高考冲刺：解答题的解题策略巩固练习

【巩固练习】

_X2

1.（2015河南1角考）在直角坐标系xo），中，曲线C:y=一与直线/:丁=辰+。（。＞0）交于

4

M,N两点。

（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程.

（H）y轴上是否存在点P,使得当上变动时，总有NOPM=NOPN?说明理由。

2.（2015湖北高考）一种作图工具如图1所示.0是滑槽AB的中点，短杆0N可绕0转动，

长杆MN通过N处钱链与0N连接，施V上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1,MN=3.当

栓子D在滑槽4?内作往复运动时;带动N绕0转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔

尖画出的曲线记为C.以0为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.

（I）求曲线C的方程；

2

（II）设动直线1与两定直线L:x—2y=0和12：x+y=0分别交于P,Q两点.若直线1总

与曲线C有且只有一个公共点，试探究：AORQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该

最小值；若不存在，说明理由.

—33—XX71

3.已知向量a=（cos—x,sin—x）,/?=（cos—sin—）,fixe[0,-1.

22222

⑴求。，石及|Q+B|；

（2）若/（。）=£%—24|£+：|的最小值是一士,求一的值.

2

22

4.已知A为椭圆二+々=1（。＞匕＞0）上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点R、F2,

orb

当AC垂直于x轴时，恰好有lAFj:；AR|=3：1,如图.

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设丽=41反而=4卷，试判断4+4是否为定值？若是定值，求出该

定值并证明；若不是定值，请说明理由.

5.已知有穷数列A：卬生，…,可，(〃22).若数列4中各项都是集合｛划一1<%<1｝的

元素，则称该数列为「数列.对于「数列A,定义如下操作过程T：从A中任取两项q,力,

a.+a.

将二一心的值添在A的最后，然后删除q,4,这样得到一个〃—1项的新数■列4(约定:

1+。臼

一个数也视作数列).若4还是「数列，可继续实施操作过程T,得到的新数列记作人2,

……，如此经过％次操作后得到的新数列记作4.

(I)设A：O,LL请写出人的所有可能的结果；

23

(II)求证：对于一个“项的「数列A操作T总可以进行〃—1次；

(III)设4:一3,-，，一，,一'*」,!」」」.求4的可能结果，并说明理由.

7654623456

2x1

—%-，工0~

6.已知A(须，％),B(X2,%)是函数/(x)=『—2尤2的图象上的任意两点(可以

卜Lx=3

1______

重合)，点M在直线x=—上，且AM=M8.

2

(I)求王+工2的值及％+%的值

(ID已知S1=0,当仑2时,S=/(-)+/(-)+/(-)+..­+/(-),求S“；

nnnnn

(III)在(H)的条件下，设a“=2S”，7；为数列｛4｝的前〃项和，若存在正整数c、

T-c1

m,使得不等式〈一成立,求c和m的值.

2

7.(2015北京高考)已知函数〃x)=ln—.

(I)求曲线y=〃x)在点(O,/(O))处的切线方程；

(II)求证：当xe(0,1)时，/(x)>2x+方］；

(III)设实数k使得/(力>%口+9］对x«0,I)恒成立，求女的最大值.

【参考答案与解析】

1•【解析】（1）当k=0时，点M、N的横坐标为±2&,进一步可得所求的切线方程为

y=±y[ax-a.

（2）存在，点P的坐标为（0,-a）,证明如下.

设〃m,—,N〃，幺.联立直线与抛物线方程为

<41\41

4履一4。二0

于是m+n=4k9mn=­4a.

----（一a）

此时直线的斜率为/-------=-+

m-04m

同理直线ON的斜率为-+

4n

这两条直线的斜率之和为竺W+幽士区=0,

4mn

因此直线OM与直线ON关于y轴对称，也就有/OPM=NOPM且与k的取值无关.

2.【解析】

(I)设点D(t,0)(|t|W2),N(xo,yo),M(x,y),依题意,

MD=2DN,且|两|=|砺j=l,

所以（t—x,—y）=2（x0—t,y。），且产。一"+%=1,

石+y；=L

即y-X=2%-2f,且t（t-2xo）=O.

ly=-2y0.

由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0,

22

于是t=2x。,故与=今％=_（代入片+。=1,可得、+卷=1,

即所求的曲线C的方程为片+其=1.

164

（II）（1）当直线1的斜率不存在时，直线1为x=4或x=-4,都有SM>e=；x4x4=8.

（2）当直线1的斜率存在时，设直线/:y=fcv+/n（4二±工），

由1}kx+m,消去丫，可得(i+4k")x'+8kmx+4m‘-16=0.

lx2+4/=16,

因为直线1总与椭圆C有且只有一个公共点，

所以A=64k2m2-4(1+41)(媪-16)=0,HPm2=16k2+4.①

又由1丫=履+肛可得且“_同理可得Q(二犯，上).

[x-2y=O,'1-2左{-Ik\+2k\+1k

由原点0到直线PQ的距离为d=/㈣=和|PQ\=V17F|与-x0|,可得

y/1+k2

2

c1।DCI/1।II.1..2m2m2m

^e=-|P0l-</=-l-llx,-xe|=-.|W|i-^+T-^=i-7F.

2/n24/+1

将①代入②得,=8—；—

]-4k24k2

2

当炉>1时，S&0PQ=8产,+1)=8(1+)>8；

4MPQ4A:2-14AI’

2

当0M/<1时，SMP0=8(^--S=8(-1+--).

4A，。l-4k2l-4k2

0O<jl2<-.则0<1—41<2・1,一\22，所以鼠0即=8(-1+—J)28，

41-4GA0PG\-4k2

当且仅当k=0时取等号.

所以当k=0时，SMW的最小值为8.

3.【解析】

—3x3x

(1)ab=cos-x•cos——sin-x-sin—=cos2x.

2222

|Q+B|=J(cosgx+cos*1)2+(sin-|x-sin^)2

=j2+2cos2x=2vcos2x

兀—•—•

*.*xe[0,y],/.cosx>0,\a+b\=2cosx.

(2)/(x)=cos2x-42cosx,BPf(x)=2(cosx-2)2-1-222

TC

*/XG[0,y],/.0<COSX<1,

①当见<0时，当且仅当cosx=0时，/(x)取得最小值-1,这与已知矛盾.

②当时，当且仅当cosx=2时，/(X)取得最小值—1—2/12,

31

由已知得—1—2/12=——，解得4=—；

22

③当;1>1时，当且仅当cosx=l时，/(幻取得最小值1—4/1,

35

由已知得1—44=一一，解得4=这与；1>1相矛盾.

28

综上所述，/l=L即为所求.

2

4.【解析】

,2

(1)当AC垂直于x轴时，|4工|=2，

a

又：|AF|：|AF2|=3:1,

：.\AFt|=—,从而|46|+|4月|=竺-=2”，

aa

：.a=2b2,：.a=2c,：,e=-=—.

a2

(2)由(1)得椭圆的方程为六+2丫2=21/,焦点坐标为K(—b,0),F2(b,0).

①当AC、AB的斜率都存在时,设A(xo,yo),B(xi,yi),C(x2,y2),

则AC所在的直线方程为y=~-(x—勿，

x0~b

y-———(x—b)

由；xd得(x；+2y；-2法o+/)y2+2〃％(Xo-/?)y-/y；=O.

x2+2y2=2b2

又A(xo,y0)在椭圆—+2/=21?2上，x；+2y；=2/,

则有(3/-2bx°)y1+2。％Go-加y-6y；=0.

•­%必2

3h-2bxQ

...y2rb,

.%3b-2x0'

故人=।4与।_%_3b-2x()

-~\F2C\~-y2~b

同理可得4=------"，・・・4+人=6；

b

②若ACJ_x轴，则4=1,4=3"2"=5,这时4+4=6；

③若AB_Lx轴，则4=1,4=5,这时4+4>=6.

综上可知4+4是定值6.

5.【解析】(I)4有如下的三种可能结果：

(II)Va,be{x\-l<x<l}9有

a+b-(«-1)(/?—1)a+h(Q+1)(〃+1)

----------1=------------------<(nJ且n--------(―1)=---------------->0.

\-\rabT+ab1+ab1+ab

所以上心.e{x|-l<x<l},即每次操作后新数列仍是r数列.

\+ab

又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对「数列A每操作一次，项数就减少

一项，所以对"项的「数列4可进行〃一1次操作(最后只剩下一项)

(III)由(II)可知A,中仅有一项.

对于满足a,。e{幻—1<x<1)的实数定义运算:

。〜下面证明这种运算满足交换律和结合律。

1+ab

nd7a+b门,h+a

因为。〜匕=-----，且匕〜a=--------，

1+a/71+仪？

所以=a〜/?,

即该运算满足交换律；

h+c

因为a〜3〜c)=a〜*="收="+〃+，+"，

1+bc[।b+c1+ab+be+ca

]+Q------

1+hc

a+b

.---------FCjj

c/,、a+bi_i_ZAa+b+c+abc

且（a~力）〜c------------c=-Z——=-------------------

l+ab,,a+b1+ab+bc+ca

Id----------c

l+ab

所以a〜S~c)=(a〜。)〜c,即该运算满足结合律.

选择如下操作过程求4：

人，，、…115

由（I）可知-----=-；

237

55n11c11n11n

77445566

所以A：工,0,0,0,0：

6

易知人经过4次操作后剩下一项为之.

6

综上可知：A)：-

6

6.【解析】(I)•.•点M在直线x=；上，设Md,%)•又AM=MEi,

----1一1

即AM=(万—石，y"—%),MB=(x2--,y2-yM),

/.再+工2二L

+=x

①当王=g时，x2=y,yiy2f(i)+/(^2)=-1-1=-2；

②当事力：时，x2*p

2X2_2M(1—2X2)+2X2(1-2%)

1—2,x2(1—2Mxi—2X9)

2(x,+x2)-8XjX2_2(1-4X,X2)

二-------------------------------------------二-------------------------二—2

1-2(3+/)+4X|X24XJ%2-1

综合①②得，y+%=-2.

(II)由(I)知，当再+%2=1时,%+%=-2・

kvj—k

・・・/(-)+/(——)=-2，k=1,2,3,…，〃一L

nn

n22时，S=/(-)V(-)+/(-)+-+/(-)，①

nnnnn

S“=/(-)+/(-)+./-(-)+•••+/(-)，②

nnnn

①+②得，2Sj-2(n-l),则S〃=l-n.

n=l时,Sj=O满足Sw=l-n.Sfl=l-n.

S

(III)an=2〃=2〜,

T,n-c<J.02(>—c)—(Z〃+i—c)<0oC-(27；「7；J+])<0

一c22(7；n+1-C)。一

131

：.-<2——<c<2——<2,c、m为正整数,/.c=l,

22m2m

2--<1

2H,

当C=1