2024春新教材高中数学第六章平面向量及其应用章末质量评估分层演练含解析新人教A版必修第二册

章末质量评估(六)(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.在□ABCD中,若AD=(2,8),AB=(-3,4),则AC= ()A.(-1,-12) B.(-1,12) C.(1,-12) D.(1,12)答案:B2.在△ABC中,若A=π3,BC=3,AB=6,则C= (A.π4或3π4 B.3π4 C.答案:C3.若四边形ABCD满意AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则该四边形肯定是()A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.直角梯形答案:C4.(2024年新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是 ()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)答案:A5.若点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为()A.322 B.3152答案:A6.在△ABC中,若AB=BC=3,∠ABC=60°,AD是边BC上的高,则AD·AC的值等于 ()A.-94 B.94 C.答案:C7.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,假如2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为32,那么b等于 (A.1+32 B.1+3 C.2+答案:B8.如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距15nmile的C处.若甲船以35nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25nmile的B处的乙船,则甲船到达B处须要的时间为()A.12hB.1h C.32hD.2h答案:B二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.若O是平行四边形ABCD对角线的交点,则 ()A.AB=DC B.DA+DC=DB C.AB-AD=BD D.OB=12(DA+BA答案:AB10.在△ABC中,若a=52,c=10,A=30°,则B可能是 ()A.135° B.105° C.45° D.15°答案:BD11.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是 ()A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)答案:AC12.定义平面对量之间的一种运算“☉”:对随意的a=(m,n),b=(p,q),令a☉b=mq-np,下列说法正确的是 ()A.若a与b共线,则a☉b=0B.a☉b=b☉aC.对随意的λ∈R,有λa☉b=λ(a☉b)D.(a☉b)2+(a·b)2=|a|2|b|2答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.在△ABC中,若3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cosC的值为1314.若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=25.15.(本题第一空2分,其次空3分)已知在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,连接CD,若BD=2,则△BDC的面积是152,cos∠CDB=1016.太湖中有一个小岛,沿太湖有一条正南方向的马路,一辆汽车测得小岛在马路的南偏西15°的方向上,若汽车沿马路行驶1km后,测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到马路的距离是36km四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)在△ABC中,a=3,b=26,B=2A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=26,B=2A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA=所以2sinAcosAsinA=263(2)由(1),知cosA=63所以sinA=1-cos因为B=2A,所以cosB=2cos2A-1=13所以sinB=1-cos在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=539,所以c=a18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,|OA|=2|AB|=2,∠OAB=2π3,BC=(-1,3)(1)求点B,C的坐标;(2)求证:四边形OABC为等腰梯形.(1)解:设点B的坐标为(xB,yB),则xB=|OA|+|AB|·cos(π-∠OAB)=52,yB=|AB|·sin(π-∠OAB)=3所以OC=OB+BC=（52,32）+(-1,3)=（32,所以点B的坐标为（52,32）,点C的坐标为（32,(2)证明:因为OC=（32,332）,AB=（12所以OC=3AB,所以OC∥AB.因为BC=(-1,3),所以|BC|=2.因为|OC|≠|AB|,|OA|=|BC|=2,所以四边形OABC为等腰梯形.19.(12分)在四边形ABCD中,已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),BC∥DA.(1)求x与y的解析式;(2)若AC⊥BD,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.解:如图所示.(1)因为AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),所以DA=-AD=(-x-4,2-y).因为BC∥DA,BC=(x,y),所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.(2)由题意,得AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3).因为AC⊥BD,所以AC·BD=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.由(1)可知x=-2y,所以y2-2y-3=0,所以y=3或y=-1.当y=3时,x=-6,此时,BC=(-6,3),AC=(0,4),BD=(-8,0),所以|AC|=4,|BD|=8,所以S四边形ABCD=12|AC||BD|=16当y=-1时,x=2,此时,BC=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,-4).所以|AC|=8,|BD|=4,S四边形ABCD=16.综上可知x=-S四边形ABCD=16.20.(12分)如图,某海轮以60nmile/h的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40min后到达点B,测得油井P在南偏东30°,海轮改为沿北偏东60°的航向再行驶80min到达点C,求P,C间的距离.解:由题意知AB=40nmile,∠BAP=120°,∠ABP=30°,所以∠APB=30°,所以AP=40nmile,所以BP2=AB2+AP2-2AP·AB·cos120°=402+402-2×40×40×（-12）=402所以BP=403nmile.因为∠PBC=90°,BC=80nmile,所以PC2=BP2+BC2=(403)2+802=11200,所以PC=407nmile,即P,C间的距离为407nmile.21.(12分)在边长为1的菱形ABCD中,A=60°,E是线段CD上一点,满意|CE|=2|DE|,如图所示,设AB=a,AD=b.(1)用a,b表示BE.(2)在线段BC上是否存在一点F,满意AF⊥BE?若存在,确定点F的位置,并求|AF|;若不存在,请说明理由.解:(1)依据题意,得BC=AD=b,CE=23CD=23BA=-2所以BE=BC+CE=b-23a(2)结论:在线段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一点F,满意AF⊥BE,此时|AF|=214求解如下:设BF=tBC=tb,则FC=(1-t)b(0≤t≤1),所以AF=AB+BF=a+tb.因为在边长为1的菱形ABCD中,A=60°,所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos60°=12因为AF⊥BE,所以AF·BE=(a+tb)·（b-23a）=（1-23t）a·b-23a2+tb2=（1-23t）×12解得t=14,所以AF=a+14所以|AF|=AF2=a2+1222.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满意sinA+3cosA=2.(1)求角A的大小.(2)现给出三个条件:①a=2;②B=π4;③c=3b.试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的方案,并以此为依据求△ABC的面积.(