2024-2025学年高中数学第一章推理与证明1.2类比推理课后作业含解析北师大版选修2-2

PAGE第一章推理与证明[A组基础巩固]1．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等差数列，a5＝2，则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的类似结论为()A．a1a2a3…aB．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a1a2a3…a9D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析：等比数列中积的关系在等差数列中应为加，同理，等比数列中的乘方在等差数列中应为积．答案：D2．三角形的面积为S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)解析：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A­BCD的内切球的球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案：C3．已知扇形的弧长为e，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形的面积公式S扇＝()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(e2,2)C.eq\f(er,2) D．不行类比解析：由扇形的弧与半径类比于三角形的底边与高可得C.答案：C4．类比三角形中的性质：(1)中位线长等于对应底边长的一半．(2)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的eq\f(1,4).(2)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的为()A．(1) B．(2)C．(1)(2) D．都不对解析：以上类比推理方法都正确，需留意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不肯定正确．答案：C5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·…·b9＝29，若{an}为等差数列，a5＝2，则在数列{an}中类似的结论为()A．a1·a2·…·a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1·a2·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列的性质知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.答案：D6．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示________．解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．答案：过原点的平面7．在平面几何中有命题：“夹在两平行线之间的平行线段长度相等”．在立体几何中，类比上述命题，可以得到________________．解析：平面几何中的点与空间中的线，平面几何中的直线与空间中的平面是类比对象，据此可以得到相应结论．答案：夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等8．在△ABC中，D是BC的中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________________________________________________________________________________________________.答案：在四面体A­BCD中，G为△BCD的重心，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))9．在平面中，我们有结论：“平行于同一条直线的两条直线平行”“垂直于同一条直线的两条直线平行”，将这两个结论推广到空间中，有什么结论？这些结论是否正确？解析：在空间中相应的结论分别是：(1)平行于同一平面的两个平面平行；(2)垂直于同一平面的两个平面平行．其中(1)是正确的，(2)是错误的．10．如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC、△SAC、△SAB的面积分别为S1、S2、S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想．解析：在△DEF中，由正弦定理，得eq\f(d,sinD)＝eq\f(e,sinE)＝eq\f(f,sinF).于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体中，我们猜想eq\f(S1,sinα1)＝eq\f(S2,sinα2)＝eq\f(S3,sinα3)成立．[B组实力提升]1．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4).推广到立体几何可以得到类似结论：若正四面体A­BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(1,27)解析：平面几何中，圆的面积与圆半径的平方成正比，而在立体几何中，球的体积与半径的立方成正比，设正四面体A­BCD的棱长为a，可得其内切球的半径为eq\f(\r(6),12)a，外接球的半径为eq\f(\r(6),4)a，则eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).答案：D2．已知x∈R且f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，得f(x)的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a为正的常数，x∈R且f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为________；(2)已知a为正的常数，x∈R且f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，则f(x)的一个周期为________．解析：(1)∵f(x＋a)＝－f(x)，∴f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)．∴f(x)的一个周期为2a.(2)∵f(x＋a)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，∴f(x＋2a)＝eq\f(fx＋a－1,fx＋a＋1)＝eq\f(\f(fx－1,fx＋1)－1,\f(fx－1,fx＋1)＋1)＝－eq\f(1,fx).∴f(x＋4a)＝－eq\f(1,fx＋2a)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴f(x)的周期为4a.答案：(1)2a(2)4a3．在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和．可类比得到的结论是________．解析：因为等差数列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.答案：数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为3004．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于点E，则得到的类比的结论是________．解析：易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，故eq\f(VE­BCD,VE­ACD)＝eq\f(BE,EA)＝eq\f(S△BCD,S△ACD).答案：eq\f(VE­BCD,VE­ACD)＝eq\f(S△BCD,S△ACD)5．设a1，a2，a3，…，an均为自然数，称a1＋eq\f(1,a2＋\f(1,a3＋\f(1,a4＋…)))为无穷连分数．例如eq\r(2)＝(eq\r(2)－1)＋1＝1＋eq\f(1,\r(2)＋1)＝1＋eq\f(1,2＋\r(2)－1)＝1＋eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2＋…))).这里a1＝1，an＝2(n∈N＋，n≥2)．请你类比上式将eq\r(3)写成无穷连分数，并写出an.解析：eq\r(3)＝1＋(eq\r(3)－1)＝1＋eq\f(2,\r(3)＋1)＝1＋eq\f(1,\f(\r(3)＋1,2))＝1＋eq\f(1,1＋\f(\r(3)－1,2))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,\r(3)＋1))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,2＋\r(3)－1))＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,2＋\f(1,1＋…))).这里a1＝a2n＝1，a2n＋1＝2(n∈N＋)．6．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n＋12－n－1,2)＝eq\f(