数学自主训练：正弦定理和余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自主广场我夯基我达标1.在△ABC中,A=60°，a=,则等于(）A。B.C.D。思路解析:由比例的运算性质，知=,由题意，已知A、a,可得。答案：B2.△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p=(a+c，b),q=（b—a,c—a)，若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D。思路解析:p∥q（a+c）（c-a）=b(b—a)b2+a2—c2=ab,利用余弦定理，得2cosC=1，即cosC=C=.答案:B3.在△ABC中，若,则△ABC是()A。直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D。等腰直角三角形思路解析：设=k，则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入,得。于是sinAcosB-cosAsinB=0,sin（A—B）=0,∴A=B.同理，B=C，C=A.答案:B4。在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=，a=,b=1,则c等于(）A.1B。2C.D.思路解析：由正弦定理，得sinB=，又a＞b，所以A＞B，故B=30°。所以C=90°。故c=2.也可以利用b2+c2—a2=2bccosA求解。答案：B5。在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c。若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8，则a∶b∶c=____________，∠B的大小是____________。思路解析：∵,sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,∴a∶b∶c=5∶7∶8。令a=5，b=7,c=8，则cosB=。∴∠B=.答案:5∶7∶86。在△ABC中,已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=____________.思路解析：已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理。由正弦定理,得，解得AC=。答案：7.已知钝角△ABC的三边a=k，b=k+2，c=k+4，求k的取值范围。思路分析:由三角形中大边对大角的性质,可知角C为最大角，即C为钝角，则cosC＜0,结合余弦定理可求解。注意已知三边a，b，c,必须首先能构成一个三角形，方法是两边之和大于第三边。解：∵c＞b＞a,∴角C为钝角.由余弦定理，得cosC=＜0。∴k2-4k—12＜0，即—2＜k＜6.又由三角形两边之和大于第三边，即k+(k+2)＞k+4,得k＞2.∴2＜k＜6.8。△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，角C等于角A的2倍，a+b=10,cosA=，求:（1）的值;(2)b的值。思路分析：由C=2A，得sinC=sin2A，利用二倍角公式结合正弦定理可求的值;利用余弦定理及的值联立求b.解：（1)∵C=2A，∴sinC=sin2A=2sinAcosA。由正弦定理,得=2cosA=2×=.(2）cosA==,又a+b=10,c=，联立，解得当a=5，b=5时,三角形为等腰三角形，由A=B及C=2A可得A=45°，这与cosA=矛盾，不合题意，∴b的值为。我综合我发展9.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。求证：。思路分析：分析所给的等式左右两边的差异，利用正弦定理、余弦定理实现边、角的统一.证明：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2—2accosB,得a2-b2=b2-a2—2bccosA+2accosB.整理,得。依正弦定理，有,，∴。10。在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,且.(1)求sinB;（2）若b=，且a=c，求△ABC的面积。思路分析:本题所给已知条件中，既有边又有角，第一个问题是求其中一内角的正弦,由此容易想到利用正弦定理、余弦定理，把已知条件中的边角之间的关系全部转化为角之间的关系，从而将问题解决.第二个问题容易想到利用三角形相应的面积公式，围绕着公式去考虑需要些什么条件.解:（1)由正弦定理得，又，即sinBcosC=3sinAcosB—sinCcosB，sin（B+C)=3sinAcosB。又sin（B+C)=sin(π—A）=sinA＞0,∴sinA=3sinAcosB。∴cosB=。又0＜B＜π，∴sinB=.（2)在△ABC中，由余弦定理，得a2+c2-ac=32,又a=c，∴=32，a2=24。∴S△ABC=。11。某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得公路上与C相距31千米的B处有一人正沿此公路向A走去,走20千米后到达D处，此时测得C、D间的距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？思路分析:此题主要涉及到方位角，对于方位角不仅要分清东南西北四个基本方向，而且对于一些方位术语也要有清楚的认识才行，否则就容易出错.此题画图分析较好.解：由题意,知∠CAD=60°，cosB=，sinB=.在△ABC中，AC==24。由余弦定理，得BC2=AC2+AB2—2AC·AB·cosA，即312=AB2+242-2·AB·24·cos60°。AB2-24AB—385=0，AB=35或-11（舍）。故AD=AB-BD=15千米，此人所在D处距A还有1512。在△ABC中，三个内角A、B、C及其对边a、b、c满足。(1)求角A的大小；（2)若a=6，求△ABC面积的最大值.思路分析：为了求角A的大小，可以把已知式子边角统一，显然由正弦定理边化角容易实现;要求三角形面积的最大值，需把此面积表示出来，根据三角形的面积公式，转化为求BC的最大值,根据余弦定理可以解决。解：（1）根据正弦定理，已知等式可化为，∵A+B+C=180°，∴,sinB=sin（A-B）-sin（A+B）=sinAcosB-cosAsinB—sinAcosB—cosAsinB=-2cosAsinB。又sinB≠0，∴cosA=,A=120°.（2)根据余