第六章 一次函数（3类压轴题专练）

第六章一次函数（压轴题专练）一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以一定的速度，沿方向运动到点A处停止（提示：当点P在AB上运动时，点P到DC的距离始终等于AD和BC）．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（）A．6 B．9 C．15 D．182．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（）①动点H的速度是；②BC的长度为；③b的值为14；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（）A． B． C． D．4．如图，在长为形中，，点分别是线段上的点，其中，连线，动点从点出发，以的速度沿着路径匀速运动，运动到点即停止运动，连接，设点运动的时间为．

(1)如图1，线段；当时，线段；(2)如图1，点在线段上运动的过程中，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(3)如图2，连接，点在整个运动过程中，的面积总是随着时间的变化而变化，请直接写出面积与运动时间的关系式．二、一次函数之三角形存在性问题问题5．如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．(1)求线段的长；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积；(3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A、B两点，直线：分别交x轴，y轴于C、D两点，两直线相交于点，点P是直线上一动点．(1)求n和b的值；(2)若是直角三角形，求点P的坐标；(3)当，求点P的坐标．7．直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且．(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；(2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标；(3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接交直线于点E．(1)求直线的解析式；(2)在x轴上存在一点P，使得的和最小，并求出其最小值；(3)当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．一次函数之三角形全等问题9．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，直线与轴交于点．i）若的面积为8，求点的坐标；ii）如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．10．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点．已知．

(1)求直线的解析式；(2)已知点为直线上第三象限的一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出变量的取值范围）；(3)在（2）的条件下，，点关于轴的对称点为点，点在第一象限直线的右侧，点在线段上，连接相交于点，满足，，过作轴交直线于点，连接，取的中点，连接，过点作交轴于点，且，延长与相交于点，若，求的长．

第六章一次函数（动点、全等、三角形存在性问题）（压轴题专练）答案全解全析一、动点函数问题1．如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以一定的速度，沿方向运动到点A处停止（提示：当点P在AB上运动时，点P到DC的距离始终等于AD和BC）．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（）A．6 B．9 C．15 D．18【答案】D【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【详解】由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积为：，即△PCD的面积不变，则结合图象可知AB=6，当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，即结合图象可知BC=x-AB=9-6=3，∴长方形ABCD的面积为：AB•BC=6×3=18．故选：D．2．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有几个（）①动点H的速度是；②BC的长度为；③b的值为14；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．【详解】解：当点H在上时，如图所示，

，，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H在上时，如图所示，是的高，且，

∴，此时三角形面积不变，当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，

，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H在上时，如图所示，是的高，且，

，此时三角形面积不变，当点H在时，如图所示，

，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得时，点H在上，，∴，，∴动点H的速度是，故①正确，时，点H在上，此时三角形面积不变，∴动点H由点B运动到点C共用时，∴，故②错误，，点H在上，，∴动点H由点D运动到点E共用时，∴，故③错误．当的面积是时，点H在上或上，点H在上时，，解得，点H在上时，，解得，∴，∴从点C运动到点H共用时，由点A到点C共用时，∴此时共用时，故④错误．故选：A．3．如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设点的运动时间为，的面积为，当运动到的中点时，的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先结合图形和函数图像判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可．【详解】解：四边形中，，，∴，∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度，当点从运动到处需要秒，则，根据图像：当时，点运动到点，的面积为，∴，∴，根据图像：当点运动到点时，面积为，∴，∴，∴，∴四边形是梯形，又∵，∴四边形是直角梯形，∵，点的速度是每秒个单位长度，∴运动时间为秒，∴，设当时，函数解析式为，∴，解得：，∴当时，函数解析式为，如图，过点作于点，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴当运动到的中点时的时间，∴，∴当运动到的中点时，的面积为．故选：A．4．如图，在长为形中，，点分别是线段上的点，其中，连线，动点从点出发，以的速度沿着路径匀速运动，运动到点即停止运动，连接，设点运动的时间为．

(1)如图1，线段；当时，线段；(2)如图1，点在线段上运动的过程中，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出对应的时间的值；(3)如图2，连接，点在整个运动过程中，的面积总是随着时间的变化而变化，请直接写出面积与运动时间的关系式．【答案】(1)13；9(2)或(3)①当时：；②当时：；③当时：【分析】（1）由矩形性质及已知，再利用勾股定理可得的长度，利用当时，在上，从而可得答案；（2）当是以为直角边的直角三角形时，分两种情况：当时，如图所示，过作于，则；当，过作于，连接，如图所示，同理可得：，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三种情况：①当时：数形结合，由三角形面积公式得到；②当时：数形结合，间接表示面积得到；③当时：数形结合，由梯形面积公式间接表示得到．【详解】（1）解：∵在长为形中，，∴，∵，∴，∴在中，，则，动点从点出发，以的速度沿着路径匀速运动，运动的路程为，，当时，在上，；故答案为：13；9；（2）解：当是以为直角边的直角三角形时，分两种情况，讨论如下：当时，过作于，如图所示：

，∵，∴在中，，则，，当动点从点出发，以的速度在匀速运动时，则，∴，在中，，则由勾股定理可得：，∴，解得：，当，过作于，连接，如图所示：

同理可得：，∴在中，，则由勾股定理可得：，∴，解得：；综上：当是以为直角边的直角三角形时，对应的时间的值为或；（3）解：，分三段：①段，分界；②段，分界；③段，分界；当时，如图所示：

，则，由（2）知，∴；当时，如图所示：

∴，∵，设边上的高为，则，∴；当时，如图所示：

，，∴；综上所述，S．二、一次函数之三角形存在性问题问题5．如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．(1)求线段的长；(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积；(3)已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，求出点的坐标，设，由折叠的性质可得，利用勾股定理求解即可；（2）先求出点的坐标，然后由，即可获得答案；（3）设点，分三种情况利用等腰三角形两腰相等的性质，建立方程并求解即可获得答案．【详解】（1）解：对于直线，令，则，∴点，令，则有，解得，∴点，设，∵将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，∴，在中，可有，即，解得，∴线段的长为；（2）如下图，连接，∵点是点关于轴的对称点，线段的长为，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）∵线段的长为，∴，设点，∵点，∴，，，∵为等腰三角形，∴①当时，可有，解得，∴点的坐标为；②当时，可有，解得（舍去）或，∴点的坐标为；③当时，可有，解得或，∴点的坐标为或．综上所述，点的坐标为或或或．6．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A、B两点，直线：分别交x轴，y轴于C、D两点，两直线相交于点，点P是直线上一动点．(1)求n和b的值；(2)若是直角三角形，求点P的坐标；(3)当，求点P的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）两直线相交于点，将点代入两条直线方程求解即可；（2）根据直线解析式求出、、、①当时，如图，设，依据可求解；②当时，如图，设运用勾股定理求出、、结合求解即可；（3）①如图，当P在线段上时，得，设，即可求解；②如图，当P在线段的延长线上时，延长交于，结合已知和对顶角求得得，由解得，得到坐标，再求出过的直线解析式，最后联立方程组即可求解．【详解】（1）解：两直线相交于点，故在、上，，解得：，；（2）解：由（1）可知：：分别交x轴，y轴于A、B两点，当时，，故，当时，，故，：分别交x轴，y轴于C、D两点，当时，，故，当时，，故，①当时，如图，设，则有，，，②当时，如图，设，在上，，，，∵，，即，解得或，当时重合，不合题意舍去，当时，；（3）解：①如图，当P在线段上时，，，设，在上，则，当时，，②如图，当P在线段的延长线上时，延长交于，，，，，，，，解得：，，设过的直线解析式为：，则有：，解得：，∴，，解得，，综上，坐标为：或．7．直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且．(1)求点B的坐标及直线的函数表达式；(2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标；(3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标．【答案】(1)，(2)或或或(3)或或【分析】（1）由直线过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及的长度，结合可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；（2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可；（3）分和两种情况考虑，结合的长度即可得出点D的坐标．【详解】（1）∵直线：过点A，∴，∴．当时，，∴点B的坐标为，即．∵，∴．∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为．设直线BC的解析式为，将、代入，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为．（2）∵、∴，∴①当为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图，当时，则有∴，当时，∴，当时，∴；②当为底边时，设，则有解得，∴，∴点P的坐标为或或或故答案为：或或或；（3）分在x轴上方：和（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑：如图①：①当时，∵，∴．∵，∴，，∴，∴点D的坐标为；②当时，，，∴，∴点D的坐标为．如图②当时，∴∴点D的坐标为．综上所述，点D的坐标为或或．8．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接交直线于点E．(1)求直线的解析式；(2)在x轴上存在一点P，使得的和最小，并求出其最小值；(3)当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．【答案】(1)；(2)(3)点的坐标为或或．【分析】（1）分别计算、的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式；（3）根据轴对称的最短路径先确认的位置：连接交轴于，此时，最小，即是的长，利用勾股定理可计算的长，最后将其配方后，根据二次函数的最值可得结论；（4）存在三种情况：分别以、、三个顶点为直角顶点，画图可得的坐标．【详解】（1）直线交轴于点，交轴于点，令，得，∴，令，，，，点与点关于轴对称，，设直线的解析式为，将，代入得，，，直线的解析式为；（2）如图2，点与点关于轴对称，当时，的值最小，即，，，，，，；则的和最小为；（3）设交x轴于点F，∵直线的解析式为，点E横坐标为a，∴，∴，∴∵，∴，，设，，为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：①当为直角顶点时，如图3，，则，，，；②当为直角顶点时，如图3，同理得；③当为直角顶点时，如图4，此时与重合，综上，点的坐标为或或．一次函数之三角形全等问题9．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，与直线交于点．

(1)求点的坐标；(2)点是线段上一动点，直线与轴交于点．i）若的面积为8，求点的坐标；ii）如图2，当点在轴正半轴上时，将直线绕点逆时针旋转后的直线与线段交于点，连接，若，求线段的长．【答案】(1)(2)或；【分析】（1）根据题意，易求的函数解析法，点在直线上，可求出点坐标；（2）i）解：在线段上，且，，设点，分两种情况：①在点右侧时，根据题图表示和、的关系列出方程，即：，解之得；②点在点左侧时根据、、三者之间的关系列出方程：，解得．综上所述或；ii）出现想到构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．【详解】（1）解：分别与轴，轴交于点，，，解得，，时，，；（2）解：i）在线段上，且，，设点，分两种情况：①当在轴正半轴上时，如图所示：

，，，轴，，，，，即，解得，；②当在轴负半轴上时，如图所示：

点，，，，，，，，解得，；综上所述：或；ii）过作垂直于轴，垂足为，过作的垂线交轴于点，如图所示：

，，，在与中，，，，，在与中，，，，又，，，，，设，则，在中，由勾股定理可得，，解得，．10．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标