山西省阳泉市矿区多校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷

2023—2024学年第一学期期中学业水平质量监测九年级数学注意事项：1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2023年9月23日晚，钱塘江两岸灯光照耀古今，杭州第19届亚洲运动会开幕式多项环节“刷新”亚运史．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，P是正三角形ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转得到，则的度数是（）A．45° B．60° C．90° D．120°3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（）A． B． C． D．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，则∠B的度数是A．80° B．90° C．95° D．100°5．已知一元二次方程，配方后可化为（）A． B． C． D．6．已知二次函数，其中y与x的部分对应值如下表：x…00.511.52……－15－8.75－25.2513…则一元二次方程的一个近似解的取值范围是（）A． B． C． D．7．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E．若OA＝5，AB＝8，则AD的长为（）A． B． C． D．8．山西运城垣曲的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为御膳香醪．近几年我国物价一直上涨，原价为35元的新包装菖蒲酒，经过连续两次涨价a%后，现售价为55元，则根据题意所列方程正确的是（）A．35（1＋a%）＝55 B． C．35（1－a%）＝55 D．9．若正六边形的边心距为，则它的周长为（）A．6 B．12 C． D．10．如图，抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴交于点（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．B．关于x的方程，有两个不等的实数根C．a－b＋c＝0D．当y>0时，－1<x<3第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．已知点P（－b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a＋b＝______．12．若二次函数的顶点在y轴上，则b＝______．13．已知m是方程：的一个根，则______．14．某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，一辆车高3m，宽4m，则该车______通过该隧道．（填“能”或“不能”）15．《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33＋4×2×2＝49，则该方程的正数解为7－2－2＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则c＝______，方程的正数解为______·三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（每小题5分，共10分）用适当的方法解下列方程：（1）； （2）17．（7分）如图，△ABC各顶点坐标分别为A（4，4），B（－2，2），C（3，0）．（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到，请在图中画出；（2）请在图中画出△ABC关于原点O对称的．18．（7分）已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不等的实数根；（2）若方程有两个实数根，且，求m的值．19．（9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD与⊙O相切于点C．若∠D＝30°，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．20．（8分）“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某网店抓住商机，以70元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元/盒时，一天可售出20盒，且售价每降低1元，其销量可增加2盒．（1）直接写出网店销售该礼盒每天的利润y（元）与售价x（元/盒）的函数关系式；（2）为了最大让利于顾客，网店销售该礼盒每天要获利1200元，则该礼盒的售价应定为多少?21．（9分）请阅读下列材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．已知：如图①，C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB＝∠ADB．求证：A，B，C，D四点共圆．证明：作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．如图②，若点D在⊙O外，设AD与⊙O交于点E，连接BE，则∠ACB＝∠AEB．（依据1）又∠AEB＝∠ADB＋∠DBE，（依据2）所以∠ACB＝∠ADB＋∠DBE．所以∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立．如图③，若点D在⊙O内，……综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即A，B，C，D四点共圆．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么?依据1：______；依据2：______．（2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．22．（12分）综合与实践（1）问题情境：如图①，在正方形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合，则能证得．EF＝BE＋DF，请写出推理过程；（2）问题探究：如图②，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系______时，仍有EF＝BE＋DF；（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若，BD＝1，求DE的长．23．（13分）综合与探究如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC下方抛物线上的一点．（1）求点A的坐标及直线BC的解析式；（2）如图①，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，M是线段BC上一动点（不与B，C两点重合），连接PM，设点M的横坐标为m（0<m<8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形?2023－2024学年第一学期期中学业水平质量监测九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案CBBABCBDBA二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.2 12.－213.202314.不能 15.－39x=3三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（每小题5分，共10分）解：（1）用公式法解方程x2－3x=1，可化为一般式x2－3x－1=0. （2分）解得x1=，x2=. （5分）（2）用因式分解法解方程4（x－5）2=（x－5）（x＋5），整理，得4（x－5）2－（x－5）（x+5）=0. （7分）提取公因式，得（x－5）（4x－20－x－5）=0，即（x－5）（3x－25）=0. （9分）解得x1=5，x2=. （10分）17.（7分）解：（1）如图1，△A1B1C即为所求作. （4分）（2）如图1，△A2B2C2即为所求作. （7分）图118.（7分）（1）证明：由题意，得Δ=（2m+1）2－4（3m－1） （1分）=4m2+4m+1－12m+4=4m2－8m+5=（2m－2）2+1. （2分）因为（2m－2）2≥0，所以（2m－2）2+1≥1>0. （3分）所以此方程总有两个不等的实数根. （4分）（2）解：由题意，得x1+x2=－2m－1，x1‧x2=3m－1. （5分）由（x1－1）（x2－1）=x1‧x2－x1－x2+1=6，得x1‧x2－（x1+x2）=5. （6分）所以3m－1+2m+1=5，即5m=5，解得m=1. （7分）19.（9分）解：连接OC. （1分）因为CD是⊙O的切线，所以∠OCD=90°. （2分）在Rt△OCD中，OC=1，∠D=30°，所以OD=2OC=2.所以CD==. （4分）所以S△OCD=OC‧CD=. （6分）由题意知∠COD=90°－∠D=60°，所以S扇形OCB==. （8分）所以S阴影=S△OCD－S扇形OCB=. （9分）20.（8分）解：（1）y=－2x2+380x－16800. （3分）（2）由题意，得－2x2+380x－16800=1200. （4分）整理，得x2－190x+9000=0.解得x1=90，x2=100（舍去）. （7分）答：该礼盒的售价应定为90元/盒. （8分）21.（9分）解：（1）同弧所对的圆周角相等 （2分）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 （4分）（2）延长AD，与⊙O交于点E，连接BE， （5分）则∠ACB=∠AEB.又∠ADB=∠AEB+∠DBE，所以∠ADB=∠ACB+∠DBE. （8分）所以∠ADB>∠ACB.这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O内不成立. （9分）22.（12分）（1）①由旋转的性质知AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG. （1分）因为∠BAD=90°，∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°.所以∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=45°.所以∠EAF=∠GAF. （3分）在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，所以△EAF≌△GAF(SAS).所以EF=GF=DG+DF=BE+DF. （5分）（2）∠B+∠D=180° （7分）（3）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，所以∠ABC=∠C=45°，BC==4. （8分）如图2，把△AEC绕点A旋转得到△AFB，使AC与AB重合，连接DF.由旋转的性质知AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE. （9分）所以∠FBD=∠FBA+∠ABC=90°.因为∠DAE=45°，所以∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC－∠DAE=45°.所以∠FAD=∠EAD. （10分）在△FAD和△EAD中，AD=AD，∠FAD=∠EAD，AF=AE，所以△FAD≌△EAD(SAS).所以DF=DE. （11分）设DE=DF=x，则BF=EC=BC－BD－DE=3－x.在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF²=BF²+BD²，即x²=(3－x)²+1，解得x=.所以DE的长为. （12分）图223.解：（1）令y==0，解得x1=－2，x2=8.令x=0，则y==－2.所以A（－2，0），B（8，0），C（0，－2）. （2分）设直线BC的解析式为y=kx+b.把B（8，0），C（0，－2）代入，得解得所以直线BC的解析式为y=x－2. （4分）（2）过点P作PH∥y轴，交BC于点H. （5分）设P，