北师大版数学九年级下册第二章测试题及答案解析（一）

北师大版数学九年级下册第二章测试题（一）

（二次函数）

一、选择题

1.已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,则代数式2k2-8k+6的最小

值为（）

A.-2B.0C.2D.2.5

2.当-2WxWl时，二次函数y=-（x-m）2+m2+l有最大值4,则实数m的

值为（）

A.一工B.e或2或D.2或

44

3.定义符号min{a,b}的含义为：当a2b时min{a,b}=b；当a<b时

min{a,b}=a.如:min{1,-3}=-3.min{-4,-2}=-4.则min{-x2+l,

-x）的最大值是（）

A.B.痣+1C.1D.0

22

4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0,-2）,与x轴交点的横坐标

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2（x-h）

2+k,则下列结论正确的是（）

A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0

6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象的顶点在第一象限，且过点

(0,1)和(-1,0).下列结论：①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0

<b<l,⑤当x>-l时，y>0,其中正确结论的个数是()

A.5个B.4个C.3个D.2个

7.二次函数y=ax2+bx+c(aNO)的图象如图所示，则下列结论中正确的是

A.a>0B.当-1VXV3时，y>0

C.c<0D.当x》l时，y随x的增大而增大

8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()

a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

9.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象经过点(xi，0)、(2,0),且-2V

xi<-1,与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方，则下列结论：①abcVO；②

b2>4ac；③2a+b+l<0；④2a+c>0.则其中正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

10.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列结论中正确的

是()

B.3是方程ax2+bx+c=O的一个根

C.a+b+c=O

D.当xVl时，y随x的增大而减小

11.在反比例函数y=2中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数

x

y=mx2+mx的图象大致是图中的()

12.二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象如图所示，下列结论正确的是

C.当-lVx<3时，y>0D.一'=1

2a

13.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列五个结论中:

①a+b+cVO；②a-b+c>0；③2a-b<0；@abc<0；⑤4a+2b+c>0,错误的个

数有()

14.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为

(―,1),下列结论：①c>0；②b?-4ac>0；③a+b=O；©4ac-b2>4a,其中

2

A.①B.②C.③D.④

15.如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),

对于下列结论：①2a+b=0；②abcVO；③a+b+c>0；④当x>l时，y随x的增

16.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列说法不正确的是

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.^<0

二、填空题

17.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是

____cm2.

18.把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式.

19.如图，P是抛物线y=-x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y

轴引垂线，垂足分别为A,B,则四边形。APB周长的最大值为.

20.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过

第

三、解答题

21.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-

1,0)且平行于y轴的直线.

⑴求m、n的值；

(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的

图象相交于另一点B,点B在点P的右侧，PA：PB=1：5,求一次函数的表达

式.

22.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在

x轴、y轴的正半轴，抛物线y=-L<2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶

2

点，连接AC、BD、CD.

⑴求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

23.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).

⑴求抛物线的解析式；

⑵求抛物线的顶点坐标.

24.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),请解答下列问

题：

⑴求抛物线的解析式；

(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.

注：抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的顶点坐标是(-二，4ac-b).

2a4a

25.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函

数的解析式.

26.如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；

⑶把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和

y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).

参考答案与试题解析

1.已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,则代数式2k2-8k+6的最

小值为()

A.-2B.0C.2D.2.5

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=工时，代数

2

式2k2-8k+6的最小值求出即可.

【解答】解：；m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,

Am,n,k最小为0,当n=0时，k最大为：—,

2

V2k2-8k+6=2(k-2)2-2,

/.a=2>0,，kW2时,代数式2k2-8k+6的值随k的增大而减小，

.•.k=工时，代数式2k2-8k+6的最小值为：2X(±)2-8X1+6=2.5.

222

故选D.

【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根

据二次函数增减性得出kJj寸，代数式2k2-8k+6的最小值是解题关键.

2

2.当-2<xWl时，二次函数y=-(x-m)2+m2+l有最大值4,则实数m

的值为()

A.-工B.2或D.2或愿或工

44

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】选择题

【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可.

【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m,

①mV-2时，x=-2时二次函数有最大值，

止匕时一(-2-m)2+m2+l=4,

解得m=-工，与mV-2矛盾，故m值不存在；

4

②当时，x=m时，二次函数有最大值，

此时，m2+l=4,

解得m=-m=«(舍去)；

③当m>l时，x=l时二次函数有最大值，

此时,-(1-m)2+m2+l=4>

解得m=2,

综上所述，m的值为2或一行.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论.

3.定义符号min{a,b}的含义为：当a2b时min{a,b}=b；当a<b时

min{a,b}=a.如：min{1,-3}=-3,min{-4,-2}=-4.则min{-x2+l,

-x}的最大值是()

A.返IB..近+1C.1D.0

22

【考点】H7：二次函数的最值；F6：正比例函数的性质.

【专题】选择题

【分析】理解min{a,b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，

利用函数图象的性质可得结论.

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=-x2+l与正比例函数

y=-x的图象，如图所示.设它们交于点A、B.

令-x2+l=-x,即x2-x-l=0,解得：x=±t近或上匹，

22

...A（上&辰-I）,B退运,二造）.

2222

观察图象可知：

①当x＜士YG时，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函数值随x的增大而增大，其最

_2

大值为近工；

2_

2

②当为5Vx〈上班时，min{-x+l（-x}=-x,函数值随x的增大而减小，

22

其最大值为返工；

2

③当X》上班时，min{-x2+l,-x}=-x2+l,函数值随x的增大而减小，最大

2

值为土叵

2_

综上所示，min（-x2+l,-x}的最大值是叵L

【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义

min{a,b}和掌握函数的性质是解题的关键.

4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0,-2）,与x轴交点的横坐标

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】选择题

【分析】由开口方向，可确定a>0；由当x=-1时，y=a-b+c>0,可确定B

错误；由对称轴在v轴右侧且在直线x=l左侧，可确定x=-且VI；由二次函

2a

数y=ax2+bx+c的图象经过点（0,-2）,对称轴在y轴右侧，a>0,可得最小

值：4ac-b2<_2,即可确定D正确.

4a

【解答】解:A、•・•开口向上，・・・a>0,故本选项错误;

B、;当x=-1时，y=a-b+c>0,故本选项错误；

C、•.•对称轴在y轴右侧且在直线x=l左侧，...xn-旦VI,故本选项错误；

2a

D、•.•二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0,-2）,对称轴在y轴右侧，a>

0,

.•.最小值：4ac-b2<-2,

4a

.".4ac-b2<-8a.

故本选项正确.

故选D.

【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中，注意掌

握数形结合思想的应用.

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=-2（x-h）

2+k,则下列结论正确的是（)

A.h>0,k>0B.h<0,k>0C.h<0,k<0D.h>0,k<0

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论.

【解答】解：二•抛物线y=-2（x-h）2+k的顶点坐标为（h,k）,由图可知，

抛物线的顶点坐标在第一象限，

/.h>0,k>0.

故选A.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式

是解答此题的关键.

6.如图，二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象的顶点在第一象限，且过点

（0,1）和（-1,0）.下列结论：①abVO,②b2>4a,③0Va+b+cV2,④0

<b<l,⑤当x>-l时，y>0,其中正确结论的个数是（)

A.5个B.4个C.3个D.2个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正

确；

由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0,又抛物线过点（0,1）,得出

C=l,由此判定②正确；

由抛物线过点（-1,0）,得出a-b+c=o,即2=13-1,由a<0得出b<l；由a

<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确；

由a-b+c=O,及b>0得出a+b+c=2b>0；由b<l,c=l,a<0,得出a+b+c<

a+l+l<2,由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=O的两个根之间

时，函数值y>0,由此判定⑤错误.

【解答】解：•.•二次函数y=ax2+bx+c（aWO）过点（0,1）和（-1,0）,

/.c=l,a-b+c=O.

①：抛物线的对称轴在y轴右侧，，x=--L>0,

2a

与b异号，，abVO,正确；

②•••抛物线与X轴有两个不同的交点，，b2-4ac>0,

Vc=l,b2-4a>0,b2>4a,正确；

④：抛物线开口向下，••.aVO,

Vab<0,.*.b>0.

Va-b+c=O,c=l,a=b-1,

Va<0,Ab-l<0,b<l,

；.0<b<l,正确；

（3）Va-b+c=O,/.a+c=b,

.\a+b+c=2b>0.

Vb<l,c=l,aVO,

「・a+b+c=a+b+1Va+l+l=a+2<0+2=2,

.*.0<a+b+c<2,正确；

2

⑤抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点为（-1,0）,设另一个交点为（x0,

0）,则x0>0,

由图可知，当xo>x>-l时，y>0,错误；

综上所述，正确的结论有①②③④.

故选B.

【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度

适中.二次函数y=ax2+bx+c(aWO),a的符号由抛物线开口方向决定；b的符

号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决

定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2-4ac的符号，此外还要注意二次函

数与方程之间的转换.

7.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列结论中正确的是

()

A.a>0B.当-1<XV3时，y>0

C.c<0D.当x21时，y随x的增大而增大

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断

c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所

得结论进行判断.

【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a<0.故A选项错误；

B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=l,抛物线与x轴的一交点的横坐标是-

1,则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3,

所以当-1VXV3时，y>0.故B选项正确；

C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c>0.故C选项错误；

D、根据图示知，当xel时，y随x的增大而减小，故D选项错误.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符

号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数

确定.

8.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0

C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y

轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据

抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac与0的关系.

【解答】解：•••抛物线的开口向下，

/.a<0,

•.•对称轴在y轴右边，

...a,b异号即b>0,

•.•抛物线与y轴的交点在正半轴，

/.c>0,

•.•抛物线与x轴有2个交点，

b2-4ac>0.

故选D.

【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

(l)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0；否则aVO.

(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=上判断符号.

2a

(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0；否则cVO.

(4)b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac>0；1个交

点,b2-4ac=0；没有交点,b2-4ac<0.

9.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象经过点(Xi,0)、(2,0),且-2<

xi<-1,与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方，则下列结论：①abcVO；②

b2>4ac；③2a+b+lV0；®2a+c>0.则其中正确结论的序号是()

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】由于抛物线过点(xi，0)、(2,0),且-2Vxi<-1,与y轴正半轴相

交，则得到抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，于是可判断a<0,b>0,c

>0,所以abc<0；利用抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0,即b2>

4ac；由于x=2时，y=0,即4a+2b+c=0,变形得2a+b+&0,则根据0VcV2得

2

2a+b+l>0；根据根与系数的关系得到2xi=S,即k=上，所以-2〈上V-1,

a2a2a

变形即可得到2a+c>0.

【解答】解：如图，

•.,二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象经过点(xi，0)、(2,0),且-2VxiV

-1,与y轴正半轴相交，

，aV0,c>0,对称轴在y轴右侧，即*=>0,

2a

Ab>0,

Aabc<0,所以①正确；

•.•抛物线与X轴有两个交点，

b2-4ac>0,BPb2>4ac,所以②正确；

当x=2时，y=0,即4a+2b+c=0,

2a+b+&=0,

2

V0<c<2,

.,.2a+b+l>0,所以③错误；

,二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象经过点(xi，0)、(2,0),

二方程ax2+bx+c=0(a#0)的两根为Xi,2,

2XI=£>,即xi=-2_,

a2a

而-2Vxi<-1,

，-2V上V-1,

2a

Va<0,

-4a>c>-2a,

/.2a+c>0,所以④正确.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(aW

0)的图象为抛物线，当a>0,抛物线开口向上；对称轴为直线x=-互；抛物

2a

线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点；当

b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交

点.

10.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列结论中正确的

是()

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=0的一个根

C.a+b+c=O

D.当xVl时，y随x的增大而减小

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质.

【专题】选择题

【分析】根据抛物线的开口方向可得a<0,根据抛物线对称轴可得方程

ax2+bx+c=O的根为x=-1,x=3；根据图象可得x=l时，y>0；根据抛物线可直

接得到xVl时，y随x的增大而增大.

【解答】解：A、因为抛物线开口向下，因此aVO,故此选项错误；

B、根据对称轴为x=l,一个交点坐标为（-1,0）可得另一个与x轴的交点坐

标为（3,0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确；

C、把x=l代入二次函数y=ax2+bx+c（aWO）中得：y=a+b+c,由图象可得，y>

0,故此选项错误；

D、当xVl时，y随x的增大而增大，故此选项错误；

故选B.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是从抛物线中的得

到正确信息.

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；lai还可以决定开

口大小，lai越大开口就越小.

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<

0）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）

③常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）.

④抛物线与x轴交点个数.△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△

=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没

有交点.

11.在反比例函数y=独中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数

X

y=mx2+mx的图象大致是图中的（）

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；G4：反比例函数的性质.

【专题】选择题

【分析】根据反比例函数图象的性质确定出m<0,则二次函数y=mx2+mx的图

象开口方向向下，且与y轴交于负半轴，即可得出答案.

【解答】解：•.•反比例函数y=2,中，当x>0时，y随x的增大而增大，

X

...根据反比例函数的性质可得m<0；

该反比例函数图象经过第二、四象限，

...二次函数y=mx2+mx的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴.

,只有A选项符合.

故选A.

【点评】本题考查了二次函数图象、反比例函数图象.利用反比例函数的性

质，推知mVO是解题的关键，体现了数形结合的思想.

12.二次函数y=ax2+bx+c(a#O)的图象如图所示，下列结论正确的是

A.a<0B.b2-4ac<0

C.当-1VXV3时，y>0D.--L=1

2a

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、•.•抛物线的开口向上，...a〉。，故选项A错误；

B、♦.•抛物线与x轴有两个不同的交点，.♦.△=b2-4ac>0,故选项B错误；

C、由函数图象可知，当-1VXV3时，y<0,故选项C错误；

D、•.•抛物线与x轴的两个交点分别是(-1,0),(3,0),.♦.对称轴x=-

—些行1,故选项D正确.

2a2

故选D.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是

解答此题的关键.

13.已知二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列五个结论中：

①a+b+c<0；②a-b+c>0；③2a-b<0；④abc<0；⑤4a+2b+c>0,错误的个

数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】分别结合图象判定出x=l,-1,2时对应y的值，再利用对称轴位置

以及抛物线与坐标轴交点得出答案.

【解答】解：如图所示：当x=l时，y=a+b+cVO,故①a+b+cVO正确；

当x=-l时，y=a+b+c<0,故②a-b+c>0,错误；

③；--L>-1,

2a

2a

b>2a,

即2a-b<0,故此选项正确;

•.•抛物线开口向下，，a<0,

vo>--L>-1,

2a

.,.b<0,

•.•抛物线与y轴交与负半轴，

/.c<0,

.*.abc<0,

故选项④正确；

当x=2时，⑤y=4a+2b+cV0,故此选项错误，

故错误的有2个.

故选B.

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出

是解题关键.

14.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为

（工，1）,下列结论：①c>0；②b2-4ac>0；③a+b=O；®4ac-b2>4a,其中

2

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标即可确定；

②根据抛物线与x轴的交点情况即可判定；

③根据抛物线的对称轴即可判定；

④根据抛物线的顶点纵坐标即可判定.

【解答】解：①抛物线与y轴正半轴相交，，c>0,故①正确;

②抛物线与x轴相交于两个交点，...b2-4ac>0,故②正确；

③•.•抛物线的对称轴为x二1/二-上；L,.•.a+b=O,故③正确；

22a2

2

④•.•抛物线顶点的纵坐标为1，.m-b=i,.-.4ac-b2=4a,故④错误；

4a

其中错误的是④.

故选D.

【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围

求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运

用.

15.如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),

对于下列结论：①2a+b=0；②abcVO；③a+b+c>0；④当x>l时，y随x的增

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=l,根据抛物线对

称轴方程得到一且=1,则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到aVO,由

2a

b=-2a得到b>0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c>0,则可对②进

行判断；利用x=l时，y>0可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判

断.

【解答】解：•.•二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),

...抛物线的对称轴为直线x=l,

A--L=l,即2a+b=0,所以①正确；

2a

•.•抛物线开口向下，

.,.aVO,

b=-2a,

/.b>0,

•.•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.,.c>0,

/.abc<0,所以②正确；

,.•x=l时，y>0,

a+b+c>0,所以③正确；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线开口向下，

.•.当x>l时，y随x的增大而减小，所以④正确.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a#

0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开

口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abVO）,

对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,

c）.抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个

交点；Z\=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Z\=b2-4ac<0时,抛物线

与x轴没有交点.

16.二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，则下列说法不正确的是

B.a>0C.c>0D.上<0

2a

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断

C与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所

得结论进行判断.

【解答】解：A、正确，•••抛物线与x轴有两个交点，.•.△=b2-4ac>0；

B、正确，•.•抛物线开口向上，，a>0；

C、正确，•.•抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，，c>0；

D、错误，二•抛物线的对称轴在x的正半轴上，-互>0.

2a

故选D.

【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间

的转换，根的判别式的熟练运用.

17.用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是/

cm2.

【考点】H7：二次函数的最值.

【专题】填空题

【分析】设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16-x)cm,则矩形的面积S

即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解.

【解答】解：设矩形的一边长是xcm,则邻边的长是(16-x)cm.

则矩形的面积S=x(16-x),BPS=-x2+16x,

当*=-旦=-区8时，S有最大值是：64.

2a-2

故答案是:64.

【点评】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数

问题，利用函数的性质求解.

18.把二次函数y=x2-12x化为形如y=a(x-h)2+k的形式Y=(x-6)?-

36.

【考点】H9：二次函数的三种形式.

【专题】填空题

【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完

全平方式，把一般式转化为顶点式.

【解答】解：y=x2-12x=(x2-12x+36)-36=(x-6)2-36,即y=(x-6)2

-36.

故答案为y=(x-6)2-36.

【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:

⑴一般式：y=ax2+bx+c(a#0,a^b、c为常数)；

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k；

交点式(与轴):

(3)xy=a(x-xi)(x-x2).

19.如图，P是抛物线y=-x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y

轴引垂线，垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为6.

【考点】H7：二次函数的最值；H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】填空题

【分析】设P(x,y)(2>x>0,y>0),根据矩形的周长公式得到C=-2(x-

1)2+6.根据二次函数的性质来求最值即可.

【解答】M：*.*y=-x2+x+2,

•■•当y=0时,-x2+x+2=0BP-(x-2)(x+1)=0>

解得x=2或x=-1

故设P(x,y)(2>x>0,y>0),

C=2(x+y)=2(x-x2+x+2)=-2(x-1)2+6.

当x=l时,C/大值=6,.

即：四边形OAPB周长的最大值为6.

故答案是：6.

【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征.求二次

函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方

法，第三种是公式法.本题采用了配方法.

20.二次函数y=-x?+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过

第四象限.

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；F7：一次函数图象与系数的关系.

【专题】填空题

【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向

下得到a小于0,故b大于0,再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c

大于0,利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限.

【解答】解：根据图象得：a<0,b>0,c>0,

故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.

故答案为：四.

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的

关系，熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键.

21.已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-

1,0)且平行于y轴的直线.

(1)求m^n的值；

(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的

图象相交于另一点B,点B在点P的右侧，PA：PB=1：5,求一次函数的表达

、

式__I.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析

式.

【专题】解答题

【分析】(1)利用对称轴公式求得m,把P(-3,1)代入二次函数y=x2+mx+n

得出n=3m-8,进而就可求得n；

(2)根据⑴得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定

理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系

数法就可求得一次函数的表达式.

【解答】解：(I；•对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线，

/.-—~=-1,

2X1

m=2,

•・,二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),

/.9-3m+n=l,得出n=3m-8.

/•n=3m-8=-2；

(2)Vm=2,n=-2,

二次函数为y=x?+2x-2,

作PCJ_x轴于C,BDJ_x轴于D,则PC〃BD,

•••-P-C-_-P-A,

BDAB

VP(-3,1),

：.PC=1,

VPA：PB=1：5,

•-•-1-,1-,

BD6

，BD=6,

，B的纵坐标为6,

代入二次函数为y=x?+2x-2得，6=x2+2x-2,

解得xi=2,X2=-4(舍去)，

AB(2,6),

.J-3k+b=l,解得,k=l,

l2k+b=6lb=4

,一次函数的表达式为y=x+4.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根

据已知条件求得B的坐标是解题的关键.

22.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在

x轴、y轴的正半轴，抛物线y=-L<2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶

点，连接AC、BD、CD.

⑴求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特

征.

【专题】解答题

【分析】(1)根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的

值，即可确定出解析式；

⑵把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形

ABC面积+三角形BCD面积，求出即可.

【解答】解：(1)由已知得：C(0,4),B(4,4),

把B与C坐标代入y=-L<2+bx+c得：［4b+c=12,

2Ic=4

解得：b=2,c=4,

则解析式为y=--i-x2+2x+4；

2

(2)*.'y=--5-X2+2X+4=-—(x-2)2+6,

22

•••抛物线顶点坐标为(2,6),

贝US四边形ABDC=SMBC+SMCD=LX4X4+Lx4X2=8+4=12.

22

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的

坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

23.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).

⑴求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质.

【专题】解答题

【分析】⑴根据抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),直接得出

抛物线的解析式为；y=-(x-3)(x+1),再整理即可，

⑵根据抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,即可得出答案.

【解答】解：⑴•.•抛物线y=-x2+bx+c经过点A