12幂的乘方与积的乘方（备作业）2021-2022学年七年级数学下册(北师大版)

1.2幂的乘方与积的乘方一、单选题1．下列运算正确的是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则计算逐一判断即可．【解析】解：A，该选项不符合题意；B、，该选项不符合题意；C、，该选项不符合题意；D、，正确，，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．2．下列计算中，正确的是（）A．（a2b3）2=a4b5 B．（3x2y2）2=6x4y4 C．（xy）3=xy3 D．（m3n2）2=m6n4【答案】D【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则逐项分析判断即可【解析】解：A、（a2b3）2=a4b6，故该选项不正确，不符合题意；B、（3x2y2）2=9x4y4，故该选项不正确，不符合题意；；C、（xy）3=x3y3，故该选项不正确，不符合题意；；D、（m3n2）2=m6n4，故该选项正确，符合题意；；故答案为：D【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘法，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．3．如果，那么、的值等于（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出，由此进行求解即可得到答案．【解析】解：∵∴3n=9，3m+3=15，解得：n=3，m=4，故选C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．4．计算：，其中，第一步运算的依据是（）A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则C．乘法分配律 D．积的乘方法则【答案】D【分析】根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解析】解：计算：，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则．故选：D．【点睛】本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．5．若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5【答案】C【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y=7，即x+2y=6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y．【解析】解：∵2x+1•4y=2x+1+2y，27=128，∴x+1+2y=7，即x+2y=6∵x，y均为正整数，∴或，∴x+y=5或4，故选：C．【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解．6．已知，，则（）A． B． C．432 D．216【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，即可得到答案．【解析】∵，，∴，故选C．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解题的关键．7．计算的结果是（）A． B． C．0.75 D．0.75【答案】D【分析】先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．【解析】====,故选：D．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．8．如果，，，那么，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可．【解析】解：a=355=（35）11=24311，

b=444=（44）11=25611，

c=533=（53）11=12511，

∵256＞243＞125，

∴b＞a＞c．

故选：C．【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m．9．若，．则下列关系式成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由可得，根据幂的乘方可得，再将代入即可．【解析】解：∵，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了幂的乘方及求代数式的值．熟悉幂的运算性质是解题的关键．10．若，，则下列结论正确是（）A．a＜b B． C．a＞b D．【答案】B【解析】，故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.二、填空题11．（1）________；（2）________；（3）________；（4）________；（5）________；（6）________．【答案】或或64；．【分析】（1）根据幂的乘方计算即可；（2）根据幂的乘方计算即可；（3）根据幂的乘方计算化为底数是3，也可按幂的乘方逆运算化为底数为27即可；（4）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可；（5）根据幂的乘方计算，再算负数的偶次幂即可；（6）根据积的乘方，再算幂的乘方计算即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．故答案为（1）；（2）；（3）或；（4）或64；（5）；（6）．【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握积的乘方与幂的乘方法则是解题关键．12．若，，则_______．【答案】5【分析】先分别根据两个式子列出关于x，y的方程，分别求出x和y，然后代入求解即可．【解析】，，解得；，，解得，．故答案为：5．【点睛】本题考查同底数幂乘法运算以及幂的乘方，熟记运算法则，灵活根据幂的形式变形是解题关键．13．若，，则__．【答案】7【分析】直接利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．【解析】，，，，．故答案为：7．【点睛】本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．14．下列算式①；②；③；④中，结果等于的有__．【答案】①②④．【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算判断即可．【解析】解：①；②；③；④．所以结果等于的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数乘方法则是解题的关键．15．已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝_____．【答案】【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果．【解析】解：∵2x+3y+3＝0，∴2x+3y＝﹣3，．故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，解决本题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法．16．_____．【答案】【分析】把原式化为：，再逆用积的乘方运算可得：，从而可得答案．【解析】解：故答案为：【点睛】本题考查的是同底数幂的逆运算，积的乘方运算的逆运算，有理数的乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．17．若=3，=6，=12，，，之间的数量关系是________．【答案】【分析】由62=3×12，可得(2y)2=2x×2z=2x+z，即可求得x，y，z之间的关系．【解析】∵2x=3，2y=6，2z=12，且6×6=62=3×12，

∴(2y)2=2x×2z=2x+z，

∴．故答案为：．【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的性质．熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．注意掌握指数的变化是解此题的关键．18．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是____．【答案】【分析】由等式：；；，得出规律：，那么，将规律代入计算即可．【解析】解：；；；，，，，原式，故答案是：．【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题19．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）不对，应为；（2）不对，应为；（3）不对，应为；（4）不对，应为；（5）不对，应为；（6）不对，应为．【分析】（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；（2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；（3）幂的乘方：底数不变，指数相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；（4）先计算幂的乘方运算，再按照同底数幂的乘法进行运算，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；（5）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；（6）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可；【解析】解：（1）；以上运算错误，正确的为：；（2）；以上运算错误，正确的为：（3）；以上运算错误，正确的为：（4）；以上运算错误，正确的为：（5）；以上运算错误，正确的为：（6）．以上运算错误，正确的为：【点睛】本题考查的是同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键.20．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；（2）把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可；（3）把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可；（4）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握幂的运算法则是解题的关键.21．计算：（1）；（2）；（3）（4）；（5）（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）根据同底数幂相乘法则计算；（2）根据乘法法则及同底数幂相乘法则计算；（3）根据同底数幂相乘法则及合并同类项法则计算；（4）根据同底数幂乘法法则及合并同类项法则计算；（5）根据幂的乘方及积的乘方法则计算；（6）先将多项式变为同底数的形式，再根据同底数幂乘法法则及合并同类项法则计算．【解析】（1）=；（2）==；（3）==；（4）==；（5）==；（6）===．【点睛】此题考查整式的乘法计算公式：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，以及合并同类项法则，熟记计算法则是解题的关键．22．（1）若，，求的值；（2）若，求的值；（3）比较大小：，，．【答案】（1）108；（2）8；（3）．【分析】（1）根据求解即可；（2）根据求解即可；（3）先得到，，，然后比较大小即可．【解析】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴；（3），，∵，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．已知：2m+2·3m+2=63m2，求（13m)24m2+6．【答案】15【分析】先根据同底数幂的乘法法则得到6m+2=63m2，从而求出m，代入代数式求值．【解析】解：2m+2·3m+2=（2×3）m+2=6m+2=63m2，∴m+2=3m2，解得：m=2，∴（13m)24m2+6=（13×2）24×22+6=15【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值以及一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则．24．已知，，求的值．【答案】39【分析】由幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算进行计算，即可得到答案．【解析】解：∵，，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．25．解答下列问题：（1）已知，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）1500；（2）27【分析】（1）先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则，然后将已知代入即可解答；（1）先由得3x+4y=3，然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将【解析】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴．【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用，灵活应用相关运算法则是解答本题的关键．26．如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，（4，16）＝，（2，16）＝．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析【分析】（1）由题意直接根据规定的两数之间的运算法则进行分析即可解答；（2）由题意根据积的乘方法则，结合定义进行分析计算即可．【解析】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，16）＝4；故答案为：3；2；4；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，熟练掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．27．探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2()23﹣22==2()，24﹣23==2()，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n个等式；（3）计算