2019高三数学（人教A版理）一轮教师用书第1章第1节　集　合

第章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲](教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(对应学生用书第1页)[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A．(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪BA∩B∁UA意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}[知识拓展]集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A．(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B．(5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C．()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x2上的点集．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合．(5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确．(6)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤2eq\r(2)}，a＝eq\r(2)，则下列结论正确的是()A．{a}⊆AB．a⊆AC．{a}∈AD．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2}，由a＝eq\r(2)，知a∉A．]3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A．]4．设全集U＝{x|x∈N*，x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}D[由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．]5．已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，则x＝________.－1[由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x＝0，,4x≠0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＝0，,x2＋x≠0，))解得x＝－1.](对应学生用书第1页)集合的基本概念(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019为()A．1B．0C．－1D．±1(1)B(2)C[(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)由已知得a≠0，则eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.][规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.[跟踪训练](1)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．eq\f(9,2)B．eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.【导学号：97190001】(1)D(2)－eq\f(3,2)[(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值为0或eq\f(9,8).(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1(舍去)，此时当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)≠3符合题意．所以m＝－eq\f(3,2).]集合间的基本关系(1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．AB B．BAC．A⊆B D．B＝A(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．(1)B(2)m≤1[(1)由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此BA．(2)当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A，当m＞0时，因为A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}＝{x|－1＜x＜3}．当B⊆A时，有所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m≥－1，,m≤3，,－m＜m.))所以0＜m≤1.综上所述m的取值范围为m≤1.][规律方法]1.集合间基本关系的两种判定方法1化简集合从表达式中寻找两集合的关系.2用列举法或图示法等表示各个集合从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系进而转化为参数满足的关系解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.易错警示：B⊆AA≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.[跟踪训练](1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)(－∞，4][(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)∵B⊆A，∴当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.]集合的基本运算◎角度1集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅(2)(2018·石家庄质检(二))设U＝R，A＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁UB)＝()A．{1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－3，－2，－1,0} D．{2}(1)A(2)C[(1)∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A．(2)由题意得∁UB＝{x|x＜1}，∴A∩(∁UB)＝{－3，－2，－1,0}，故选C．]◎角度2利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a≤x≤2a－1))，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)A[集合A∩B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤2a－1，,2a－1≥1，))解得a≥1，故选A．]◎角度3新定义集合问题如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.{0,6}[由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．][易错警示]解决集合运算问题需注意以下四点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.4以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决.[跟踪训练](1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1­1­1)表示的集合是()图1­1­1A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(3)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A