15公因数与最大公因数（分层练习）

1.5公因数与最大公因数分层练习1.用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（

）A．2 B．4 C．14 D．28【答案】D【分析】求出这两个数的最大公因数即可．【详解】解：因为，，所以最大公因数为：28．故选：D．2.下列语句错误的是（

）①能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B，B>1，则B一定是A的因素；④两个整数的公因数一定能整除这两个数；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，对各选项依次分析，得出结论．【详解】解：不是整数，故①错误；因为，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；，则B一定是A的因数，但不一定是A的素因数，故③正确；两个整数的公因数一定能整除这两个数，故④正确；因此错误语句有2个，故选：B．3.36和54的公因数有_____________．【答案】1、2、3、6、9、18【分析】分别求出36和54的因数，然后找到公共的因数即可得到答案．【详解】解：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．所以36和54的公因数1、2、3、6、9、18，故答案为：1、2、3、6、9、18．4.(1)和的最大公因数是______.【答案】【分析】最大公因数是指最大公约数，是指两个或者多个整数共有的约数中最大的一个，因此即可求得．【详解】解：∵的因数：，，，，，；的因数：，，，，，，，；∴和的公因数：，，，∴和的最大公因数：．(2)6和18的最大公因数是________．【答案】6【分析】分别因数分解两个数即可求解．【详解】解：∵，，∴6和18的最大公因数是6，故答案为：．5.45和60公有的素因数是______．【答案】3，5【分析】根据题意可以将45与60进行分解质因数，然后就可以确定45与60的公有的质因数（素因数）．【详解】解：，，所以45与60公有的素因数是：3，5．故答案为：3，5．6.如果数，那么和的最大公因数是_____________．【答案】2【分析】根据最大公因数的定义（最大公因数是指两个或多个整数中能够同时整除的最大正整数）即可得．【详解】解：因为数，所以和的最大公因数是2，故答案为：2．7.已知正整数a、b满足，则a与2的最大公因数是______．【答案】2【分析】根据最大公因数的概念求解即可．【详解】∵，与2的最大公因数是2∴a与2的最大公因数是2．故答案为：2．8.已知，，、两数的最大公因数是，那么的值___________．【答案】【分析】根据最大公因数的计算方法，结合题意，列方程并求解，即可得到答案．【详解】解：∵，，、两数的最大公因数是，∴，解得：．故答案为：9.用短除法求下列各组数的最大公因数．（1）48和72

（2）14、42和56【答案】（1）24；（2）14【分析】根据短除法分别求出各组数的公因数，再把公有的因数相乘即可求得最大公因数．【详解】解：（1）48与72的最大公因数：；（2）14、42与56的最大公因数：．10.找出下面每组数的最大公因数．（1）3和6；

（2）7和8．【答案】（1）3；（2）1【分析】（1）本组给出的两个数，其中的一个数是另一个数的倍数；根据当两个数成倍数关系时，较小的那个数，是这两个数的最大公因数；（2）本组给出的两个数都是互质数；根据是互质数的两个数，它们的最大公因数是1．【详解】解：（1）3和6的最大公因数是3；（2）7和8的最大公因数是1．11.如果（a、b均为非零自然数），那么a和b的最大公约数是______．【答案】1【分析】根据题目给的条件a+1=b判断出a、b是两个相邻的自然数，从而得知a、b是互质数，通过互质数的概念得出互质数的公约数为1，最后得出a、b的最大公约数是1.【详解】由a+1=b(a、b均为非零自然数)可知，a、b是相邻的两个自然数，而相邻的两个自然数是互质数，由此可知互质数的公约数是1，所以它们的最大公约数是1．故答案为：1．12.一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【答案】14【分析】要使植树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是90和15的最大公因数，求出90和15的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出最少应植树的棵数．【详解】解：每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树，故答案为：14．13.一块长2米，宽12分米的长方形木板，要把它锯成尽可能大、面积相等的正方形，而且锯后没有剩余．这块木板一共可以被锯成几块，锯成的正方形边长多少？【答案】锯成15个边长为4分米的正方形．【分析】根据题意可知，求锯成的小正方形尽可能大的面积，也就是求20和12的最大公因数，用长方形的面积除以正方形的面积，即为能锯成多少个，据此解答即可．【详解】解：木板长2米，即20分米，宽12分米，由于20和12的最大公因数为4，所以可以将长方形木板的长平均分为5段，每段4分米，宽平均分为3段，每段4分米，此时木板正好被平均锯成15个边长为4分米的正方形正好满足条件．答：木板正好被平均锯成15个边长为4分米的正方形．14.用96朵红花和72朵白花做花束，如果每个花束里的红花朵数都相等，每个花束里的白花朵数也都相等．每个花束里最少有几朵花？【答案】每个花束里最少有7朵花．【分析】要求每个花束最少有几朵花，即要求最多有多少束花，即要求96和72的最大公因数，用红花朵数和白花朵数分别除以96和72的最大公因数得到每个花束里面，红花和白花的朵数，最后求和即可．【详解】解：96和72的最大公因数为24．（朵）．答：每个花束里最少有7朵花．15.一张长方形的纸片，长为，宽为，要把这张纸片裁成同样大小的正方形小纸片而且没有任何剩余，则裁成的正方形纸片的边长最大可以是多少厘米？至少有多少个小正方形？【答案】；84个【分析】没有任何纸片剩余，所以小正方形的边长一定要整除36和21，同时还要求小正方形的边长尽可能的长，因此正方形的边长就是36和21的最大公因数．36和21的最大公因数是3，可求正方形的边长最大值．根据可求至少有正方形的个数．【详解】解：∵36和21的最大公因数是3，∴正方形纸片的边长最大是．（个），答：裁成的正方形纸片的边长最大可以是3厘米，至少有84个小正方形．1.在中填入适当的数，并填空：A=，B=，A和B的最大公因数是；【答案】15；5；2；30；60；30【分析】根据公因数的概念求解即可．【详解】根据题意可得，依次填入的数为：15；5；2；∴，A和B的最大公因数是30．故答案为：15；5；2；30；60；30．2.两个数之和为90，且它们的最大公因数为15，则这两个数为________________，________________．【答案】1575【分析】首先用这两个数的和除以它们的最大公因数，求出这两个数独有的因数的和是多少；然后根据这两个数独有的因数的和的大小，分类讨论，求出这两个数各是多少即可．【详解】因为90÷15=6，所以这两个数独有的因数的和是6．（1）因为1+5=6，所以这两个数独有的因数可以是1和5，因为15×1=15，15×5=75，所以这两个数是15和75；（2）因为2+4=6，所以这两个数独有的因数可以是2和4，由于2和4还有公因数2，这样这两个数的最大公因数就是15×2=30，不符合题意，所以此种情况不成立；（3）因为3+3=6，所以这两个数独有的因数是3和3，则这两个数相同了，也不合题意，所以此种情况不成立．综上，可得这两个数是15和75．故答案为：15，75．3.一次活动中，我方侦查员截获了敌方的密码，从左边开始，第一个数字是10以内的最大素数；第二个数字既有因数2，又是6的倍数；第三个数字既不是素数也不是合数；第四个数字既是素数又是偶数；第五个数字是最小的奇数与最小的合数的积；第六个数字是所有能被3整除的数的最大公因数．谁能破译密码，并说明你是怎么破译的？【答案】761243【分析】根据素数：除1和本身外，没有别的因数，合数：除了1和本身外，还有别的因数；奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；以及能被3整除的数的特点进行分析破解即可．【详解】解：从左边开始，第一个数字为10以内最大的素数，故第一个数字为7；第二个数字既有因数2，又是6的倍数，故第二个数字为6；既不是素数也不是合数的数为1，故第三个数字为1；既是素数又是偶数的数为2，故第四个数字为2；最小的奇数为1，最小的合数为4，最小的奇数与最小的合数的积为4，故第五个数字为4；所有能被3整除的数的最大公因数为3；所以这个数是761243．因此这个密码为：761243．4.A班同学们用花球来布置教室，一共准备了72束红花和54束黄花来扎花球．如果要使每个花球里红花束的数量相同，黄花束的数量也相同，那么最多可以扎成多少个花球？每个花球至少有多少束红花和多少束黄花？【答案】最多可以扎成18个花球，每个花球至少有4束红花和3束黄花．【分析】根据72和54的最大公因数求解；根据72÷18＝4，54÷18＝3即可得出答案．【详解】解：∵72＝2×2×2×3×3，54＝2×3×3×3，∴72和54的最大公因数是2×3×3＝18，∴最多可以扎成18个花球；72÷18＝4，54÷18＝3，答：最多可以扎成18个花球，每个花球至少有4束红花和3束黄花．1.计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）将因数分解，然后观察这几个数的乘积即可求解；（2）将因数分解，然后观察这几个数的乘积即可求解．【详解】（1）（2）2.一条街道如图所示，长米，长米，长米，要在这条街道的右侧等距离地安装路灯，且要求两端和转弯处都必须装灯，那么这条街道最少要装多少盏灯？【答案】20盏【分析】根据要求两端和转弯处都必须装灯，求得与的最大公因数为，根据，，即可求得AB，BC，CD三条街道装的灯的数量，即可求解．【详解】解：因为，，与的最大公因数为，，，故这条街道最少要装：盏灯．3.甲、乙两个数的最大公因数是31，且它们的乘积为5766，求甲、乙两数分别为多少．【答案】31，186或62，93【分析】设这两个数分别为