2024-2025学年课时作业人教A版数学课时作业12-1

课时作业12基本不等式基础强化1.若x>0，则x＋eq\f(4,x)－2有()A．最小值1B．最小值2C．最大值1D．最大值22．函数y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)的最小值是()A．7B．－7C．9D．－93．已知正数a，b满足4a＋9b＝4，则ab的最大值为()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)4．如果x≠0，那么函数y＝4－eq\f(6,x2)－3x2有()A．最大值4－6eq\r(2)B．最小值4－6eq\r(2)C．最大值4＋6eq\r(2)D．最小值4＋6eq\r(2)5．(多选)下列命题中正确的是()A．当x>1时，x＋eq\f(1,x)≥2B．当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤－2C．当0<x<1时，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2D．当x≥2时，eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)6．(多选)下列命题正确的是()A．若a≠0，则a2＋eq\f(4,a2)≥4B．若a<0，则a＋eq\f(4,a)≥－4C．若a>0，b>0，则a＋b≥2eq\r(ab)D．若a<0，b<0，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥27．若a，b都是正数，且ab＝1，则a＋2b的最小值是________．8．已知x>0，则eq\f(x2＋4x＋1,x)的最小值为________．9．已知a，b是实数，且ab＝1，求a2＋4b2的最小值．10．(1)已知x>0，求4x＋eq\f(1,x)的最小值；(2)已知x>0，求2－3x－eq\f(4,x)的最大值．能力提升11.下列不等式中等号可以取到的是()A．eq\r(x2＋5)＋eq\f(1,\r(x2＋5))≥2B．x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2C．x2＋eq\f(1,x2)≥2D．|x|＋3＋eq\f(1,|x|＋3)≥212．已知a是实数，则“a<－1”是“a＋eq\f(1,a)<－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．若非零实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)，则ab的最小值为()A．4eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．214．(多选)设a，b为正实数，ab＝4，则下列不等式中对一切满足条件的a，b恒成立的是()A．a＋b≥4B．a2＋b2≤8C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥1D．eq\r(a)＋eq\r(b)≤2eq\r(2)15.已知a>0，b>0，a＋b＝1，若α＝a＋eq\f(1,a)，β＝b＋eq\f(1,b)，则α＋β的最小值是________．16．若a，b>0，且ab＝a＋2b＋4.(1)求ab的最小值；(2)求a＋b的取值范围．课时作业121．解析：∵x>0，∴x＋eq\f(4,x)－2≥2eq\r(x·\f(4,x))－2＝2，当且仅当x＝eq\f(4,x)，x＝2时取等号．因此x＋eq\f(4,x)－2的最小值为2.故选B.答案：B2．解析：函数y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)中x≠0，所以y＝1＋2x2＋eq\f(8,x2)≥1＋2eq\r(2x2·\f(8,x2))＝9，当且仅当2x2＝eq\f(8,x2)时，即x＝±eq\r(2)时取等号．所以函数的最小值为9.故选C.答案：C3．解析：正数a，b满足4a＋9b＝4，由基本不等式得：4a＋9b＝4≥2eq\r(4a·9b)，解得：ab≤eq\f(1,9)，当且仅当4a＝9b，即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,9)时，等号成立，ab的最大值为eq\f(1,9).故选A.答案：A4．解析：根据基本不等式可得eq\f(6,x2)＋3x2≥2eq\r(18)＝6eq\r(2)，当且仅当eq\f(6,x2)＝3x2，即x2＝eq\r(2)时，取等号；所以y＝4－eq\f(6,x2)－3x2＝4－(eq\f(6,x2)＋3x2)≤4－6eq\r(2)，故x2＝eq\r(2)时，y＝4－eq\f(6,x2)－3x2有最大值4－6eq\r(2).故选A.答案：A5．解析：A中，因为x>1，x＋eq\f(1,x)≥2不成立，当x＝1时等号成立，A错；B中，因为x<0，所以－x>0，所以－x＋eq\f(1,－x)≥2，所以x＋eq\f(1,x)≤－2成立，当且仅当x＝－1时等号成立，B正确；C中，因为0<x<1，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2成立，当x＝1时等号成立，C错；D中，因为x≥2，由基本不等式可得eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x))≥2eq\r(2)成立，当且仅当x＝2时等号成立．故选BD.答案：BD6．解析：易知C正确；对A，因为a≠0，所以a2>0，则a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当a2＝eq\f(4,a2)⇒a＝±eq\r(2)时取“＝”，正确；对B，若a＝－1，则a＋eq\f(4,a)＝－5，错误；对D，因为a<0，b<0，所以eq\f(a,b)>0，eq\f(b,a)>0，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)⇒a＝b时取“＝”，正确．故选ACD.答案：ACD7．解析：因为a，b都是正数，且ab＝1，所以a＋2b≥2eq\r(a·2b)＝2eq\r(2)，当且仅当a＝2b，即a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)时取等号．答案：2eq\r(2)8．解析：因为x>0，则eq\f(x2＋4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋4≥4＋2eq\r(x·\f(1,x))＝6，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号，则eq\f(x2＋4x＋1,x)的最小值为6.答案：69．解析：a2＋4b2＝a2＋(2b)2≥2·a·(2b)＝4ab＝4，当且仅当a＝2b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2),b＝\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\r(2),b＝－\f(\r(2),2)))时，不等式等号成立．所以a2＋4b2的最小值为4.10．解析：(1)因为x>0，故4x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(4x×\f(1,x))＝4，当且仅当4x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(1,2)时取等号．故4x＋eq\f(1,x)的最小值为4.(2)因为x>0，故2－3x－eq\f(4,x)＝2－(3x＋eq\f(4,x))≤2－2eq\r(3x×\f(4,x))＝2－4eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)时取等号，故2－3x－eq\f(4,x)的最大值为2－4eq\r(3).11．解析：对于A，因为eq\r(x2＋5)>0，所以eq\r(x2＋5)＋eq\f(1,\r(x2＋5))≥2eq\r(\r(x2＋5)·\f(1,\r(x2＋5)))＝2，当且仅当eq\r(x2＋5)＝eq\f(1,\r(x2＋5))，即x2＝－4，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为x2＋2>0，所以x2＋2＋eq\f(1,x2＋2)≥2eq\r(（x2＋2）·\f(1,x2＋2))＝2，当且仅当x2＋2＝eq\f(1,x2＋2)，即x2＝－1，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为x2>0，所以x2＋eq\f(1,x2)≥2eq\r(x2·\f(1,x2))＝2，当且仅当x2＝eq\f(1,x2)，即x＝±1时取等号，故C符合；对于D，因为|x|＋3>0，所以|x|＋3＋eq\f(1,|x|＋3)≥2eq\r(（|x|＋3）·\f(1,|x|＋3))＝2，当且仅当|x|＋3＝eq\f(1,|x|＋3)，即|x|＝－2，故等号不成立，故D不符合．故选C.答案：C12．解析：当a＝－eq\f(1,2)时，a＋eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)－2<－2；当a<－1时，a＋eq\f(1,a)＝－(－a＋eq\f(1,－a))≤－2eq\r(－a·\f(1,－a))＝－2，当且仅当－a＝eq\f(1,－a)，即a＝－1时等号成立，所以当a<－1时，a＋eq\f(1,a)<－2成立，所以“a<－1”是“a＋eq\f(1,a)<－2”的充分不必要条件．故选A.答案：A13．解析：因为非零实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)，所以a，b>0且eq\f(1,a)＋eq\f(8,b)＝eq\r(2ab)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(8,b))，解得ab≥4，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(8,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝4eq\r(2)时，等号成立．故ab的最小值为4.故选C.答案：C14．解析：A选项，由基本不等式得a＋b≥2eq\r(ab)＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，A选项正确．B选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但a2＋b2＝17>8，B选项错误．C选项，由基本不等式得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(1,b))＝1，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)，a＝b＝2时等号成立，C选项正确．D选项，a＝1，b＝4时，ab＝4，但eq\r(a)＋eq\r(b)＝3>2eq\r(2)，D选项错误．故选AC.答案：AC15．解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以α＋β＝a＋eq\f(1,a)＋b＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,ab)≥1＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))\s\up12(2))＝5，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．答案：516．解析：(1)由题知a，b>0所以ab－4＝a＋2b≥2eq\r(2)eq\r(ab)，当且仅当a＝2b时，上式取“＝”，所以ab－2eq\r(2)eq\r(ab)－4≥0，所以eq\r(ab)≤eq\r(2)－eq\r(6)，或eq\r(ab)≥eq\r