∗，使得a22+a32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知3a=3+3b，则13.已知函数f(x)=3x−13x+1，数列{an}满足a1=1，14.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，已知角A=π3，b=4，若△ABC是锐角三角形，则△ABC的面积为S的取值范围为______；若△ABC是钝角三角形，则边a的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)求tan70°cos10°(3tan20°−1)+sin(−3π2)的值．

(2)已知函数f(x)=216.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(tanA+tanC)[cos(A−C)−cosB]=1，

(1)求B；

(2)若点P在△ABC内部，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，且△ABC的面积为23，

①求PA⋅17.(本小题15分)

设函数f(x)=x2−2tx+2，其中t∈R．

(1)若t=1，且对任意的x∈[0,a+2]，都有f(x)≤5，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的t∈[0,2]，都有f(x)≥7，求实数x的取值范围；

(3)若对任意的x1，x2∈[0,4]，都有18.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=3n2+5n，数列{bn}是等比数列，公比q>0，b1=6，b3=2a3+4．

(1)求数列{an}和{bn}19.(本小题17分)

定义运算：mㅤnpㅤq=mq−np，已知函数f(x)=lnxㅤx−11ㅤㅤa，g(x)=1x−1．

(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值；

(2)证明：(1+122)(1+132)(1+参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.A

8.D

9.AC

10.ABD

11.ACD

12.2log13.3

14.(23,815.解：(1)因为tan70°cos10°(3tan20°−1)+sin(−3π2)

=sin70°cos10°cos70∘⋅3sin20°−cos20°cos20°+1

=cos20°cos10°⋅2sin(20°−30°)sin20∘cos20∘+1

=−cos20°cos10°⋅2sin10°sin20∘cos20∘+1

=−sin20°sin20∘+1

=−1+1=0；

(2)由f(x)=2316.解：(1)因为cos(A−C)−cosB=cos(A−C)+cos(A+C)=2cosAcosC，

tanA+tanC=sinAcosA+sinCcosC=sinAcosC+cosAsinCcosAcosC=sin(A+C)cosAcosC=sinBcosAcosC，

所以由(tanA+tanC)[cos(A−C)−cosB]=1得sinBcosAcosC×2cosAcosC=1，

所以sinB=12，因为0<B<π，

所以B=π6或5π6；

(2)因为点P在△ABC内部，所以B<∠CPA=2π3，所以B=π6，

①设|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC得：

12xy⋅32+12yz⋅32+12xz⋅32=23，整理得xy+yz+xz=8，

则17.解：(1)当t=1时，f(x)=x2−2x+2，

由f(x)≤5⇒x2−2x+2≤5⇒−1≤x≤3，

由题意：[0,a+2]⊆[−1,3]，

所以0<a+2≤3⇒−2<a≤1．

所以a的取值范围为(−2,1]．

(2)对任意t∈[0,2]，x2−2tx+2≥7恒成立，

即−2tx+x2−5≥0，t∈[0,2]恒成立，

所以x2−5≥0x2−4x−5≥0⇒x≤−5或x≥5，

所以所求x的取值范围是：(−∞,−5]∪[5,+∞)．

(3)设函数f(x)在区间[0,4]上的最大值为M，最小值为m，

所以“对任意的x1，x2∈[0,4]，都有|f(x1)−f(x2)|≤8”等价于“M−m≤8”．

①当t≤0时，M=f(4)=18−8t，m=f(0)=2，

由M−m=18−8t−2=16−8t≤8，得t≥1，因此t∈⌀；

②当0<t≤2时，M=f(4)=18−8t，m=f(t)=2−t2，

由M−m=18−8t−(2−t2)=t2−8t+16=(t−4)2≤8，得4−218.解：(1)当n=1时，2S1=2a1=8⇒a1=4，

当n≥2时，2Sn=3n2+5n2Sn−1=3(n−1)2+5(n−1)，

所以an=Sn−Sn−1=3n+1，

显然a1符合上式，

所以an=3n+1，

由题意b3=2(3×3+1)+4=24=b1q2⇒q=2，

所以bn=b1qn−1=3⋅2n．

(2)(i)易知210=1024，211=2048>202419.解：(1)由题意知：f(x)=alnx−x+1，

∴f′(x)=ax−1(x>0)，

①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，不存在最大值；

②当a>0时，由f′(x)=0，得x=a，

当x∈(0,a)时，f′(x)>0；当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，

∴函数y=f(x)的单调增区间为(0,a)，单调减区间为(a,+∞)．

∴f(x)max=f(a)=alna−a+1=0，

令φ(a)=alna−a+1，

求导得φ′(a)=lna，

当a∈(0,1)时，φ′(a)<0，函数φ(a)单调递减，

当a∈(1,+∞)时，φ′(a)>0，函数φ(a)单调递增，

因此φ(a)max=φ(1)=0，

∴a=1；

(2