高考导数解答题专练一（恒成立问题）

高考导数解答题专练一(恒成立问题)

在解题中常用的有关结论(需要熟记)：

⑴曲线在工=/处的切线的斜率等于八与)，切线方程为y=r(x0)(x-^0)+/(x0)

(2)若可导函数y=f(x)在x=xo处取得极值，则(*°)=0。反之，不成立。

(3)对于可导函数f(x),不等式:(x)>0(<0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。

(4)函数/(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：Vxe/r(x)N0(40)恒成立

(5)函数/*)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f'(x)=0在区间

I上有实根且为非二重根。(若/'(X)为二次函数且I=R,则有A>0)。

(6)/*)在区间I上无极值等价于/a)在区间在上是单调函数，进而得到/'")20或((幻00在I

上恒成立

⑺若匿/。)>0恒成立，则<(%)min>0；若Vxe［,/*)<0恒成立，则/(初皿<0

(8)若三/€］,使得f*0)>0,贝Uf(X)max>0；若三%£/,使得f(%)<0,贝

(9)

⑼设f(X)与g(X)的定义域的交集为D若DX£D/(X)>g(x)恒成立则有［f(x)_g(x)L>0

(10)若对XX%£/］、X2GI2,f(X］)>g(X2)恒成立，则/(x)min>g(X)max・

若对V%w/］，3X2el2,使得/(3)>以工2)，则/(x)min>g(X)min-

若对V%£/］，3X2el2,使得/(%)<且(々)，则/(幻max<g(%)max・

(11)已知f(x)在区间L上的值域为A,,g(x)在区间八上值域为B,

若对V芭w4，三々£八，使得/(为)=g*2)成立，则AqB。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程/'(%)=0有两个不等实根与、%,且极大值大于0,极小值

小于0.

(13)证题中常用的不等式：

①冗一1(%>0)②ln(x+DSx(x>-l)③e'Nl+x

1.已知函数/0)=-/+ar-3,g(x)=xlnx,aeR.

(1)当x>0时，2g(x)>f(x),求〃的取值范围；

(2)证明：当工>0时，^(x)>---.

ee

解：(1)当>>0时，2g(x)../(x),即2xlnx..-x2+ar-3，即用2"版+"+3_21nx+x+—>

xx

®/i(x)=2lnx+x+-(x>o)i贝IJ/(X)=2+I—M=1£1^Z12,

XXX~X

.,.当xe(O,l)时，h\x)<0,力(x)在(0,1)单调递减，当xw(L+<x>)时,hr(x)>0,力(x)在

(1收)单调递增，

hMmin=h⑴=4，则4,4.

实数〃的取值范围为(-8,4］；

(2)证明：*/g(x)=xlnx,

g'(x)=\+lnx,

易知函数g(x)在(0-)上单调递减，在(L*o)上单调递增，

ee

.•.当%>o时'g(x%=g(3=—L

ee

令*(%)=5-2,贝

ee/

易知以外在(0,1)单调递增，在单调递减，

e

又两个等号不同时成立，故当x>0时，g(x)>—

ee

2.已知函数/(x)=M+cosx-l(其中工.0),八幻为f(x)的导数.

(1)求函数/“)在”=0处的切线方程；

(2)若不等式f(x)2ax恒成立，求a的取值范围.

解：(1)/Xx)=(x+l)ev-sinx,贝1］尸(0)=1,

又/(0)=0，

函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x;

x

(2)h(x)=xe+cosx-\-axf贝!j〃(x)=(x+l)e*-sinx-a,

〃"(x)=(x+2)ex-cosx>0(x.0),

.•./«”)在［0,”)上单增，

①当a,,1时，〃(幻隔一々0,

・•/(x)为增函数，则为(刈.次0)=0恒成立,符合题意；

②当时，由hf(x)在［0,+00)上单增，且/Z(0)=l-a<0,

H(lnd)=alna+a-sin(lna)-a=alna-s\n(bia)>Ina-sin(/〃a)>0,

故存在唯一x0G(0,+<»),使得"(％)=(),则当xe(0,/)时，h'(x)<0,〃*)单减，

〃(x)v〃(0)=0，此时与心)..O矛盾,不合题意.

综上所述，实数a的取值范围为(F,1］.

3.已知函数/(xx/-。/心.

(I)当々=2时，试判断函数/(X)的单调性；

(II)当a>0时，若对任意的4€(L+OO),/*)>/一夕+〃恒成立，求”的取值

e

范围.

解：(I)a=2时，f(x)=x2-2bvc»/(x)的定义域是(0,yo),

f(x)=2x--=2('+l)d,

XX

令ra)>o,解得：%>i,令r*)<o,解得：o<x<i,

故f(x)在(0,1)递减,在。,+00)递增;

(II)/(x)>x2-ex+a恒成立,即ex>a(\+Inx),

,/x€(->+oo)，/.l+//tr>0,

e

故当a>0时，对任意XG(L+<»),a<--——恒成立，

e\+bvc

令g(x)=；，则

\+lnxx(l+Inxy

^h(x)=x+xlnx-\f贝lj〃(x)=2+/nr,

,/xe(->4-oo),:.2+lnx>0函数〃(X)在d，+oo)上单调递增，

ee

显然力(1)=0,故当［vx<l时，g，(x)<0,当x>l时，grM>0,

e

故函数g(x)在(L1)递减，在(I,+oo)递增，

e

故g(x)..g(1)=ef故0va<e,故〃的取值范围是(0,e).

4.已知函数f(x)=2ej-3+l)x,XG［0,+oo).

(1)若4=0,证明：f(x)>2+x+x2；

(2)若f(x)N2jx2+(a+l)x+1,求a的取值范围.

解：(1)证明：若a=0,则f(x)=le1-x,即证2e,-x..2+x+%2,只需证/..l+x+'d,

2

^g(x)=eT-l-x--x2,x.O,则g，(x)=e*-l-x,g"(x)=eT,

显然g"(x)..O在［0，+QO)上恒成立,

.卬。)在［0,4-o)上单增，

・..g'a)..g'(o)=o,

.•.g(x)在［0,+00)上单增，

・•.g(x)..g(0)=0，

/.ex»即得证；

2

(2)令被x)=2e"“-(々+l)x_2G+(a+l)x+1,

依题意，对任意xe［0,+<»),双幻..0恒成立，则以0)=""-2..0,解得％0,

又「x2+(a+l)x+l..O在,+oo)上恒成立，x=0显然成立,

..-(4+1),,1+■!"在xw(0,+co)上恒成立，即-3+1)”2,解得

X

故-3釉0;

下面证明：当-琛山0时，以。.0在xw[0,+00)上恒成立，

令=加…-(a+1)4-2M+3+1)口+1,ae[-3,0],

贝lj=-2ex-a-x-,“，

，x~+(a+l)x+1

vx.O,:.f(a)<0,

t(a)在[-3，0]上单减，则t{a}../(O)=2ex-x-2>]x2+x+\,

由(1)知，\.l+x+-x2

e2f

故2ex-x-2\/x2+x+1®(1+x+；f)-x-2\/x2+x+1=(Jx2+x+1-I)20,当且仅当

x=0时，取等号，

故奴x)..O在xe[O,+oo)上恒成立，

综上，实数a的取值范围为[-3,0].

5.已知函数f(幻=ex-axlnx-\{aeR),g(x)=xex-x2.

(I)当a=l时，求证：/(x)在(0,+oo)上单调递增；

(II)当X之1时，f(X)4g(X),求a的取值范围.

解：(I)证明：当々=1时，f(x)=e*-aWar-l,xe(0,+oo)»

则/(%)=6，一加:一1,又/(%)=小」在(0,+oo)上单调递增,且广(3=2<0,且

x2

r(1)=<?-i>o,

.•.切ed，1),使得尸(%)=*一,=0,

2%

当X€(O,X°)时，r‘(X)V。，当+8)时，广")>0，

.•.尸3在(0,题)上单调递减，在(M，位)上单调递增，

二./'(%)./(%)=*一/阵-1,

•/e1®--=0>

%

e"=—,bix0=-x^,

•%

/.f\x)=+—-1>0»

X。

.•./a)在(0,+oo)上单调递增;

(II)当x..1时，f(x\,g(x),问题等价于(x-1)ex-X2+ox加:+1..0(记为*)在口,+00)

上恒成立，

1

令g(x)=(x-1)，-x+axltix+1f

g'(x)=x(ex-2)+a(lnx+1),

:g(1)=0,.•.要使(*)式在内［1,+8)上恒成立，则必须/(1)-e-2+a..O,

a..2-et

下面证明当a.2-e时，g(x)..g(0)在xe［l,+QO)上恒成立.

,/X..1>;」nx+l>0,gr(x)..x(ex-2)+(2-e)(btx+l),

又加x+L,x,

/.gf(x))&(el-2)+(2-e)x=x(ex-x)0,

.■.当a.2-e时，g(x)在［1,十a)上单调递增，

g(x)..g(1)=0,即(*)式在xe［l,18)上恒成立，

故a的取值范围为［2-e,+oo).

6.已知函数f(x)=，z+ar+a3wK).

(1)讨论了⑺的单调性；

(2)当xNO时，f(x-l)+ln(x+l)21,求实数〃的取值范围.

解：(1))・・・/(x)=〃+ar+a的定义域是R,

r(x)=ex“+a,

当a..O时，r(x)>0在R上恒成立，故f(x)在R上单调递增；...2分

当av0时，令/⑶=0,得x=砥-a)-1,在(-oo,ln(-d)-1)上有f(x)<0,在(ln(-a)-1,

+oo)上有八力>0,

.•./(»在(-oo,加(-Q)-1)上是减函数,在(加(-a)-l,+oo)上是增函数….…4分

(2)当尤.0时，/(X-1)+/M(X4-1).,1,EPeA+av+//?(x+l)-1..0(*)

令g(x)=e*+a¥+/〃(x+l)-l(x..0j，则g,(x)=ex+a+—^—(x..O)>

x+1

若a..-2,由(1)知，当a=-l时,fa)=4-x-l在(T+8)上是增函数,

故有/(。4(一1)=/八+1-1=1，即f(x)=F"-x-L.l,得d+L.X+1+1,

故有elx+1.(由(1)可判断…，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题)

g，(x)=ex+—+a砥x+1)+——+a2(x+1)-——+a=2+«?0(当且仅当x+1=—!—,

x+\x+lVx+1x+\

即x=0,且a=-2时取等号).

・•・函数g(x)在［0,+O0)单调递增，「.g(幻..g(0)=0,/.(*)式成立...9分

②若av-2,令以幻="+—!—+a(x..O).

x+\

则“(x)=F一_二=(x+l?-l0,当且仅当x=o时等号成立.

(x+l)-(X+1)2

/.(p(x)=ex+—!—+a在区间［0,+<»)上单调递增，

x+1

,/d。)=2+av0,*(-。)=c~aH——\-a.A—a—!—\-a=\-\——-->0,

1-ai-a1-a

€(0,-a),使得<。=0,则当Ovxv不时，/(%)〈尹(%))=0,即g<x)vO,

・•・函数g。)在区间(0%)上单调递减，

・•.g(%)<g(O)=O，即，(*)式不恒成立.

综上所述，实数。的范围是［2,+O0)….….12分

7.已知函数/(x)=G_7T+x,g(x)=sinx+cosx・

(I)当XN-：时，求证：f(x)>g(x)；

(II)若不等式f(x)+g(x)<ax+2在［0,+8)上恒成立，求实数〃的取值范围.

(I)证明：4,h(x)=/(x)-g(x)=\/x2+\+x-sinx-cosx,x..--,

4

(1)当一巳”时，hf(x)=——+1-cosx+sinx,

44V7TT

因为〃〃(x)=——!—r+V2sin(x+-)>0,

［।r4

(x/x2+l)2

所以“⑶在［_冬,马上单调递增，且厅(o)=o,

44

当-工,,4<0时，〃&)<0,当0cxe至时，〃(%)>0,

44

所以〃(用在［-工，0)上单调递减，在(0二)上单调递增，

44

所以h(x)../i(0)=0,所以f(x)..g(x);

(2)当工二时，则

4

h(x)=J%:+1+x—\/2sin(x+4-1+x—\/2^(—)2+1+——\/2>0,以f(x)..g(x)•

综上所述，当其..-2时，f(x)..g(x).

4

(II)解：^/(x)=f(x)+g(x)-ax-2=\Jx2+1+x+sinx+cosx-ar-2,x.O,

则f(x)=—+1+cosx-sinx-a,

Vx2+1

由题意得心),,0在［0，+oo)上恒成立，因为/(0)=0,

所以《0)=2-④0,所以a.2,

下证当a.2时，心),,0在［0,+<»)上恒成立，

因为/(%)=Jx?+i+x+sinx+cosx-at-2,,\Jx2+1+x+sinx+cosx-2x-2,

令e(x)=G"7T-x+sinx+cosx-2,只需证明奴x)”0在［0,+ooj上恒成立，

(1)当啖*巳时，(p\x)=-.———-1+cosx-sinx，

4Vr+1

(p'\x)=---------->/2sin(x+—)>因为，(x)在［0,勺上单调递减，所以

(在前44

“⑸，吠'(0)=0,

所以(p\x)在［0,刍上单调递减,所以(p'(x',。'(0)=0，

4

所以奴工)在［0,马上单调递减，所以出戏,以0)=0;

4

(2)当x>-时，

4

2

虱x)=+1-X+0sin*+1)—2及+1_X+&-2^)+1-£+72-2<0.

综上所述，实数。的取值范围是［2,+00).

8.已知函数/(x)=/nr.

(1)讨论函数g(x)=/(x)-奴(aeR)的单调性;

(2)证明：/*)<e”2(e为自然对数的底数)恒成立.

解：(1)g(x)的定义域为(0,x),g3,-a=匕丝，(%>o)…1分

xx

当4,0时，g<x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+oo)上单调递增；...2分

当a>0时，令g&)=0,得到

所以，当xe(0一)时，g'(x)>。，则g(x)在(0」)上单调递增；

aa

当+co)时，gf(x)<0,则g(x)在(L+oo)上单调递减，

aa

综上所述，当“,0时，g(x)在(0,位)上单调递增；

当a>0时，g(x)在(0」)上单调递增，在(L+O0)上单调递减...3分

aa

(2)证明：记函数以］)=d-2_/皿=4_底，则”(为=黑寸」=『2/，4分

ee~xx

易知(p\x)在(0,+<o)上单调递增，

又由“(1)<0,“(2)>0知,“(X)在(0,+8)上有唯一的实数根%,...6分

且lv/v2,贝IJd(x°)=*C—_L=o,

七

即*-=」_(*),$分

%

当X£(O,Xo)时，<0,则0(%)在(O,xo)上单调递减,

当X€(%0，+00)时，>0»则以X)在(%,+8)上单调递增，

所以8(x)..0(%)=一*

结合e"，=—(*),知风一2=—/心口，…10分

天

所以(p(x)..耿仆)=—+x0-2=，°-2)+1_("T)>o,]]分

玉>玉)玉)

则以X)=j2_/心>0,即>加，所以f(x)<收为自然对数的底数)恒成立...12

分

9.已知函数/(x)="-4,^(x)=//LV-x-l,其中e为自然对数的底数，asR.

(1)若对任意的.qw(O,1],总存在％w(0,1],使得f(X])Zg(X2),求〃的取

值范围；

(2)若函数)，=/(#的图象始终在函数、，=幽-2的图象上方，求a的取值范围.

X

解：(1)对任意的ww(0，1]，总存在xe(0,1],使得/'(与)嫡(~)=g(x)2，

xs(0,1J.

^(x)=lnx-x-\,xe(0,1].

g，(x)=1-l=±±.O,.,.1?(%)在xw(0,1]上单调递增，

XX

・•・g(x)2=g(1)=-2.

f(x)=aex-4,xe(0,1].

fM=ae\

①a>0时，[(x)>0,函数/(x)在x€(0,1]上单调递增，・•・/(x)…=/(l)=四-4...-2,

解得a>2.

e

②a=0时，f(x)=T>-2,不成立，舍去.

③"0时，f(x)<0,函数/(x)在xe(0,1]上单调递减，.•./(x)gV/(0)=-4,而

-4<-2,舍去.

综上可得：a的取值范围是(2,+33).

(2)函数y=/(x)的图象始终在函数尸邈-2的图象上方。/(x)>邈-2,即

x2

x

ae-4>――----2,xe(O,4<o),也即-Ev-x+l>0,XG(0,+OO).

x

x

令h(x)=axe-lnx-x+\,xe(0,+QO).

h'(x)=a(x+l)ex---1=(x4-1)(。-ex--),

xx

qvO时，h\x)<0,函数/?(%)在xe(0,+oo)上单调递减，h(1)=aev0,不满足题

意，舍去.

a.O时，函数”(x)=ae，」在X£(0,+oo)上单调递增，存在唯一与>。使得〃(%)=。,

x

Bpae^'=—,Ina+/=-lnx0•

%

/.h{x}min=/:(x0)=ax^一I?%一%+1=1+Ina+与一币+1=2+Ina>0>解得a:>二.

e~

的取值范围是(；，*o).

e~

10.已知函数/(x)=/〃(x+l)-h-l,x>0.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若关于x的不等式f(x)+^>0对任意x>0恒成立，求实数Z的取值范围.

解：(1)因为函数f(x)=/〃(x+l)-米-1,x.O,

所以八幻=」--k,

x+\

当4..1时，0,/(x)在［0,18)上单调递减，

当晨0时，r(x)>0,/(%)在［D,+8)上单调递增，

当0v左v1时，令f\x)=0,解得x=--\»

k

当Qxv1-1时,f(x)>0,故f(x)单调递增,当时，/V)<0,故/(幻单

kk

调递减.

综上所述，当A..1时，f(x)在［0,+oo)上单调递减；当鼠0时，f(x)在［0,+QO)上

单调递增；

当OvAv2-1时，/(x)在上单调递增，在d-l,+oo)上单调递减；

kkk

(2)不等式/(%)+——..0对任意x.O恒成立，即/〃(x+1)-"-1+'一..0对任意x.O

X+lX+1

恒成立,

令尸(x)=/〃(x+l)-&-1+j,又尸(0)=0,

x+\

故不等式等价于尸(x)..尸(0)对任意x..O恒成立,

F(x)=—--k+不，所以F(0)..0,即解得鼠1,

x+\(x+1)

当k,,1,尸(x)..(x+1)-x—1+----=(p(，x),

x+\

(p\x)=---].0恒成立,

X+\(4+1)2(X+1)2

故破冷..以0)=0,

故当人,1时，/(x)+—..0对任意X..0恒成立,

X+1

所以女的取值范围为(-8,1].

11.已知函数八幻二也.

X

(1)若直线.v=Ax-l是曲线)=/(x)的切线，求实数上的值;

(2)若对任意xe(0,y)，不等式f(x)<ax-l-则成立，求实数〃的取值集合.

解：(1)v/(x)=—(x>0),

X

1,

—■x-Inxi.

•••r。)=~~~；—=——,

x~x~

设切点为(小,她)，则2=/&)=上单

代入直线丁=h-1得：她=匕牛毛—1,

七飞

艮|Jlnx0=1-/几”一/，/.2lnx0+天-1=0,

令〃(x)=2/nr+x-l,有〃(1)=0,

2

.•."*)=-+1>0,h(x)在(0,+功单调递增,

x

•••方程2玩c+%-l=0有唯一解4=1,

.1—lnx1—ln\i

:柒=—7^a=—3—=1；

•V1-

/八live,Ina

(2)—，，ax-1--------,x>0,

XX

/.cue-x-lnx-痴..0恒成立,

设F(x)=ax2-x-lnx-lna,贝lj尸'(")=如二七i

X

^G(x)=2ax2-x-l,v«>0,△=l+8«>0,

・•.G(x)=O有2个不相等实根玉，勺

则3=.五＜0,不妨设入＜。＜巧,

当上€(0,工2)，G(x)<0,当xe(占，+00),G(x)>0,

.•.尸(x)在(0,々)单调递减，在(4，y)单调递增,

「•尸(X)，”加=产(X2)=~X2~历(依2),

由G(w)=孙2一%一]=0得至,

2A2

匚/\X,+1.X,+11-x,.1+x_

/.F(A\)=-.........x,-In———=---------In------20»

2

22^22X2

令H[x}=~~~----+ln2x-ln(x+1),

22x2

(x-1)(X4-2)

则H\x)=_1+_2___1

22xx+12Mx+1)

・•.当xe(0』)时，〃(x)>0,当xe(L”)时，H,(x)<0.

则”(x)在(0,1)单调递增，在。,抬)单调递减,

H(x\,H(1)=0,

F(XZ)=H(X2)..O,.•.7(电)=0,则占=1,故々=1,

实数。的取值集合是{1}.

12.设函数/(x)=2Har-2加(06R).

(I)当。=g时，求函数/⑶的单调区间；

(II)若f(x)〈孳一lnx-1(f(x)为f(x)的导函数)在(Lx)上恒成立，求实

数〃的取值范围.

解：(I)当。=(时，f(x)=2xlnx-x2,x>0,

所以『@)=2伍r-2x+2,

令g(x)=fM=2/nr-2x+2(x>0),所以gf(x)=--2,

x

当xe(O,l)时，gr(x)>0,故g(x)为增函数；

当X£(l,+oo)时，g'(X)<0,故g(R)为减函数,

所以g(x),,g(1)=27/11-2x1+2=0,即r(x),,0,

所以函数/(%)的单调递减区间为(0,内)，无单调递增区间.

(II)因为/(x)=2x加;-20r2,所以r(x)2仇r-4at+2且%>0,

所以/(x),,-lnx-\在(l,+oo)上恒成立^>2(xlnx-ax2\,lnx-2ax+\-lnx-\在

(1,4<0)上恒成立0//a_以+“,0在(1,+00)上恒成立，

h(x)=lux-ax+a,xe(l,-Ko),贝lj"(x)=」一a且力(1)=/〃l-a+a=0,

x

当时0时,”(劝》0恒成立,故〃(x)在(1,+oo)上为增函数，所以。功>人(1)=0,

即4,0时不满足题意；

当a>0时，由"(x)=0,得x=L

若”(0,1),贝।/W(l,80),故做X)在(L+8)上为减函数，在。,3上为增函数，

aaa

所以存在不€(1」)，使得g0)>力(1)=0,即ae(o,l)时不满足题意；

a

若aw[l,+oo),WJ-€(O,1),故依)在(l,+oo)上为减函数,

a

所以〃⑶〈人(1)=0,所以网x),,0恒成立，故符合题意.

综上所述，实数。的取值范围是[1,+00).

13.已知。为自然对数的底数，函数八x)=e'+必(1+1).

(1)设汇=1是/a)的极值点，求。的值和函数的单调区间；

(2)当xw[0,1时,f(x)Nsinx-ex+2恒成立,求〃的取值范围.

解：(1)因为r(x)=e'+V，

x+\

由r(1)=0,得a=2,

当时，/(%)<0,/(x)单调递减，

当xc(l,2)时，尸(外>0,/(幻单调递增，

所以函数/@)在上单调递减，在。,内)上单调递增.

(2)令g(x)=/(x)—sinx+e，-2=2。'+。加(x+1)—2-sinx,xe［0,乃］,

当xw［0,幻时，/(D.si