第二章-控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型主要内容1.系统微分方程的建立及非线性方程的线性化2.传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数3.系统传递函数方框图及简化4.相似原理控制理论的研究对象：

系统、输入、输出三者之间的动态关系。

描述系统这种动态关系的是系统的数学模型，经典控制理论内系统的数学模型有两种：1、微分方程：时域——求解困难2、传递函数：复频域——求解方便，便于直接在复频域中研究系统的动态特性主要内容小节

补充—数学基础§2-1系统的微分方程

§2-2传递函数§2-3典型环节的传递函数§2-4系统传递函数方框图及其简化§2-5传递函数方框图变换§2-1系统的微分方程模型静态模型实物模型物理模型数学模型动态模型代数方程微分方程或差分方程分析法实验法§2-1系统的微分方程分析法：

对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。实验法：

人为施加某种测试信号，记录输入输出数据，并用适当的数学模型去逼近—系统辩识。黑匣子输入（已知）输出（已知）§2-1系统的微分方程

深入了解元件及系统的静态和动态特性，准确建立它们的数学模型。建立数学模型（建模）：数学模型的几种表示方式时域模型：微分方程、差分方程、状态空间表达式频域模型：复域模型:传递函数、动态结构图、信号流图频率特性§2-1系统的微分方程数学分析法：用微分方程的求解、分析系统的方法。工程分析法：把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法。§2-1系统的微分方程由数学模型确定系统性能的主要途径求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换s=jω频率特性§2-1系统的微分方程一、线性定常系统及叠加原理1．系统、输入、输出三者关于的微分方程的标准形式：式中：xo(t)——系统输出；xi(t)——系统输入§2-1系统的微分方程2．根据系统微分方程对系统进行分类1）线性系统：方程只包含变量xo(t)、xi(t)的各阶导数

a．线性定常系统：an…a0

；bm…b0为常数b．线性时变系统：an…a0

；bm…b0为时间的函数2）非线性系统：方程中含有非xo(t)、xi(t)各阶导数的其它函数形式§2-1系统的微分方程例：Xi1(t)Axo1(t)Xi1(t)→xo1(t)Xi2(t)Axo2(t)Xi2(t)→xo2(t)Xi1(t)AXi2(t)xo1(t)xo2(t)aXi1(t)+bXi2(t)→axo1(t)+bxo2(t)3．线性系统满足叠加原理...)()()()(20ootXtXtXtXi=++

非线性系统)()(sin)()(oootXtXtXtXi=++

非线性)()(4)(2)(oootXtXtXtXi=++

线性

时不变（LTI）......§2-1系统的微分方程叠加原理的意义：

对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。因此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。§2-1系统的微分方程分析系统的工作原理，确定每一环节的输入量和输出量。第1步按照信号的传递顺序，从系统输入端开始，根据各变量遵循的运动规律，列出运动过程中各个环节的动态微分方程。第2步对非线性项应进行线性化处理。第5步消除所建立各微分方程的中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程第3步一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程右侧，各阶导数项按降幂排列，整理系统或元件的微分方程第4步二、列写系统微分方程的基本步骤力学—牛顿定律电学—基尔霍夫定律负载效应§2-1系统的微分方程*非线性微分方程的线性化为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难；线性微分方程理论比较成熟。三、非线性微分方程线性化（略）§2-1系统的微分方程小偏差线性化：用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（xo,y0)附近变化，即(输出量单变量)

x=xo+△x,y=y0+△y二、近似处理略去高阶无穷小项三、数学方法§2-1系统的微分方程

非线性系统输出z(t)是两个变量x(t)和y(t)的函数，即z=f(x,y)

1）确定工作点 P(x0,y0,z0)2）在工作点附近展开成泰勒级数并忽略高阶项L+D¶¶+D¶¶+==yyfxxfyxfyxfZyxoo,00),(),(yx

oo,D¶¶+D¶¶yyfxxfyxfyxoo,oo),(yxoo,==),(),(ooyxfyxfZ-=DD¶¶+D¶¶yyfxxfyxoo,yxoo,=yKxKzyxD+D=DyKxKzyx+=，

传递函数是描述系统动态关系的另一种数学模型，是经典控制理论对线性系统进行研究、分析与综合的基本数学工具，是时域分析、频域分析及稳定性分析的基础，也是经典控制理论进行系统综合设计的基础。因此，十分重要！§2-2传递函数一、定义对于单输入、单输出线性定常系统，当输入输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统的微分方程为：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--···)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--···式中：an…a0,bm…b0

均为常系数x0(t)为系统输出量，xi(t)为系统输入量§2-2传递函数若输入、输出的初始条件为零，即0)0()(o=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…对微分方程两边取拉氏变换得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(o011sXasasannnn+++--L则该系统的传递函数G(s)

为：0110110)()()(asasassbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）§2-2传递函数传递函数方框图：G(s)xi(s)xo(s)1）列出系统微分方程（非线性方程需线性化）2）假设全部初始条件均为零，对微分方程进行拉氏变换3）求输出量和输入量的拉氏变换之比——传递函数求传递函数的步骤：§2-2传递函数令初始条件均为零，方程两边取拉氏变换())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴例:质量——弹簧——阻尼系统

)()()()(tftkytyctym=++...§2-2传递函数y(t)f(t)mkcL—R—C电路系统RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...§2-2传递函数§2-1系统的微分方程数学模型的概括性：许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。数学模型表达了这些系统的共性。数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。§2-1系统的微分方程数学模型相同的各种物理系统称为相似系统；在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中。可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统。相似系统和相似变量1、传递函数和微分方程是一一对应的微分方程：在时域内描述系统的动态关系（特性）

传递函数：在复频域内描述系统的动态关系（特性）2、传递函数只取决于系统本身的固有特性，与外界无关。二、传递函数的性质和特点§2-2传递函数3、若输入给定，则输出完全取决于传递函数

4、不同物理系统（机械、电气、液压）可能能用相同数学模型描述的系统——相似系统应用意义：可用模拟机进行系统研究用形式相同的传递函数来描述——相似原理5、分母阶次常高于分子阶次（n≥m）G(s)Xi(s)Xo(s)§2-2传递函数传递函数为复变函数，故有零点和极点。)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsG------=......零点：使G(s)=0的s值（分子为0）

极点：使G(s)分母为零的s值

G(s)的零极点分布决定系统响应过渡过程。三、传递函数的零点和极点§2-2传递函数§2-3典型环节的传递函数1、比例环节（放大环节）凡输出量与输入量成正比，不失真也不延时的环节称比例环节。)()(otKxtxi=微分方程：

KsXsxsGi==)()()(o传递函数：

，K：放大系数（增益）

方框图：KXi(s)Xo(s)°R1R2°u0(t)+ui(t)+引入“虚地”概念+运算放大器ui(t)——输入电压uo(t)——输出电压R1、R2——电阻)()(12otuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏变换：已知：-=-==1212o)()()(RRKRRsUsUsGi则例：§2-3典型环节的传递函数弹簧受力如图：y(t)Kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：§2-3典型环节的传递函数时域内，用一阶微分方程表示的环节)()()(ootKxtxtxTi=+·微分方程：

传递函数：

1)()()(o+==TsKsXsXsGi方框图：xi(s)xo(s)1+Tsk

当输入为单位阶跃函数时，惯性环节的输出将按指数曲线上升。（为什么？请同学们思考）K：增益；T：时间常数2．一阶惯性环节§2-3典型环节的传递函数R—C电路如图RCu0iui=+=òdtiCuuiRui1oo1)()()(o==RCs+1sUsUsGi例：)()()(ootututuRCi=+.§2-3典型环节的传递函数

时域内，输出量正比于输入量的微分的环节。微分环节：

传递函数：G(s)=Ts

)()(otxTtxi·=T：时间常数方框图：TsXi(s)Xo(s)3.微分环节§2-3典型环节的传递函数时域内，输出量正比于输入量对时间的积分的环节。TssG1)(=传递函数：

ò=o)(1)(dttxTtxi微分方程：

T：积分时间常数方框图：Xi(s)Xo(s)Ts14．积分环节§2-3典型环节的传递函数有源积分网络ui(t)—输入电压uo(t)—输出电压R—电阻C—电容dttduCRtui)()(o-=已知：拉氏变换：

)()(1osusCsuRi-=sKsRCRCssG=-=-=\11)(例：Ruo(t)ui(t)C+§2-3典型环节的传递函数时域内，以二阶微分方程描述的环节。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++‥‥x微分方程：

)()()12(022sXsXTssTi=++x传递函数：

121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振荡环节的时间常数ωn：无阻尼固有频率ξ：阻尼比5．振荡环节§2-3典型环节的传递函数m—k—c系统：R—L—C电路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框图：xi(s)xo(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...§2-3典型环节的传递函数时域内，输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入的环节。微分方程：

)()(0t-=txtxi传递函数：

)()(osXesXiSt-=siesXsXsGt-==\)()()(o方框图：e-τsXi(s)Xo(s)6．延时环节§2-3典型环节的传递函数§2-4系统传递函数方框图及其简化一、系统传递函数方框图

用传递函数方框将控制系统全部变量联系起来,描述各环节之间的信号传递关系的图形,称为系统传递函数方框图（也叫结构图）。它是用图形表示的系统模型。它不同于物理框图，主要着眼于信号的传递。

x信号线：xx

分支点：(s)iXo(s)X(s)G方框：x1x1x比较点：方框图的组成：信号从某点分开，相加减（相减标注负号）两个或两个以上的信号

(大小和性质不变)表示系统中信号流动方向（单向）表示输入和输出信号的传递关系1．环节的串联xi(s)G1(s)X1(s)G2(s)xo(s)xi(s)G(s)xo(s))()(1sXsX1)()(0sXsXi=)()()(0sXsXsGi=)()(2sGsG1=Õ==niisGsG1)()(二、环节的串联、并联的等效规则§2-4系统传递函数方框图及其简化)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=å==niisGsG1)()(xi(s)G1(s)G2(s)xo(s)xo2(s)xo1(s)++2．环节的并联（输入相同，输出相同）若这里的+改为-的话？§2-4系统传递函数方框图及其简化gxi(t)ε(t)xo(t)-xb(t)hG(s)xi(s)E(s)xo(s)-XB(s)H(s)1、偏差信号：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=2、前向通道传递函数G(s))()()(0sEsXsG=3、反馈通道传递函数H(s))()()(0sXsXsHB=三、开环与闭环传递函数§2-4系统传递函数方框图及其简化)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===

可理解为：

相加点断开后，以E(s)为输入，XB

(s)为输出的传递函数。5、闭环传递函数GB(s)：)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+==4、开环传递函数GK(s)：§2-4系统传递函数方框图及其简化)(0)(sEsX)(sG=)]()([(sXsXsGBi-=)]()()()[(0sHsXsXsGi-=)()()()()(0sHsGsXsGsXi-=)()()()]()(1[0sXsGsXsHsGi=+)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB+==开环传递函数前向通道传递函数+=1推导：)§2-4系统传递函数方框图及其简化对于正反馈：)()(1)()(sHsGsGsGB-=对于单位反馈：H(s)=1G(s)xi(s)xo(s)-+1)(1)()(sGsGsGB+=§2-4系统传递函数方框图及其简化各种电器设备对电视机的干扰扰动四、具有干扰信号的系统传递函数§2-4系统传递函数方框图及其简化

在控制系统中，除控制信号（输入给定值）外，其它对输出能产生影响的信号。扰动（干扰信号）：环境造成的干扰因素。如：影响自行车行驶速度的变化的自然风。人为导致的干扰因素。如：影响飞机导航信号的手机信号。§2-4系统传递函数方框图及其简化G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)考虑扰动的反馈控制系统的典型方框图如下：线性系统遵循叠加原理§2-4系统传递函数方框图及其简化G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)令N(s)=0xoi(s)1）N(s)=0,xi(s)引起的输出xoi(s)sGxi)(=sXi)(sX0i)(=1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(sX0i)(sGxi)(=sXi)(=sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(§2-4系统传递函数方框图及其简化-1G1(s)xi(s)N(s)-+++G2(s)H(s)xo(s)令xi(s)=0xoN(s)G2(s)N(s)+G1(s)H(s)+xoN(s)-12）xi(s)=0，N(s)单独作用引起的输出xoN(s)sGN)(=sN)(sX0N)(=1-2Gs)(()HGG21s)(s)(s)(-sX0N)(sGN)(=sN)(=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sN)(=12Gs)(HGG21s)(s)(s)(+-§2-4系统传递函数方框图及其简化3）系统总的输出=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sX0N)(sGN)(=sN)(=sN)(+sX0N)(sX0i)(sGxi)(=sXi)(=sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(sX0i)(sX0)(sXi)(1+GG21s)(s)(HGG21s)(s)(s)(=1+G2s)(HGG21s)(s)(s)(sN)(+HGG21s)(s)(s)(>>1若s)(sN)(1+G2HGG21s)(s)(s)(≈s)(sN)(G2HGG21s)(s)(s)(HG1s)(s)(>>1且≈sN)(1HG1s)(s)(δsN)(系统抗干扰性较强

§2-4系统传递函数方框图及其简化小结：3）干扰时刻存在，采用反馈控制的系统，适当合理的选择元部件的结构参数，可以增强系统抗干扰的能力。1）扰动会对系统的输出产生影响2）利用系统方框图的转换和等效化简原则，对带扰动的反馈控制系统的闭环传递函数的分析可以求解其输出组成§2-4系统传递函数方框图及其简化§2-5传递函数方框图变换通过方框图的变换，可使系统方框图简化，求出系统的传递函数。一、等效变换规则：输入输出不变，总传递函数不变。1）串联规则：xi(s)G1G2xo(s)xi(s)G1G2xo(s)2）并联规则：xi(s)G1G2xo(s)xi(s)G1±G2xo(s)+±三个基本等效原则3）反馈规则：xi(s)+Gxo(s)xi(s)Gxo(s)H+1±GH§2-5传递函数方框图变换二个变换等效原则1）分支点移动规则分支点前移规则：分支路上串入相同的传递函数方框XGXGXGXGGXGXG分支点后移规则：分支路上串入相同传递函数的倒数的方框XGXGX§2-5传递函数方框图变换2）相加点移动规则相加点前移规则：GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-XGXGX1GX1相加点后移规则GX1X2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-§2-5传递函数方框图变换A++A+B-CB+C-A++A-C+BC+B-4）相加点分离规则B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C3）相加点交换规则A+BA-CA+B-C=A-C+B5）反馈方框化为单位反馈xi+-HGxoxi1H+GHxo-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111总1）解除方框图中的交叉联系（结构）2）按等效规则，先环内后环外逐步使方框得到简化3）求传递函数二、方框图的简化及系统传递函数的求取§2-5传递函数方框图变换xoＸi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C解：

1）相加点C前移（再相加点交换）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦxo+1G1H2-+例1：§2-5传递函数方框图变换2）内环简化3）内环简化Ｘi+A-ＥＦxo1G1H2-C+G1G2·G31-G1G2H1Ｘi+Ｆ(E)xo-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2§2-5传递函数方框图变换1—G1G2H1+G2G3H2+G1G2G34）总传递函数ＸixoG1G2G31）分支点E前移Ｘi+A+G1+H2G3H1G2G3D-Ｆxo-+C（E）解2：§2-5传递函数方框图变换2）内环简化3）内环简化Ｘi++G1H1G3Ｆxo-+1+G2G3H2G2Ｘi+G3Ｆxo-G1G21+G2G3H2—G1G2H1§2-5传递函数方框图变换4）总传递函数ＸixoG1G2G31+G2G3H2—G1G2H1+G1G2G3

含有多个局部反馈的闭环系统中，当满足下面条件时1）只有一条前向通道2）各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框å+=][1)(

每一反馈回路的开环传递函数前面通道的传递函数的乘积SGB则：各局部反馈：正反馈——取-;负反馈——取+结论：§2-5传递函数方框图变换由系统传递函数的方框图可知1．只有一条前面通道：G1G2G32．存在三个局部反馈回路，且两两都具有公共传递函数方框（或公共节点）3212321213211)(GGGHGGHGGGGGSGB++-=\解3：§2-5传递函数方框图变换å+=][1)(

每一反馈回路的开环传递函数前面通道的传函之积SGB求下图所示系统总传递函数xi(S)+G1+H1-G2xo(S)H2GIGI-解：此例不能运用上述结论∵两个局部反馈回路没有公共传递函数方框例2：§2-5传递函数方框图变换xi(s)GIGIIxo(s)

∴22211111HGGHGGGGGIII++==

22112211211HGHGHGHGGG+++=1111HGGGI+=2221HGGGII+=又：§2-5传递函数方框图变换——信号流图的符号及术语１.信号流图的符号

节点：系统中的一个变量（信号）称为节点，用小圆圈“”表示。支路：连接两节点的线段称为支路，用“→”表示，其中的箭头方向表示信号的传递方向。

增益：标注在支路旁的两个变量之间的数学关系，称为支路的增益，也称为传输。增益可以是常数，也可以是复函数。当增益为１时，可以省略。节点支路增益§2-6信号流图２.信号流图的术语

输入节点：只有输出支路的节点叫做输入节点。它对应于自变量。

输出节点：只有输入