初一-第03讲-整式的乘法与平方差公式(提高)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第03讲---整式的乘法与平方差公式授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建一、知识框架二、知识概念（一）整式的乘法1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式）（二）平方差公式1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式的推导：。平方差公式的逆用即平方差公式的特点：（1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方）（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。2、平方差公式的几何意义如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。典例分析典例分析考点一：整式的乘法例1、下列运算正确的是（）A．（x2）3+（x3）2=2x6 B．（x2）3•（x2）3=2x12 C．x4•（2x）2=2x6 D．（2x）3•（﹣x）2=﹣8x5【解析】A例2、下列计算正确的是（）A．（﹣2a）•（3ab﹣2a2b）=﹣6a2b﹣4a3bB．（2ab2）•（﹣a2+2b2﹣1）=﹣4a3b4C．（abc）•（3a2b﹣2ab2）=3a3b2﹣2a2b3D．（ab）2•（3ab2﹣c）=3a3b4﹣a2b2c【解析】D例3、若（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）则求m+n的值．【解析】解：（am+1bn）（a2m﹣1b2n）=a3mb3n=a5b6m=，n=2，m+n=+2=例4、“三角”表示3abc，“方框”表示﹣4xywz，则=【解析】根据题意得：原式=9mn×（﹣4n2m5）=﹣36m6n3。故答案为：﹣36m6n3例5、计算：（1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2（2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103）（3）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）（4）anb2[3bn﹣1﹣2abn+1+（﹣1）2003]【解析】（1）原式=a2b4（2）原式=3×1017（3）原式=﹣3x3y3+2x2y4+xy5（4）原式=3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2例6、若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值【解析】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，∴P﹣3=0，qp+1=0∴p=3，q=﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2=35例7、已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．【解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2∵多项式不含二次项∴3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8.75考点二：平方差公式例1、下列等式成立的是（）A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4 B．2a2﹣3a=﹣a C．a6÷a3=a2 D．（a2）3=a6【解析】D例2、已知a=20162，b=2015×2017，则（）A．a=b B．a＞b C．a＜b D．a≤b【解析】B例3、下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（2a﹣b） B．（2a+b）（b﹣2a） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（2a﹣b）（﹣2a﹣b）【解析】C例4、计算：（1）（x+2）（x﹣2）（x2+4）（2）（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）（3）（4）4002﹣399×401（5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y）（6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y）【解析】（1）原式=x4﹣16（2）原式=﹣b2+4ab（3）原式=12.32（4）原式=1（5）原式=13x2﹣25y2（6）原式=5x2-2y2例5、若（N+2005）2=123456789，求（N+2015）（N+1995）的值．【解析】解：∵（N+2015）（N+1995）=[（N+2005）+10][（N+2005）﹣10]=（N+2005）2﹣102（N+2005）2=123456789∴原式=123456789﹣100=123456689例6、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数．【解析】解：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4，∴（10x+6）2﹣（10x+4）2=220解得：x=5∴这个两位数分别是56和54考点三：平方差公式的几何意义例1、乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算：①10.3×9.7②（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）【解析】（1）a2﹣b2（2）宽是：a﹣b，长是：a+b，面积是：（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）=[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]=x2﹣（2y﹣3）2=x2﹣（4y2﹣12y+9）=x2﹣4y2+12y﹣9例2、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∴S1=a2﹣b2S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；（2）根据题意得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2例3、如图，边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式【解析】先求出梯形的高为（a﹣2b），再根据四个梯形的面积列出等式整理即可得证．证明：∵四个梯形是全等梯形，∴梯形的高为∴四个梯形的面积=4××（a+b）×=a2﹣b2整理得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列运算中，正确的是（）A．2x4﹣3x2=﹣x2 B．2x4+3x2=5x6 C．2x4•3x2=6x8 D．2x4•3x2=6x6【解析】D2、设（xm﹣1yn+2）•（x5my﹣2）=x5y3，则nm的值为．【解析】解：∵（xm﹣1yn+2）•（x5my﹣2）=xm﹣1+5myn+2﹣2=x5y3∴m﹣1+5m=5，n+2﹣2=3解得m=1，n=3∴nm=31=33、某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？【解析】这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x24、若（x2+ax+1）•（﹣ax3）的展开式中，不含有x4项，则3a﹣1的值为【解析】解：（x2+ax+1）（﹣ax3）=﹣ax5﹣a2x4﹣ax3展开式中不含x4项，则a2=0∴a=0∴3a﹣1=1﹣1=05、计算：（1）（﹣4xy3）•（xy）+（﹣3xy2）2（2）3（3m﹣n）2•（3m﹣n）3•（n﹣3m）（3）（4）（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1）（5）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）（6）（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）【解析】（1）原式=7x2y4（2）原式==﹣（3m﹣n）6（3）原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z（4）原式=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y（5）原式=3x2﹣6x+2（6）原式=x3﹣2x2﹣2x+46、当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？【解析】x[x（x+m）+nx（x+1）+m]=x（x2+mx+nx2+nx+m）=（1+n）x3+（m+n）x2+mx，根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n=0，m+n=0，解得：m=1，n=﹣17、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值【解析】解：原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x2﹣3nx2=（m+3﹣3n）x2含x3的项是：﹣3x3+nx3=（n﹣3）x3由题意得：，解得8、化简求值：已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．【解析】（x+a）（x﹣）=x2+ax﹣x﹣a=x2+（a﹣）x﹣a由题意得a﹣=0则a=（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5当a=时，原式=4×+5=119、如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2、（a+b）（a﹣b）．（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【解析】（1）∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，故图（1）阴影部分的面积值为：a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）（2）以上结果可以验证乘法公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1=264﹣1+1=264课后反击1、下列各题，计算正确的是（）A．﹣3a2•4a3=﹣12a6 B．（x3）2=x9C．（﹣3m3）3=﹣9mx9 D．（﹣xn）2=x2n【解析】D2、化简：3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]【解析】原式=3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4]=3（y﹣x）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（y﹣x）4]=3×（﹣）×（﹣）×（y﹣x）9=（y﹣x）93、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．2a（a+b）=2a2+2ab D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2【解析】C4、计算：（1）（﹣a2b）（b2﹣a+）（2）﹣6a3b•（﹣2ab2c）（3）﹣2a2b（3ab2﹣ab﹣1）（4）（5a2﹣a+1）（﹣3a2）【解析】（1）原式=﹣a2b3+a3b﹣a2b（2）原式=12a4b3c（3）原式=﹣6a3b3+2a3b2+2a2b（4）原式=﹣15a4+a3﹣3a25、某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【解析】∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a=a2+4a﹣1，∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）=﹣2a3﹣8a2+2a6、（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣【解析】解：（1）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24﹣1）（24+1）…（22n+1）+1=24n﹣1+1=24n（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（34028﹣1）﹣=﹣7、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），给出以下关系式：①x+y=m；②x﹣y=n；③xy=．其中正确的关系式的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】