新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

人教B选择性必修第一册全册练习题文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。第一章空间向量与立体几何 -2-1.1空间向量及其运算 -2-1.1.1空间向量及其运算 -2-1.1.2空间向量基本定理 -9-1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 -17-1.2空间向量在立体几何中的应用 -25-1.2.1空间中的点、直线与空间向量 -25-1.2.2空间中的平面与空间向量 -32-1.2.3直线与平面的夹角 -45-1.2.4二面角 -53-1.2.5空间中的距离 -71-第一章综合测验 -81-第二章平面解析几何 -95-2.1坐标法 -95-2.2直线及其方程 -102-2.2.1直线的倾斜角与斜率 -102-2.2.2直线的方程 -108-2.2.3两条直线的位置关系 -119-2.2.4点到直线的距离 -126-2.3圆及其方程 -134-2.3.1圆的标准方程 -134-2.3.2圆的一般方程 -140-2.3.3直线与圆的位置关系 -147-2.3.4圆与圆的位置关系 -154-2.4曲线与方程 -162-2.5椭圆及其方程 -168-2.5.1椭圆的标准方程 -168-2.5.2椭圆的几何性质 -176-2.6双曲线及其方程 -186-2.6.1双曲线的标准方程 -186-2.6.2双曲线的几何性质 -194-2.7抛物线及其方程 -202-2.7.1抛物线的标准方程 -202-2.7.2抛物线的几何性质 -209-第二章综合训练 -217-第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是()A.向量AB与B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案A2.下列向量的运算结果为零向量的是()A.BC+AB BC.MP+GM+答案C3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3答案B解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为(A.a2 B.12aC.14a2 D.34答案C解析AE·AF==14=14a×a×12+a×a×12=14a5.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积一定为零的是()A.PC与BD BC.PD与AB D答案BCD解析PC·BD=(PA+AB+=PA·BA+AB·BA+BC·BA+PA·因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即PA·CD又因为AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以DA·PB=0,同理PD·AB=0,因此B,C,D中的数量积均为06.设e1,e2是平面内不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则k=.

答案-87.化简:12(a+2b-3c)+523a-12b+23c-3(答案56a+92b-8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为.

答案11解析|AC'|2=|AB+BC+CC'|2=AB2+BC=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'|=119.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:AB+CB+AD证明左边=(AB+AD)+(=2AF+2CF=2(AF+CF)=4EF=右边,10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求<CE,AF>(2)求证:BD(1)解AF=因为AB·AD=0,AB·AA所以CE·AF=AA1-1=12又|AF|=|CE|=52,所以cos<CE,AF(2)证明BD1=所以BD1·EF=11.已知空间向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),则|a-b|的最小值为()A.2 B.3 C.2 D.4答案C解析∵a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),∴a-b=(2,1-t,t-1),则|a-b|=22∴当t=1时,|a-b|取最小值为2.故选C.12.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.钝角三角形 D.锐角三角形答案B解析因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,13.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.62 B.6 C.12 D.144答案C解析因为PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2PA·AB+2PA·BC+214.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为.

答案③解析对于①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且AP=λAB,若CP·AB=PA·PB,答案1-2解析设|AB|=a(a>0),由题知,0<λ<1.如图,CP=-AC=-AC+λAB,故CP·AB=(λAB-=λ|AB|2-|AB||AC|cosA=a2λ-12a2PA·PB=(-λAB)·(1-λ=λ(λ-1)|AB|2=λ(λ-1)a2,则a2λ-12a2=λ(λ-1)a2解得λ=1-22λ=1+22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB,AC,BD表示CD=,|CD答案AB-AC+解析∵CD=∴CD2=(AB-=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD-2AC·BD=1617.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E,点F为D'C'上一点,且D'F=23D'C'(1)化简:12(2)设点M是底面ABCD的中心,点N是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN=αAB+βAD+γAA',试求α,β,γ解(1)由AA'的中点为E,得12又BC=A'D'因此23AB=2(2)MN=MB+BN=12DB+34BC'=12(DA+AB)+34(BC+CC'18.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=(1)试用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解(1)MN=13BA1+AB+1=13a+13b+(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=所以|MN|=13|a+b+c|=53,即MN=19.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.解由AC⊥α,可知AC⊥AB,过点D作DD1⊥α,D1为垂足,连接BD1,则∠DBD1为BD与α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因为AC⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,所以<CA,DB>=60°,所以<CA,BD>=120°所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+因为BD⊥AB,AC⊥AB,所以BD·AB=0,AC·故|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,所以|CD|=25,即CD的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的上方),则边BC上是否存在点Q,使PQ⊥解假设存在点Q(点Q在边BC上),使PQ⊥连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.又PQ=所以PQ·QD=又PA·QD=0,所以AQ·QD=即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为a2又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意当a2>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意当a2<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意综上所述,当a≥2时,存在点Q,使PQ⊥当0<a<2时,不存在点Q,使PQ⊥1.1.2空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,A1D1=b,A1A=A.-12a+12b+c B.12a+1C.12a-12b+c D.-12a-1答案A解析B1=c+12(-a+b)=-12a+12b2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6OP=OA+2OB+3OC,则(A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面答案B解析由6OP=OA+2OB+3OC,得OP-OA=2(OB-OP)+3(OC-OP),即∴AP,PB,PC共面.又三个向量的基线有同一公共点P,∴P,A,B3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有OM=xOA+13OB+13A.1 B.0 C.3 D.1答案ABC解析∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四点共面,∴4.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A解析因为AD=AB+BC+CD=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故AD∥AB,又AD与AB有公共点5.下列说法错误的是()A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·aC.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c答案C解析A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误;D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C.6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,实数k=.

答案1解析∵AD=AB+BC+CD=7e1+且AB与AD共线,故AD=x即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又e1,e2不共线,∴7-x=0,k+6-7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为.

①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.答案①②解析c与a,b共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA=a,OC=b,OO'=c(1)用a,b,c表示向量AC'(2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示GH.解(1)AC'=AC(2)GH=GO=-12(OB+=-12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.∵a,b,c不共面,∴2λ-即存在实数λ=53,μ=13,使p=λq+μ∴p,q,r共面.10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断CE与MN解∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴MN=又MN=MC+∴12CA+∴CE=CA+2AF+FB=2(MA+∴CE∥MN,即CE11.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,OA=a,OB=b,OC=c,向量OD=xa+yb+zc,则x,y,z分别是()A.1,-1,2 B.-12C.12,-12,1 D.12,-1答案C解析OD=OC+CD=OC+12BA=OC+12(OA-OB)=112.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG=xAB-2yBC+3zDH,则x+y+z等于()A.76 B.23 C.34答案D解析由于AG=AB+BC+CG=AB+BC+DH,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故13.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内答案ABD解析PM=PB1+7BA+6=PB1+BA+6=PB1+B1A=PA1+6(PA1-=11PA1-6PB-4PD1,且11-6于是M,B,A1,D1四点共面.14.已知空间单位向量e1,e2,e3,e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,若空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,则x+y+z=,|m|=.

答案834解析因为e1⊥e2,e2⊥e3,e1·e3=45,空间向量m=xe1+ye2+ze3满足:m·e1=4,m·e2=3,m·e3=5,所以即x+4所以x+y+z=8,|m|=34.15.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.

答案-1解析OA=2xBO+3yCO+4zDO=-2xOB-3yOC-4zOD.由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1,即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若AE=12OD+xOB+yOA,求x解因为AE=-OA+12=-OA+12(OD+AB所以x=12,y=-317.已知非零向量e1,e2不共线,如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明证法一:令λ(e1+e2)+μ(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0,则(λ+2μ+3v)e1+(λ+8μ-3v)e2=0.∵e1,e2不共线,∴λ易知λ=-则-5AB+AC+AD=0.∴A,B,C证法二:观察易得AC+AD=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=5e1+5e2=5(e1+e2)=5∴AB=由共面向量知,AB,AC又它们有公共点A,∴A,B,C,D四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.证明B=B1∵O是B1D1的中点,∴B1O+D1O∴B1C,OC1,OD共面,且B∴B1C∥平面ODC1.19.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=证明∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴AE=∴EH=又FG=CG-CF=23∴EH∥FG,|EH|=3∵点F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.20.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=k求证:(1)点E,F,G,H共面;(2)直线AB∥平面EFGH.证明(1)∵OA+AB=OB,∴kOA+k而OE=kOA,OF=kOB,∴OE+k又OE+EF=OF,∴同理,EH=kAD,EG=k∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=∴EGk=EFk又它们有同一公共点E,∴点E,F,G,H共面.(2)由(1)知EF=kAB,∴AB∥EF,即AB∥EF.又AB⊄平面∴AB与平面EFGH平行,即AB∥平面EFGH.1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则向量b等于()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)答案B2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=5,且a⊥b,则x+y的值为()A.-2 B.2C.-1 D.1答案C解析由题意得1即x=0,y=3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.10 B.-10C.25 D.±10答案D解析CB=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k),则CB·CA=(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案A解析AB=(3,4,2),AC=(5,1,3),BC=(2,-3,1).由AB·AC>0,得A为锐角;由CA·CB>0,得C为锐角;由BA·BC>0,得B为锐角5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θθ≠π2角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM的反射坐标,记为OM=(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1)A.a-b=(-1,3) B.|a|=3C.a⊥b D.a∥b答案AB解析a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b=(-1,3),故A正确;|a|=(e1+2e2a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2e12+3e1·e2-2e22=-32D显然错误.6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.

答案4解析由题意知a∥b,所以x1=x把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当x=-2,y=-6时,b=(-2,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.当x=1,y=3时,b=a与b同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.

答案-∞,-65∪-65,52解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-525<0,所以t<52若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ-2,t,-25,所以5=-2故t的取值范围是-∞,-65∪-65,52158.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,求Q解设OQ=λOP,则QA=OA-OQ=OA-λOP=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=OB-λOP=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)当λ=43时,QA·QB取得最小值,此时点Q的坐标为49.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M为BC1的中点,试用向量AA1,(3)求cos<AB1解(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(-3,1,h),因为AB1所以AB1·BC1=-3+1+h2(2)AM=AB+BM=AB+(3)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(-所以AB1·BC=-3+1=-2,|AB1|=6,|BC|=2,所以cos<10.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则()A.AP⊥AB B.AP⊥BPC.BC=53 D.AP∥BC答案AC解析AP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,即AP⊥AB,BP=BA+AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP·AP=3+6-3=6≠0,∴AP与BPBC=AC-AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC|=62假设AP=kBC,则1=6k,-2=k,1=-4k,无解,因此假设不成立11.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),若OA+λOB与OB(O为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为(A.66 B.-66 C.±66 D答案B解析∵OB=(0,-1,1),OA+λOB=(1,-λ,λ),cos120°=(OA+λAB)·OB|OA+λOB||OB|12.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AB在AC上的投影为答案-4解析∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),∴cos<AB,AC=-205AB在AC上的投影为|AB|cos<=42+(-5)2×-13.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是.

答案(1,-2,0)14.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP=12(AB-AC答案5解析∵CB=(6,3,-4),设P(a,b,c),则(a-2,b+1,c-2)=3,∴a=5,b=12,c=0,∴P515.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos<AC,PB(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,12,1,从而AC=(3,1,0),PB=(3,0,-2).则cos<AC,PB=327=3714.∴(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则NE=-x,12,1-z,由NE⊥平面PAC可得,NE即(化简得z即N点的坐标为36,0,1.16.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以向量AB,AC(2)若|a|=3,且向量a分别与向量AB,AC垂直,求向量解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),设θ为AB,AC则cosθ=AB·AC|AB||AC|=-2+3+64+1+9·1+9+4=12,∴sinθ=∴以AB,AC为边的平行四边形面积为7(2)设a=(x,y,z),由题意,得-解得x∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算(AB×AD)·AP的绝对值;说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB×AD)(1)证明AP·AB=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4∴AP⊥AB,即AP⊥AB.同理,AP·AD=(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=即PA⊥AD.又AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD.(2)解|(AB×AD)·AP又cos<AB·AD>=|AB|=21,|AD|=25,|AP|=6,V=13|AB|·|AD|·sin<AB·AD>·|AP|=16,可得|(AB×AD)猜测:|(AB×AD)·AP|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积18.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AM⊥BN,建立空间直角坐标系.(1)求AA1的长;(2)求<BN,A(3)对于n个向量a1,a2,…,an,如果存在不全为零的n个实数λ1,λ2,…,λn,使得λ1a1+λ2a2+…+λnan=0成立,则这n个向量a1,a2,…,an叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM,BN,CD解(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AA1的长为a,则B(4,4,0),N(2,2,a),BN=(-2,-2,a),A(4,0,0),M2,4,a2,AM=-2,4,a2,由BN⊥AM(2)BN=(-2,-2,22),AD1=(-4,0,2cos<BN,AD<BN,AD1(3)由AM=(-2,4,2),BN=(-2,-2,22),CD=(0,-4,0),λ1(-2,4,2)+λ2(-2,-2,22)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM,BN1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量1.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ=24=32.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是()A.[0,π] B.(0,π)C.0,π2答案C解析根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是0,3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BD B.AC C.A1D D.A1A答案A解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12,12∴CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A∵CE·BD=(-1)×12+(-1)×-12+0×1CE·AC=-1≠0,CE·A1D=-32∴CE⊥BD.4.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1⊥a2,则l1与l2的位置关系为.

答案垂直5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值.解不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD则A(1,0,0),O12,12,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E14,14,12,于是DE=14,14,12,CD1=则cos<DE,CD所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为366.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A,B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB与轴OO'之间的距离.解如图,直线AB与轴OO'之间的距离等于轴OO'与平面ABC的距离,由图形可知,直线AB与轴OO'之间的距离等于点O'到BC的距离,∵AB=5,AC=4,且AC⊥BC,∴BC=52-42=3,∴△O'CB为等边三角形,∴异面直线AB与轴7.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若两直线l1∥l2,则x,y的值分别是()A.6和-10 B.-6和10C.-6和-10 D.6和10答案A解析由两直线l1∥l2,得两向量a,b平行,即2-4=-3x=5y,所以8.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A.105B.-C.-1010 D.答案A解析不妨设SA=SB=SC=1,以S为坐标原点,SA,SB,SC所在直线分别为x轴,y轴,z轴则相关各点坐标为B(0,1,0),S(0,0,0),M12,12,0,N0,0,12因为SM=12,12,0,BN=0,-1,12所以|SM|=22,|BN|=52,cos<SM,BN>=SM·因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为1059.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为.

答案3解析构造如图所示正方体.取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=13OM,OE=13OD,所以EF∥13DM.又因为AC⊥BD,AC所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,因为EF∥13DM,所以AC⊥EF同理可证SB⊥DM,所以SB⊥EF.所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所以EF=13DM=310.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.

答案②③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE与MN为异面垂直.11.如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作OD⊥OA,以OA,OD,OC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).则A(1,0,0),C(0,0,1),B-12,32∵P为AC中点,∴P12,0,12.∴AB=-32,32,0,又由已知,可得AQ=13AB=-12,36,0.∴PQ=OQ-OP=0,36,∵PQ·OA=0,∴PQ⊥OA,即12.如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(1)求cos<BA1,(2)求证:BN⊥平面C1MN.解以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Cxyz.(1)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),∴BA1·CB1=1×0+(-1)×1+2×2=3,∴cos<BA1,(2)证明:依题意得C1(0,0,2),N(1,0,1),∴M12,12,2,∴C1M=12,12,0,C1N=(1,0,-1),BNC1N·BN=1×1+0×(-1)+(-1)∴C1∴BN⊥C1M,BN⊥C1N,且C1M⊂平面C1MN,C1N⊂平面C1MN,C1M∩C1N=C1.∴BN⊥平面C1MN.13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求A1B与D1B1的距离.解在A1B上任取一点M,作MP⊥A1B1,PN⊥B1D1,则MN⊥B1D1,只要求出MN的最小值即可.设A1M=x,则MP=22x,A1P=22x.所以PB1=a-22x,PN=a-22xsin45°=12(=22当x=23a时,MNmin=33a.因此A1B与D1B1的距离为31.2.2空间中的平面与空间向量1.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.2.设平面α的法向量为(1,-2,λ),平面β的法向量为(2,μ,4),若α∥β,则λ+μ=()A.2 B.4 C.-2 D.-4答案C解析∵α∥β,∴12=-2μ=λ4,解得λ=2,μ=-3.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法不正确的是()A.AB与B.与AB同向的单位向量是2C.AB与BCD.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)答案ABC解析对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以不存在实数λ,使得AB=λAC,则AB与AC不是共线向量,所以A对于B,因为AB=(2,1,0),所以与AB同向的单位向量为255,55对于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),所以n·AB=0,n·AC=0,则2x+y=04.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()A.10 B.-10C.12 D.-答案B解析因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则下列与直线CE垂直的是()A.直线AC B.直线B1D1C.直线A1D1 D.直线A1A答案B解析如图,连接AC,B1D1.则点E在B1D1上,∵点C在平面A1B1C1D1内的射影是C1,∴CE在平面A1B1C1D1内的射影是C1E,∵C1E⊥B1D1,由三垂线定理可得,CE⊥B1D1;在四边形AA1C1C中,C1C⊥AC,易得AC不可能和CE垂直;∵A1D1∥BC,A1A∥C1C,而BC,C1C明显与CE不垂直,∴A1D1,A1A不可能和CE垂直.综上,选B.6.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z=.

答案-9解析由题知,u⊥v,∴u·v=3+6+z=0,∴z=-9.7.若AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是.

答案AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE8.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=.

答案2∶3∶(-4)解析由已知得,AB=1,-3,-74,AC=-2,-1,-74,∵a是平面α的一个法向量,∴a·AB=0,a·AC=0,即x-3∴x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).9.在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0);④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是.(填序号)

答案①②③解析DD1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①正确;BC1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②正确;直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故③正确;点C1的坐标为(1,1,1),AC1与平面B1CD10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),则DC=12,1,0,DS=-12,0,1,向量AD=12,0,0是平面SBA的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则n取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.证法一∵MN=12(D1∴MN∥DA1,∴MN∥平面证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0),A1设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则n·DA1=0,且n·DB=0,取x=1,得y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又MN·n=12,0,12·(1,∴MN⊥n,且MN⊄平面A1BD.∴MN∥平面A1BD.证法三∵MN=12(DB+=1=12=12即MN可以用DA1∴MN与D∴MN∥平面A1BD,即MN∥平面A1BD.12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵AB,AD,AP两两垂直,∴建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).∵∠ABC=60°,∴△ABC为正三角形.∴C12E14,34设D(0,y,0),AC=12,32,0,CD=-12,y-32由AC⊥CD,得AC·CD即y=233,则D∴CD=-12∴AE·CD=-1∴AE⊥CD,即AE⊥(2)证法一:∵AB=(1,0,0),AE=∴设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则x令y=2,则z=-3,∴n=(0,2,-3).∵PD=0,23∴PD∥n,∴PD⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.证法二:∵P(0,0,1),∴PD=又AE·PD=34×∴PD⊥AE,即PD⊥又∵AB=(1,0,0),∴PD·AB∴PD⊥AB.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.13.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的法向量,得c解得m14.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面α内,平面α内两共点向量OA,OB,下列关系中一定能表示l∥α的是(A.a=OA B.a=kOBC.a=pOA+λOB D.以上均不能答案D解析A,B,C中均能推出l∥α,或l⊂α,但不能确定一定能表示为l∥α.15.如图,AO⊥平面α,垂足为点O,BC⊂平面α,BC⊥OB,若∠ABO=45°,∠COB=30°,则∠BAC的余弦值为()A.77 B.427 C.66答案B解析∵AO⊥平面α,BC⊂平面α,BC⊥OB,由三垂线定理可得,AB⊥BC,设OB=2.∵∠ABO=45°,∠COB=30°,∴AO=2,AB=22,BC=23在Rt△ABC中,AB=22,BC=233,∠ABC=90°,∴AC=∴cos∠BAC=ABAC=2216.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则以下结论不正确的有(A.EF至多与A1D,AC中的一个垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面答案ACD解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E13,0,13,F23,13,0,B(1,1,0),D∴A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=13,13,-13,BD∴EF=-13BD1,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.17.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的比值为()A.1∶2 B.1∶1C.3∶1 D.2∶1答案B解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设正方形边长为1,PA=a,则B(1,0,0),E12,1,0,P(0,0,a).设点F的坐标为(0,y,0),则BF=(-1,y,0),PE=12,1,-a.因为BF⊥PE,所以BF·PE解得y=12,即点F的坐标为0,12,0,所以F为AD的中点,所以AF∶FD=1∶1.18.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的一个法向量是.

答案(-6,3,2)解析∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分别是BC,CD的中点,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),D1E=(1,4,-3),D1F=(0,2,-3),设平面D1EF的一个法向量是n=(x,y,取y=3,得n=(-6,3,2),则平面D1EF的一个法向量是(-6,3,2).19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为.

答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析据题意,得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).设n=(x,y,z),∵n与平面ABC垂直,∴n即-x-∵|n|=21,∴x2解得y=4或y=-4.当y=4时,x=-2,z=1;当y=-4时,x=2,z=-1.∴n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面QMN∥平面PAD.证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,所以Mb2,d2,d2,Nb2,0,0,Qb2,所以MN=0,-d2,-d2.因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),且MN·m=0,即MN⊥m.又MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.(2)因为QN=(0,-d,0),所以QN·m=0,即QN⊥m,又QN不在平面PAD内,所以QN∥平面PAD.又因为MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD.21.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2.证明:A1C⊥平面BB1D1D.证明由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示,∵AB=AA1=2,∴OA=OB=OA1=1,∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).∴A1C=(-1,0,-1),BD=(0,-2,0),BB1∴A1C·BD=∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,又BD∩BB1=B,∴A1C⊥平面BB1D1D.22.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=0答案B解析通过类比,易得点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.23.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱BB1和DD1的中点.(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).则AE=(0,2,1),DA=(2,0,0),FC1=(0,2,1),C1B1∴可得AD∥平面FB1C1,AE∥平面FB1C1.又AD∩AE=A,∴平面ADE∥平面FB1C1.(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D1(0,0,2),则D1M=(0,1,-2),DE=(2,2,1),AD=(-2,0,0).∵D1M·∴D1M⊥DE,D1M⊥AD.∵AD,DE⊂平面ADE,AD∩DE=D,∴D1M⊥平面ADE.1.2.3直线与平面的夹角1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若<a,n>=2π3,则l与α的夹角为(A.2π3 B.π3 C.π答案C解析线面角的范围是0,π2.∵<a,n>=2π3,∴l与法向量所在直线所成角为∴l与α的夹角为π62.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角的余弦值为()A.-1515 B.1515 C.-21015答案D解析设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2,则sinθ=|cos<s,n>|=1×1+1×(-3)∴直线l与平面α的夹角的余弦值为210153.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.π3 C.π2答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,则DB=(1,1,0),DE=0,1,12,设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),∴DB·n=0,DE·n=0,可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而BA1=(0,-1,1),∴cos<BA1,∴<BA1,n>=30∴直线A1B与平面BDE的夹角为60°.4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC的夹角的大小为(A.5π12 B.π3 C.π答案B解析如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2=2.故∠PAO=π35.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为.

答案7解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|=3t4|t|,因为<n,AB6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.

答案3解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为DB1=(1,1,1).又B则sin<DB1,BB=|D7.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.

答案10解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则C1(0,1,1),A32又平面BB1C1C的一个法向量n=(1,0,0),设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ.sinθ=|cos<n,AC1>|=∴cosθ=1-8.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值;(2)求直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值.解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,a2,0,∴A1C=(a,a,DE=a,-a2,0,∴cos<A1C,故A1C与DE所成角的余弦值为1515(2)连接DB1,∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又B1EDF为菱形,∴DB1为∠EDF的平分线,故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),得DA=(0,-a,0),DB1=(a,-a,∴cos<DA,DB又直线与平面所成角的范围是0,π2,故直线AD与平面B1EDF的夹角的余弦值为339.如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC的夹角的正弦值.解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=12AD又因为BC∥AD,BC=12AD所以EF∥BC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.∵BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,因此CE∥平面PAB.(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN.由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以,直线CE与平面PBC的夹角的正弦值是2810.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直线l与平面α的夹角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案A解析cos<a,n>=a·n|a||n|=24×1=12,故向量夹角为60°,则直线11.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为()A.43 B.33C.4 D.3答案C解析由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=12.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=63,则直线BB'与平面α的夹角的大小为.

答案60°13.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.

答案7解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=∴sinα=d|CO|=23,14.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求EB与底面ABCD的夹角的正弦值.解由向量加法知EB=EC+CB=12PC+CB=12(PD+DC)+CB,设|PD|=1,则|∴EB·DP=-∴cos<EB,DP>=EB·DP|EB||DP|=-15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1的夹角的正切值为32.解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-因为AC·BD=0,AC所以AC为平面BDD1B1的一个法向量.设AP与平面BDD1B1所成的角为θ,则sinθ=cosπ2所以cosθ=1-因为tanθ=sinθcosθ=所以m=13故当CP=13CC1时,直线AP与平面BDD11.2.4二面角1.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且<a,b>=π6,则二面角α-l-β的大小为(A.π6 B.C.π6或5答案C2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是()A.6 B.427 C.77 D答案B解析如图,取AC的中点D,连接OD,PD,∵PO⊥底面,∴PO⊥AC,∵OA=OC,D为AC的中点,∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.∵△PAB是边长为2的正三角形,∴PO=3,OA=OC=1,OD=22则PD=(3∴sin∠PDO=POPD=3143.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,1∴AE=0,12,12,易知AD是平面PAB的法向量,AE是平面PCD∴cos<AD,AE>=∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).如图①,已知:a∥α,,

求证:.

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,

求证:AB⊥β.证明:在β内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条直线,所以AB⊥β.

解(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.故答案为a⊂β,α∩β=b;a∥b.(2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,求证:AB⊥β.证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.故答案为AB⊂α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交.5.已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°,则二面角α-AB-β的正弦值为.

答案6解析如图,过点P作PE⊥β,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接OE,PF,则∠POE为直线PO与平面β所成的角,∠PFE为二面角α-AB-β的平面角.设OP=2a,则在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠POF=60°,可得PF=2a·sin60°=62a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=PEPF=a62a=6.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy所成的角为45°,则a=.

答案12解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则-即3x=4y=az,取z=1,则u=a3,a4而cos<n,u>=1a又∵a>0,∴a=1257.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.解如图所示,设AC与BD交于O,连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=3,所以O(0,0,0),B32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,OC=0,12,0,易知OC为平面BDF的一个法向量.由BC=-32,12,0,FB=32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3),所以cos<n,OC>=217,sin<n,OC>=277,所以tan8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·PB=0,设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则m·PB=0,m·BC=0,即3b-c=0,-a由图形知二面角A-PB-C大小为钝角,故二面角A-PB-C的余弦值为-279.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点.求:(1)直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值;(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.解如图建立空间直角坐标系Dxyz,∵正方体的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点,∴A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).(1)AD'=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),AB'=(0,2,2),设n=(x',y',z')是平面ACD'则由nz取x'=1,得平面ACD'的一个法向量n=(1,1,1),设直线AB'和平面ACD'所成角的大小为θ,则sinθ=|n∴直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值是63(2)D'B'=(2,2,0),D'设m=(x0,y0,z0)是平面B'CD'的一个法向量,则由m·D'B'=0,m·D'C=0由cosθ=n·由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐角.故二面角B'-CD'-A的余弦值是1310.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为()A.150° B.45° C.60° D.120°答案C解析由条件知,CA·AB=0,ABCD=∴|CD|2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2AB·=62+42+82+2×6×8cos<CA,BD>=(217)∴cos<CA,BD>=-12,即<CA,∴二面角的大小为60°,故选C.11.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β答案B解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cosα=PFPB=EGPB所以α>β,因为tanγ=PDED>PDBD所以γ>β.故选B.12.如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,则AEEC'=(A.12 B.66 C.22答案C解析取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,∵菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,∴C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,∴BD⊥平面AOC',∴EO⊥BD.∵二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,∴∠AOE=30°,∠EOC'=45°,∵OC'=OA,∴∠OC'E=∠OAE,由正弦定理得OEsin∠OEsin∠∴EC'∴AEEC'=sin3013.如图所示,将边长为a的正三角形ABC,沿BC边上的高线AD将△ABC折起.若折起后B,C'间距离为a2,则二面角B-AD-C'的大小为.答案60°14.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E为线段BC上一动点,现将△ABE沿AE折起得到△AB'E,当二面角B'-AE-D的平面角为120°,点B'在平面ABC上的投影为K,当E从B运动到C,则点K所形成轨迹是.

答案一段圆弧解析过K作KO⊥AE,连接OB',∵二面角B'-AE-D的平面角为120°,∴∠B'OK=60°,∴KO=12B'O从而原问题就转化为B'O⊥AE,K为B'O中点,求K的轨迹长度,如右图,∵B'O⊥AE,∴O在以AB'为直径的圆上,取AB'中点J,则JK⊥B'K,所以K点的轨迹是以B'J为直径的圆上的一段弧.15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为33,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,CF,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>